2021北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

18/182021北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，1，關(guān)于點(diǎn)，0，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．，， B．，， C．，1， D．2．（4分）已知直線(xiàn)，．若，則實(shí)數(shù)的值是A．0 B．2或 C．0或 D．3．（4分）橢圓過(guò)點(diǎn)，則其焦距為A． B． C． D．4．（4分）已知直線(xiàn)和圓交于，兩點(diǎn)，則A．2 B．4 C． D．5．（4分）已知直線(xiàn)的方程為，則的傾斜角是A． B． C． D．6．（4分）圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)的圓的方程為A． B． C． D．7．（4分）橢圓的焦距為，若直線(xiàn)與橢圓一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．8．（4分）“六邊形教室”是四中校友記憶中不可磨滅的一部分．空間中，教室的形狀近似一個(gè)正六棱柱．設(shè)正六棱柱中，所有棱長(zhǎng)均相等，、分別是四邊形，的中心，設(shè)與所成的角為，與所成的角為，則A． B． C． D．9．（4分）若直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為)A．至多一個(gè) B．0個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)10．（4分）在一平面直角坐標(biāo)系中，已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則折疊后，兩點(diǎn)間的距離為A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）與向量方向相同的單位向量是．12．（5分）已知點(diǎn)，，則過(guò)點(diǎn)且與是坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線(xiàn)方程是．13．（5分）若向量，，共面，則．14．（5分）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)．15．（5分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是．①當(dāng)時(shí)，使得的點(diǎn)有兩個(gè)；②當(dāng)時(shí)，使得的點(diǎn)有四個(gè)；③當(dāng)時(shí)，使得△是等腰三角形的點(diǎn)有四個(gè)；④當(dāng)時(shí)，使得△是等腰三角形的點(diǎn)有六個(gè)．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．（12分）已知橢圓，斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)且．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）求直線(xiàn)的方程．

17．（14分）已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．18．（14分）已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的大?。唬á螅┚€(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角為，若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．19．（15分）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．圓為的外接圓．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小時(shí)的方程．20．（15分）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)．是否存在直線(xiàn)使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

21．（15分）對(duì)于給定的正整數(shù)，記集合，，，，，，，2，3，，，其中元素稱(chēng)為一個(gè)維向量．特別地，稱(chēng)為零向量．設(shè)，，，，，，，，，定義加法和數(shù)乘：，，，，，，，．對(duì)一組向量，，，，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱(chēng)這組向量線(xiàn)性相關(guān)．否則，稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)．（Ⅰ）對(duì)，判斷下列各組向量是線(xiàn)性相關(guān)還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．①，；②，，；③，，，．（Ⅱ）已知向量，，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，判斷向量，，是線(xiàn)性相關(guān)還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．（Ⅲ）已知個(gè)向量，，，線(xiàn)性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明下列結(jié)論：（?。┤绻嬖诘仁?，，2，3，，，則這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零；（ⅱ）如果兩個(gè)等式，，，，2，3，，同時(shí)成立，其中，則．

2021北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，1，關(guān)于點(diǎn)，0，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由垂直可得，解方程可得．【解答】解：直線(xiàn)，，且，，解得或故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．3．【分析】先由條件把橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可求出待定系數(shù)，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓的，，之間的關(guān)系即可求出焦距．【解答】解：由題意知，把點(diǎn)代入橢圓的方程可求得，故橢圓的方程為，，，，則其焦距為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓方程中、、之間的關(guān)系．4．【分析】首先求得圓心到直線(xiàn)的距離，然后計(jì)算弦長(zhǎng)即可．【解答】解：圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)與圓相交的弦長(zhǎng)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓的弦長(zhǎng)的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意利用直線(xiàn)方程求出直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，得出結(jié)論．【解答】解：直線(xiàn)的方程為，則的斜率為，故該直線(xiàn)的傾斜角為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求直線(xiàn)的斜率，誘導(dǎo)公式，直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由題意確定圓的圓心和半徑即可求得圓的方程．【解答】解：過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為，由．即圓心，半徑，所求圓的方程為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值【解答】解：聯(lián)立，可得，由題意可得，整理可得：，解得：，，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，通過(guò)平行關(guān)系得與所成的角就是與所成的角，與所成的角為或其補(bǔ)，通過(guò)研究幾何關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果．【解答】解：如圖，由圖形特點(diǎn)可得，因?yàn)椤⒎謩e是四邊形，的中心，即分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作，的垂線(xiàn)，故與所成的角就是與所成的角，即，因?yàn)?，，，與所成的角為或其補(bǔ)，設(shè)六棱柱棱長(zhǎng)為2，可求得，，，即，所以，即，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線(xiàn)所成角的求解，考查空間直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．9．【分析】先根據(jù)題意可知原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離大于等于2求得和的范圍可推斷點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓內(nèi)切于橢圓，進(jìn)而可知點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，進(jìn)而判斷可得答案．【解答】解：因?yàn)橹本€(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，所以點(diǎn)是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)．橢圓的長(zhǎng)半軸3，短半軸為2圓內(nèi)切于橢圓點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)與圓、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，解決此類(lèi)問(wèn)題可采用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀．10．【分析】直接利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量的模的運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：如圖折疊作，，則，，，的夾角為，故，所以，．故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】求出向量的模，然后求解單位向量即可．【解答】解：向量，可得，所以與向量方向相同的單位向量是：，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單位向量的求法，向量的模的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行關(guān)系先求直線(xiàn)的斜率，然后結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式可求．【解答】解：由題意得直線(xiàn)的斜率，所以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)方程為，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)的斜率公式，直線(xiàn)的位置關(guān)系及直線(xiàn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由題意設(shè)，代入坐標(biāo)，利用坐標(biāo)相等列出方程組，即可求得值．【解答】解：向量，，共面，可設(shè)，即，，，，，，，，，則，解得．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查共面向量基本定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】分橢圓的焦點(diǎn)在，軸上，由橢圓的定義可得的值，即求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得的值．【解答】解：將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，則，焦點(diǎn)不可能在圓上，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，及點(diǎn)到賬圓上的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】對(duì)于①②，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以為圓心，為半徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；對(duì)于③④，利用橢圓對(duì)稱(chēng)性得到短軸端點(diǎn)滿(mǎn)足題意后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以為圓心，為半徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題；由此可得各選項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于短軸兩端點(diǎn)，即使得的點(diǎn)為短軸兩個(gè)端點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，即使得的點(diǎn)不存在，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，若為短軸端點(diǎn)，則△為等腰三角形；假設(shè)，則在以為圓心，為半徑的圓上，，，，橢圓半通徑長(zhǎng)為，，以為圓心，為半徑的圓與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即此時(shí)使得△是等腰三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；同理可知：若，此時(shí)使得△是等腰三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；綜上所述：若，則使得△是等腰三角形的點(diǎn)有六個(gè)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，若為短軸端點(diǎn)，則△為等腰三角形；假設(shè)，則在以為圓心，為半徑的圓上，，，離心率；，，又橢圓半通徑長(zhǎng)為，以為圓心，為半徑的圓與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)使得△是等腰三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；同理可知：若，此時(shí)使得△是等腰三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；綜上所述：若，則使得△是等腰三角形的點(diǎn)有六個(gè)，④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓與圓的位置關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．【分析】（Ⅰ）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，的值，進(jìn)而求出的值，再求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程，與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，代入弦長(zhǎng)的公式求出弦長(zhǎng)，由題意求出參數(shù)的值，可得直線(xiàn)的方程．【解答】解：（Ⅰ）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，所以，，可得，所以橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立整理可得：，則△，即，且，，所以弦長(zhǎng)，由題意可得，解得：，符合判別式大于0的條件，所以直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)的方程．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，利用法向量的夾角求得二面角的夾角余弦值；（Ⅱ）利用向量法求得與平面的夾角正弦值，進(jìn)而求得到平面的距離．【解答】解：（Ⅰ）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，0，，，0，，，0，，，2，，，則，，設(shè)平面法向量，則，即，取，因平面，故取平面的法向量為，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，則點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量計(jì)算面面角的方法，空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離的方法等知識(shí)，屬于中等題．18．【分析】因?yàn)椋制矫?，得到，進(jìn)而證明結(jié)論；以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，又平面的法向量，利用夾角公式求出即可；假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)，設(shè)，由直線(xiàn)與平面所成角為，得到關(guān)于的方程，解方程判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，，平面，所以面；（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)平面的法向量為，由，得令，則，又平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以．所以平面與平面所成銳二面角為；（Ⅲ）假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角為，設(shè)，由，所以．所以，整理得，無(wú)解，所以，不存在這樣的點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】考查線(xiàn)面垂直的判定，向量法求二面角和線(xiàn)面所成的角的余弦值，考查運(yùn)算能力，中檔題．19．【分析】（Ⅰ）設(shè)出圓的一般方程，代入，，可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，利用直線(xiàn)與圓相切和基本不等式可知當(dāng)直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，由此得到，，進(jìn)而整理得到直線(xiàn)方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓方程為：，則，解得：，圓方程為：，即．（Ⅱ）由題意知：直線(xiàn)在，軸的截距不為零，可設(shè)，即，與相切，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，此時(shí)所有可能的結(jié)果為：或或或，方程為：或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求解，圓中的最值問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題．20．【分析】（Ⅰ）由題意列關(guān)于，，的方程組，求得與的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可求出當(dāng)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意，，解得，，．橢圓的方程為；（Ⅱ）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，又，，即以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，，由，得，由△，得或，，，．以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，，即，得，，，解得，即．綜上所述，當(dāng)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的方程為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)定義逐一判斷即可；（2）設(shè)，則，然后由條件