2021北京首都師大附中初二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

21/212021北京首都師大附中初二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．（3分）2022年冬奧會(huì)將在北京舉行，中國將是第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）的國家．以下會(huì)徽是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）用直角三角板，作的高，下列作法正確的是A． B． C． D．3．（3分）下面各組線段中，能組成三角形的是A．5，11，6 B．6，9，14 C．10，5，4 D．8，8，164．（3分）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．5．（3分）三角形中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是A．三條高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)6．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則等于A． B． C． D．7．（3分）如圖，已知與上的點(diǎn)，點(diǎn)，小臨同學(xué)現(xiàn)進(jìn)行如下操作：①以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交第2步中所畫的弧于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論不能由上述操作結(jié)果得出的是A． B． C． D．8．（3分）如圖的的正方形網(wǎng)格中，有、兩點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使最短，則點(diǎn)應(yīng)選在)A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)9．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)、點(diǎn)固定，，點(diǎn)、可在槽中滑動(dòng)．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．10．（3分）如圖，將過點(diǎn)折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，折痕為，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③平分；④是等邊三角形；⑤垂直平分；其中正確的有A．①②③ B．②③ C．①②③④ D．①②③⑤二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（4分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．12．（4分）如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背后加釘了一根木條，這種做法依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是．13．（4分）如圖，，，，則的度數(shù)為．14．（4分）如圖，在中．．，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接．那么的度數(shù)是．15．（4分）如圖，，，，若，則．16．（4分）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，與相交于點(diǎn)，則．17．（4分）如圖，中，，平分，點(diǎn)是線段延長線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)在的垂直平分線上，若，則的周長是．18．（4分）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，則它的特征值．三、解答題（本大題共6小題，共38分）19．（6分）如圖，已知：是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．求證：．證明：，．在與中，，．．20．（6分）兩個(gè)小區(qū)、與兩條馬路公路，位置如圖所示，為方便市民接種新冠肺炎疫苗，相關(guān)部門需在處修建一個(gè)臨時(shí)疫苗接種站，要求接種站到兩個(gè)小區(qū)、的距離必須相等，到兩條馬路，的距離也必須相等，那么點(diǎn)應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)．21．（6分）已知，如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．22．（6分）如圖，已知：，都是等腰直角三角形，，中，，連接、．求證：（1）；（2）．23．（6分）在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，我們知道了正方形對(duì)角線的長度是邊長的倍，所以等腰直角三角形的底邊長是腰長的倍．例如，圖1中的四邊形是正方形，是等腰直角三角形，則．小玲遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在等腰三角形中，，，，于點(diǎn)，求的長．小玲發(fā)現(xiàn)：如圖3，分別以，為對(duì)稱軸，分別作出，的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，延長，交于點(diǎn)，可以得到正方形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形四條邊都相等就能求出的長，請(qǐng)直接寫出：的長為，的長為，的長為；參考小玲思考問題的方法，解決問題：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)是外角的角平分線和的交點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為．24．（8分）如圖1，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，△，若，，且，我們稱與△互為“頂補(bǔ)三角形”．（1）已知與互為“頂補(bǔ)三角形”，是的中線．①如圖2，若為等邊三角形時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，若為任意三角形時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．③如圖3，若為任意三角形，且，則．（2）如圖4，四邊形中，，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使與互為“頂補(bǔ)三角形”，若存在，請(qǐng)畫出圖形，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義．2．【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：、、均不是高線．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可．【解答】解：、，長為5，11，6的三條線段不能組成三角形，不符合題意；、，長為6，9，14的三條線段能組成三角形，符合題意；、，長為5，11，6的三條線段不能組成三角形，不符合題意；、，長為8，8，16的三條線段不能組成三角形，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．4．【分析】利用關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的性質(zhì)來求解．【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟記關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)．5．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出答案即可．【解答】解：，在線段的垂直平分線上，，，在線段的垂直平分上，在線段的垂直平分線上，是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．6．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：兩個(gè)三角形全等，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)．7．【分析】證明，根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】解：在和中，，，，，．，．故、、都可得到．，，則不一定得出．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到相等的線段，證明是關(guān)鍵．8．【分析】首先求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，即可求得答案．【解答】解：如圖，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)，此時(shí)最短，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)應(yīng)選點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最短路徑問題．注意首先作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．9．【分析】根據(jù)，可得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，即可求出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)．【解答】解：，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．10．【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，，，可得，平分，由線段垂直平分線的判定可得垂直平分，由不一定等于，可得不一定是等邊三角形，即可求解．【解答】解：將過點(diǎn)折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，，，，，，，平分，故①②③正確，，，垂直平分，故⑤正確，不一定等于，不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理即可求得．【解答】解：多邊形的內(nèi)角和公式為，，解得，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即，難度適中．12．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背后加釘了一根木條，這種做法依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．13．【分析】由與垂直，利用垂直的定義得到為直角，進(jìn)而確定出為直角三角形，利用直角三角形的兩銳角互余，求出的度數(shù)，在中，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，，又，．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：在中，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．15．【分析】作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出，利用角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題．【解答】解：作于，如圖所示：，，，，，．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證出是解決問題的關(guān)鍵．16．【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，則由圖示知，即，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，易得的度數(shù)．【解答】解：是等邊三角形，，，在與中，，，，，即，．即：，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．證明是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，然后求出．【解答】解：點(diǎn)在的垂直平分線上，，，平分，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．18．【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù)．從而可求解．【解答】解：①當(dāng)為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：特征值②當(dāng)為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：特征值綜上所述，特征值為或故答案為或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意到本題中，已知的度數(shù)，要分是頂角和底角兩種情況，以免造成答案的遺漏．三、解答題（本大題共6小題，共38分）19．【分析】由““可證，可得．【解答】證明：，，在和中，，，（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．故答案為：；；；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．20．【分析】作的角平分線，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【解答】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用角平分線的性質(zhì)定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題．21．【分析】連接，利用“邊邊邊”證明和全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等證明即可．【解答】證明：如圖，連接，在和中，，，，又，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．22．【分析】（1）可以把要證明相等的線段，放到，中考慮全等的條件，由兩個(gè)等腰直角三角形得，，再找夾角相等，這兩個(gè)夾角都是直角減去的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明；（2）由（1）知：，，由此可以證明．【解答】（1）證明：在與中，與等腰直角三角形，，，，，；（2）證明：延長交于，交于，則，由（1）知：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．23．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)折疊得出，，，，，求出四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出，求出方程的解即可；過點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，求出四邊形是正方形，推出，，，求出即可．【解答】解：，，，，的長為2，的長為；理由是：如圖3，，，，，，，分別以，為對(duì)稱軸，分別作出，的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：（負(fù)值舍去），即，，故答案為：；2；；如圖4，過點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，和是的外角的角平分線，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的綜合題，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方