高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)近8年真題分類匯編專題19平面向量

PAGE17專題19—平面向量（1）考試說明：1、理解平面向量的概念，向量的幾何表示；掌握平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，及其幾何意義；了解平面向量共線定理、基本定理及其意義；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的線性運(yùn)算，以及共線的條件；理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，并會(huì)用坐標(biāo)表示數(shù)量積；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷垂直關(guān)系；會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題。高頻考點(diǎn)：1、平面向量基本定理及其意義；用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、夾角、模等運(yùn)算；平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)、解三角形的綜合應(yīng)用。高考中，平面向量是必考的考點(diǎn)，一般以小題的形式考查，有時(shí)考查基本的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，有時(shí)考查綜合題，難度不小，給大家把近幾年的高考題總結(jié)如下，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。典例分析1．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．2．（2016?山東）已知非零向量，滿足，，．若，則實(shí)數(shù)的值為A．4 B． C． D．3．（2021?上海）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立4．（2020?山東）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．5．（2018?天津）在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為A． B． C． D．06．（2017?浙江）如圖，已知平面四邊形，，，，與交于點(diǎn)，記，，，則A． B． C． D．7．（2016?天津）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為A． B． C． D．8．（2021?新高考Ⅰ）（多選題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則A． B． C． D．9．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．10．（2020?江蘇）在中，，，，在邊上，延長(zhǎng)到，使得．若為常數(shù)），則的長(zhǎng)度是．真題集訓(xùn)1．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．2．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．3．（2015?重慶）若非零向量，滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．4．（2016?上海）設(shè)單位向量與既不平行也不垂直，對(duì)非零向量、有結(jié)論：①若，則；②若，則．關(guān)于以上兩個(gè)結(jié)論，正確的判斷是A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②成立 D．①不成立，②不成立5．（2020?上海）三角形中，是中點(diǎn)，，，，則．6．（2019?天津）在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則．7．（2019?江蘇）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，與交于點(diǎn)．若，則的值是．8．（2017?山東）已知，是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是．9．（2017?天津）在中，，，．若，，且，則的值為．10．（2017?江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則．11．（2015?四川）設(shè)四邊形為平行四邊形，，，若點(diǎn)、滿足，，則A．20 B．15 C．9 D．612．（2014?上海）如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形排成一個(gè)大正方形，是大正方形的一條邊，，2，，是小正方形的其余頂點(diǎn)，則，2，，的不同值的個(gè)數(shù)為A．7 B．5 C．3 D．1典例分析答案1．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．分析：利用已知條件求出，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．解答：解：向量，滿足，，，可得，，．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的夾角的求法，是中檔題．2．（2016?山東）已知非零向量，滿足，，．若，則實(shí)數(shù)的值為A．4 B． C． D．分析：若，則，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的值．解答：解：，，，，，解得：，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021?上海）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立分析：設(shè)，，，，，由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；為中點(diǎn)，可得，由為中點(diǎn)，可得與的交點(diǎn)即為重心，從而可判斷②解答：解：不妨設(shè)，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點(diǎn)，，與的交點(diǎn)即為重心，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以與不共線，即②不成立．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題．4．（2020?山東）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．分析：畫出圖形，結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化判斷求解即可．解答：解：畫出圖形如圖，，它的幾何意義是的長(zhǎng)度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時(shí)，取得最大值，，可得，最大值為6，在處取得最小值，，最小值為，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，所以的取值范圍是．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量在幾何中的應(yīng)用，是中檔題．5．（2018?天津）在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為A． B． C． D．0分析：解法Ⅰ，由題意判斷，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，計(jì)算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨設(shè)四邊形是平行四邊形，由題意求得的值．解答：解：解法Ⅰ，由題意，，，，，且，又，；，，．解題Ⅱ：不妨設(shè)四邊形是平行四邊形，由，，，，，知，．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，是中檔題．6．（2017?浙江）如圖，已知平面四邊形，，，，與交于點(diǎn)，記，，，則A． B． C． D．分析：根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合圖象邊角關(guān)系進(jìn)行判斷即可．解答：解：，，，，，由圖象知，，，，即，方法如圖：作線段的垂直平分線，由于，因此，在直線的同側(cè)，則，，進(jìn)而，在等腰三角形中，，這樣就有，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)圖象結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義是解決本題的關(guān)鍵．7．（2016?天津）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為A． B． C． D．分析：由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．解答：解：如圖，、分別是邊、的中點(diǎn)，且，．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．8．（2021?新高考Ⅰ）（多選題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則A． B． C． D．分析：法一、由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案；法二、由題意畫出圖形，利用向量的模及數(shù)量積運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．解答：解：法一、，，，，，，，，，，，，則，，則，故正確；，，，故錯(cuò)誤；，，，故正確；，，，故錯(cuò)誤．故選：．法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，作出單位圓，并作出角，，，使角的始邊由重合，終邊交圓于點(diǎn)，角的始邊為，終邊交圓于，角的始邊為，交圓于，于是，，，，由向量的模與數(shù)量積可知，、正確；、錯(cuò)誤．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．分析：或或，三等式兩邊平方可解決此題．解答：解：方法1：由得或或，或或，又，，，，，，，，．故答案為：．方法．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2020?江蘇）在中，，，，在邊上，延長(zhǎng)到，使得．若為常數(shù)），則的長(zhǎng)度是．分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得與的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)用表示．由列式求得值，然后分類求得的坐標(biāo)，則的長(zhǎng)度可求．解答：解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與重合，；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，．的長(zhǎng)度是0或．故答案為：0或．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的概念與向量的模，考查運(yùn)算求解能力，利用坐標(biāo)法求解是關(guān)鍵，是中檔題．真題集訓(xùn)答案1．解：，，，，．故選：．2．解：在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，，故選：．3．解：，，即，即，，，即，，，即，，故選：．4．解：①假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，則，向量與既不平行也不垂直，，，滿足，因此．②若，則，無法得到，因此不一定正確．故選：．5．解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點(diǎn)，．故答案為：．6．解：，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案為：．7．解：設(shè)，，，，，，，，，．故答案為：8解：【方法一】由題意，設(shè)，，則，，；又夾角為，，即，解得．【方法二】，是互相垂直的單位向量，，且；又與的夾角為，，即，