【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 第七章第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系 A

第七章立體幾何第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來(lái)演練

[備考方向要明了]考

什

么1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．2.能證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

怎

么

考1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)．2.以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為主，同時(shí)考查邏輯推理

能力與空間想象能力．3.多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題

中，屬低中檔題.名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l二、空間直線的位置關(guān)系位置關(guān)系的分類2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相

．3．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

．平行相等或互補(bǔ)4．異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O

作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：

．銳角(或直角)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l在平面α內(nèi)直線l與平面α相交l?α無(wú)數(shù)個(gè)l∩α＝A一個(gè)位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l與平面α平行l(wèi)∥α0個(gè)四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行兩平面相交

＝l

個(gè)(這些公共點(diǎn)均在交線l上)α∥β0個(gè)α∩β無(wú)數(shù)答案：

C解析：如圖與AB共面也與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條．1．(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為 (

)A．3

B．4C．5 D．6答案：

D解析：由異面直線的定義可知選D.2．下列說(shuō)法正確的是 (

)A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 (

)A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案：

B解析：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)．4．(教材習(xí)題改編)兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成______部分．答案：

3或4解析：由題意知兩個(gè)不重合的平面可以平行或相交，平行時(shí)分空間3部分，相交時(shí)分空間4部分．5.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，

在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：把正方體的平面展開(kāi)圖還原成原來(lái)的正方體如圖所示，則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③1．三個(gè)基本性質(zhì)的作用(1)基本性質(zhì)1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．(2)基本性質(zhì)2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件．(3)基本性質(zhì)3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點(diǎn)共線．[精析考題][例1](2012·臺(tái)州模擬)以下四個(gè)命題中①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個(gè)數(shù)是 (

)A．0

B．1C．2 D．3[答案]

B[自主解答]①中顯然是正確的；②中若A、B、C三點(diǎn)共線則A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面．③構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，如圖顯然b、c異面故不正確．④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2011·沈陽(yáng)模擬)如圖是正方體或四面體，P、Q、

R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是 (

)解析：A、B、C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面．答案：D2．(2011·南通月考)定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點(diǎn)，且P不在α內(nèi)，若直線

AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn)．證明：設(shè)定線段AB所在直線為l，與平面α交于O點(diǎn)，即l∩α＝O.由題意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l(xiāng)?β，∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn)．[沖關(guān)錦囊]1．證明線共點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上．2．證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題，一般有以下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合.[精析考題])[例2](2012·金華模擬)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))[自主解答]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．[答案]

②④3．(2012·廣州模擬)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：

A解析：若兩直線為異面直線，則兩直線無(wú)公共點(diǎn)，反之不一定成立．4．(2012·杭州模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中與AC成“黃金異面直線”共有________對(duì)．解析：正方體如圖，若要出現(xiàn)所成的角為60°的異面直線，則直線為面對(duì)角線，與AC構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條．答案：4[沖關(guān)錦囊]1.異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不

是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件

出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯

定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．2.客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一

點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.[精析考題][例3]

(2011·全國(guó)高考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為_(kāi)_______．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)5．(2012·滄州模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是 (

)A．45° B．60°C．90° D．120°答案：

B6．(2012·青島模擬)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為_(kāi)_______．[沖關(guān)錦囊]求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下1．一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；2．二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；3．三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．解題樣板構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系[考題范例](2011·淄博模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是 (

)A．①④ B．②④C．①

D．④[快速得分]我們借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決本題．對(duì)于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對(duì)于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)