線性空間與線性變換

線性空間與線性變換第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日前言一、課程介紹研究內(nèi)容：矩陣與線性空間和線性變換以矩陣為工具研究問題在其中發(fā)展矩陣理論矩陣在各種意義下的化簡與分解矩陣的分析理論各類矩陣的性質研究矩陣被認為是最有用的數(shù)學工具，既適用于應用問題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學的抽象結構。第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、教學安排學時配置講授第1章至第6章(48學時)

第1章：10學時;第2章：8學時第3章：8學時；第4章：6學時；第5章：8學時；第6章：6學時考核方式：課程結束考試（第13周）卷面成績?yōu)樽罱K成績第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、教學指導意見背景要求：線性代數(shù)矩陣與計算工具：MATLAB，MAPLE,…矩陣與現(xiàn)代應用：應用選講教學參考書：余鄂西，矩陣論，高等教育出版社，1995。方保熔等，矩陣論，清華大學出版社，2004。FuzhenZhang，MatrixTheory，Springer，1999。DenisSerre，MatricesTheoryandApplications，Springer，2002。矩陣論歷年試題及其解答不交作業(yè)，但應該重視練習環(huán)節(jié)。第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日第1章：線性空間與線性變換內(nèi)容：線性空間的一般概念重點：空間結構和其中的數(shù)量關系線性變換重點：其中的矩陣處理方法特點：研究代數(shù)結構——具有線性運算的集合?？粗氐牟皇茄芯繉ο蟊旧?，而是對象之間的結構關系。研究的關注點：對象之間數(shù)量關系的矩陣處理。學習特點：具有抽象性和一般性。第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.1線性空間一、線性空間的概念幾何空間和n維向量空間的回顧推廣思想：抽象出線性運算的本質，在任意研究對象的集合上定義具有線性運算的代數(shù)結構。定義1.1（P

.1）要點：集合V與數(shù)域F向量的加法和數(shù)乘向量運算運算的性質刻畫第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日常見的線性空間Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}

運算：向量加法和數(shù)乘向量Fmn

={A=[aij]mn：a

ijF}；

運算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣Rmn

；Cmn

。Pn[x]={p(x)=：aiR}

運算：多項式的加法和數(shù)乘C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上連續(xù)}

運算：函數(shù)的加法和數(shù)乘eg5：V=R+，F(xiàn)=R，ab=ab，a=a

F=R或C第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日線性空間的一般性的觀點：線性空間的一般形式：V（F），元素被統(tǒng)稱為向量：，，，線性空間的簡單性質（共性）：

定理1.1：V（F）具有性質：（1）V（F）中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的負元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）數(shù)0向量0第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、線性空間的基和維數(shù)向量的線性相關與線性無關：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關性質與定理和Rn中的結果一樣。例題1證明C[0，1]空間中的向量組{ex，e2x，e3x

…，enx}，x[0，1]

線性無關。第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、線性空間的基和維數(shù)基與維數(shù)的概念：P.2，定義1.2常見線性空間的基與維數(shù)：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim

Fn=nRmn

，自然基{Eij}，dim

Rmn

=mn。Pn[x]

，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn[x]

=nC[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，

dimC[a，b]=約定：Vn

（F）表示數(shù)域F上的n維線性空間。只研究有限維線性空間。第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、坐標1定義1.3（P.3)設{1，2，…，n}是空間的一組基，，=，則x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐標。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐標。要點：

坐標與基有關坐標的表達形式第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日例2

設空間P4[x]的兩組基為：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在這兩組基下的坐標。歸納：任何線性空間Vn[F]在任意一組基下的坐標屬于Fn。每一個常用的線性空間都有一組“自然基”，在這組基下，向量的坐標容易求得。求坐標方法的各異性。第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、線性空間Vn（F）與Fn的同構

坐標關系Vn

（F）Fn

基{1，2，。。。n}由此建立一個一一對應關系Vn

（F），XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在關系下，線性空間Vn

（F）和Fn同構。第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日同構的性質定理1.3:Vn

（F）中向量{1，2，…n}線性相關它們的坐標{X1,

X2,…,Xn}在Fn中線性相關。同構保持線性關系不變。應用：

借助于空間Fn中已經(jīng)有的結論和方法研究一般線性空間的線性關系。第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題2

設R22中向量組{Ai}1

討論{Ai}的線性相關性.2求向量組的秩和極大線性無關組.3把其余的向量表示成極大線性無關組的線性組合.第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、基變換和坐標變換討論：不同的基之間的關系同一個向量在不同基下坐標之間的關系基變換公式設空間中有兩組基：過渡矩陣C的性質：C為非奇異矩陣C的第i列是i

在基{i

}下的坐標則過渡矩陣第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日2坐標變換公式已知空間中兩組基：滿足::;討論X和Y的關系

X=CY123第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題4、已知空間R中兩組基（I）{Eij}（II）；{}求從基（I）到基（II）的過渡矩陣C。求向量在基（II）的坐標Y。例題3、（P6例題11）第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.1

五、子空間

概述：線性空間Vn（F）中，向量集合V可以有集合的運算和關系：WiV，W1W2，W1W2，問題：這些關系或運算的結果是否仍然為線性空間？第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日1、子空間的概念

定義：

設集合WVn（F），W

，如果W中的元素關于Vn（F）中的線性運算為線性空間，則稱W是Vn（F）的子空間。

判別方法：定理1·5W是子空間

W對Vn（F）的線性運算封閉。子空間本身就是線性空間。子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方法第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日重要的子空間：

設向量組｛1，2，···，

m｝Vn（F），由它們的一切線性組合生成的子空間：L{1，2，···，m}

=

｛}

矩陣AFm×n，兩個子空間：A的零空間：N（A）=｛X：AX=0｝Fn，A的列空間：

R（A）=L{A1，A2，···，An｝Fm，

Ai為A的第i列。第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、子空間的“交空間”與“和空間”

討論：設W1Vn（F），W2

Vn（F），且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？（1）

交空間交集：W1W2=｛

W1

而且W2｝Vn（F）定理1·6W1W2是子空間，被稱為“交空間”（2）和空間和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，W1W2W1＋W2定理1·6

W1＋W2是子空間，被稱為“和空間”，W1W2不一定是子空間，W1W2

W1＋W2

第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1·7

設R3中的子空間W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空間W1＋W2。比較：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=L{1，2，…，

m}，

W2=L{1，2，…，

k}，則W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…，

k}

第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日3、維數(shù)公式

子空間的包含關系：

dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。定理1·7：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）證明：第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日4、子空間的直和

分析：如果dim（W1W2）0，則

dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2

所以：

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定義：

定義1·6：

dim（W1W2）=0，則和為直和

W=W1＋W2=W1W2，第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日子空間的“和”為“直和”的充要–條件：定理1·8

設W=W1＋W2，則下列各條等價：（1）

W=W1W2（2）

XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1

P12eg18例2

設在Rn×n中，子空間

W1={A

AT=A}，W2={BBT=–B}，證明Rn×n=W1W2。例3

子空間W的“直和補子空間”

第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1·2

內(nèi)積空間

主題：定義內(nèi)積的概念，借助于內(nèi)積建立線性空間的度量關系。

一、

歐氏空間和酉空間1幾何空間中度量關系的定義基礎2內(nèi)積的定義定義1·7(P13)：要點內(nèi)積(，)是二元運算：Vn(F)F

(，)的公理性質

(，)是任何滿足定義的運算。討論(，1＋2),(，k)

第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

3.內(nèi)積空間的定義[Vn（F）；（，）]，

F=R，歐氏空間；F=C，酉空間4常見的內(nèi)積空間：[Rn

；(，)=

T],[Cn

；(，)=H],[Cm×n；(A，B)=tr(BHA)][Pn[X]；(f(x)，g(x))=]第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日5向量的長度

定義：||

||=6

歐氏空間中向量的夾角：定義：0，0，夾角定義為：cos=性質：

||

k||

=k||

||

；Cauchy不等式：

，

[Vn(F)；(，)],

|

(，)

|

||

||

||

||

。||

＋||

||

||

＋||

||

和正交（，）=0

第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日7線性空間的內(nèi)積及其計算：設{1，2，…,n}是內(nèi)積空間Vn(F)的基，，Vn(F)，則有=x11＋x22＋…＋xn

n=

(12…n)X；=y11＋y22＋…＋yn

n=(1

2…n)Y(，)==YHAX，

定義內(nèi)積在一個基{1，2，…，

n}中定義內(nèi)積

定義一個度量矩陣A。

度量矩陣A度量矩陣的性質：第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、標準正交基

1標準正交的向量組：

定義：｛1，2，…，n｝為正交組(i，j)=0性質：2標準正交基基｛1，2，…，n｝是標準正交基(i，

j)=標準正交基的優(yōu)點：第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日標準正交基的優(yōu)點：

度量矩陣是單位矩陣，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xn

n，xi=(，i)和正交其坐標X和Y正交

坐標空間Fn的內(nèi)積求標準正交基的步驟：

Schmidt正交化

標準化矩陣方法討論第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日正交補”子空間(i)

集合的U的正交集：U=｛Vn(F)：U，(，)=0｝(ii)

U是Vn(F)的子空間

U

是Vn(F)子空間(iii)

Vn(F)=UU

。U的正交補子空間第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1·3線性變換

一、

線性變換的概念定義1.11(P.19)要點：（i）T是Vn（F）中的變換：

T：Vn（F）Vn（F）。(ii)T具有線性性：

T（＋）=T（）＋T（）

T（k）=kT（）從一般性的角度給出的定義第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題1

Vn（F）中的相似變換T

：是F中的數(shù)，Vn（F），T（）=

。特例：=1，T是恒等變換，

=0，T是零變換。

可以在任何線性空間中定義相似變換!例題2

Fn中的變換TA：設AFn×n是一個給定的矩陣，XFn，TA（X）=AX。例題3

Pn[X]中的微分變換：第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日2線性變換的性質：（i）T(0)=0（ii）

T(－)=－T()（iii）

3線性變換的象空間和零空間設線性變換T：Vn(F)Vn(F)，象空間R(T)=｛：Vn(F)，=T()｝

零空間N（T）=｛：Vn(F)

，T()=0｝定義：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）線性變換保持線性相關性不變！第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題27

求Fn線性中的變換TA:Y=AX的象空間和零空間。R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日4線性變換的運算設T1，T2都是空間Vn(F)中的線性變換，常見的用它們構成的新的變換：（i）

T1＋T2

Vn（F），（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）

T1T2

Vn（F），

(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）

kT

Vn（F），（kT）（）=k（T（））（iv）

若T－1是可逆變換，T－1

T－1()=當且僅當T()=。定義第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、線性變換的矩陣

1線性變換的矩陣與變換的坐標式Vn（F）上線性變換的特點分析：定義變換T

確定基中向量的象T（i）。定義T（i）確定它在基下{i}的坐標Ai

。定義變換T

確定矩陣A=[A1，A2，…，An]（i）

A為變換矩陣（ii）

變換的坐標式：Y=AX（iii）

應用意義第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題1

對線性變換:P4[X]P4[X]，求D在基{1，X，X2，X3}下的變換矩陣。2求向量在變換D下的象。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

2線性變換運算的矩陣對應：設Vn（F）上的線性變換T1，T2，它們在同一組基下的矩陣：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）（A1＋A2）（ii）（T1T2）

A1A2（iii）（kT）

kA（iv）T－1

A－1第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日3不同基下的變換矩陣兩組基：{1，2，…,n}，{1，2，…,n}，（12…n）=（12…n

）CT（12…n

）=（12…n）AT（12…n）=（12…n）B

同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的B=C－1AC123例題2（P23，eg28）第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題2（P23，eg28）例題3（P24，eg29）

設單位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的線性變換P（x）=x-（x，u）u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的變換矩陣。求P在標準正交基{u，u2，u3}下的變換矩陣。第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、不變子空間問題的背景：變換矩陣的化簡和空間的分解的對應關系1.不變子空間的概念矩陣簡化要求空間分解的特點定義(p24,定義1.14)2.不變子空間的判別W是T的不變子空間WT（）W。特別：W=L{1，2，…，m}，

W是T的不變子空間T（i）W。

T（W）W。第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日P24，例題30R3上的正交投影P：P（x）=x–（x，u）u，u是單位向量。證明L（u）和

u

={x：（x，u）=0}是P的不變子空間。第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日3空間分解與矩陣分解Vn（F）=WU，W，U是T的不變子空間，W=L

{1，…，r}，U={r

+1，

…，n}則T

{1，…，r，r

+1，

…，n}Vn（F）=U1U2

…Uk，則T矩陣Ai的階數(shù)=dimUi第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、正交變換和酉變換討論內(nèi)積空間[V；（，）]中最重要的一類變換。1定義1.15

（P25）2正交（酉）變換的充要條件：

（定理1.15,P26

）T是內(nèi)積空間V（F）上的線性變換，則下列命題等價：T是正交變換T保持向量的長度不變T把V（F）的標準正交基變成標準正交基T在標準正交基下的矩陣是正交矩陣3正交矩陣和酉矩陣的性質正交矩陣C：CTC=I

酉矩陣U：UHU=I定理1.16(P27)

第四十八頁，共五