專題01動(dòng)點(diǎn)引起的直角三角形（矩形）存在性問(wèn)題

專題01動(dòng)點(diǎn)引起的直角三角形（矩形）存在性問(wèn)題【直角三角形存在性】如圖，若A、B為定點(diǎn)，若△PAB為直角三角形，則P點(diǎn)軌跡如圖所示.矩形存在性問(wèn)題→直角三角形存在性問(wèn)題.方法一、勾股定理方法二、構(gòu)造一線三直角，相似方法三、三角函數(shù)【一題多解·典例剖析】例題1．（2021·黑龍江省齊齊哈爾市中考）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2+2x+；（2）（7，4）或（-3，）或（3，）或（3，4）．【解析】解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+c的對(duì)稱軸為x==2，∴a=，即y=x2+2x+c，∵OA=1，A在拋物線上，則將A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，即拋物線的解析式為：y=x2+2x+.（2）由（1）知，拋物線對(duì)稱軸為x=2，設(shè)P（2，m），Q（x，y）若以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則△BCP為直角三角形在y=x2+2x+中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，x=5；當(dāng)x=0時(shí)，y=，即B（5,0），C（0，），方法一：勾股定理分類討論：①當(dāng)BC2=BP2+PC2，即25+=32+m2+22+（m-）2解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），此時(shí)PQ為對(duì)角線，BC為對(duì)角線，或則Q（3，）或（3,4）.②當(dāng)BP2=BC2+PC2，即32+m2=25++22+（m-）2解得：m=，即P（2，），此時(shí)BP為對(duì)角線，CQ為對(duì)角線，則Q（7，4）③當(dāng)PC2=BC2+BP2即22+（m-）2=25++32+m2解得：m=-6，即P（2，-6），此時(shí)CP為對(duì)角線，BQ為對(duì)角線，則Q（-3，）綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（7，4）或（-3，）或（3，）或（3，4）.方法二：相似三角形分類討論①當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，如圖，過(guò)P作x軸的平行線，交y軸于N，過(guò)B作BM⊥PN于M易證：△PNC∽△BMP∴即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如圖，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，同理可得：,即，解得：m=即P（2，）③當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，如圖所示，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）再由方法一中的方法求得Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；方法三：三角函數(shù)分類討論①當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，易知∠NCP=∠BPM，∴tan∠NCP=tan∠BPM即即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如圖，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，同理可得：tan∠PCH=tan∠CBO，即,即，解得：m=即P（2，）③當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）再由方法一中的方法求得Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．【一題多解·對(duì)標(biāo)練習(xí)】練習(xí)1.（2021·江蘇省鎮(zhèn)江市中考）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，分別過(guò)點(diǎn)A，B作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC=BD，連接AB交軸于點(diǎn)F．（1）k＝；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：；（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)：．【答案】（1）2；（2）見(jiàn)解析；（3）（，）．【解析】解：（1）將（2,1）代入y=得，k=2故答案為：2；（2）在△ACF和△BDF中，，∴△ACF≌△BDF，∴CF=DF設(shè)A（a，），則C（0，），B（-a，）AC=a，OC=，∴－m=+m整理得：am=－2.（3）方法一、勾股定理設(shè)A（a，），則C（0，），B（-a，），D（0，）∵E（2,1），∠CED=90°，∴CD2=CE2+DE2，即（+）2=22+（1-）2+22+（1+）2解得：a=-2（舍）或a=即A（，）.方法二、相似三角形如圖，易證△CEM∽△EDH∴即，解得：a=-2（舍）或a=方法三、三角函數(shù)如圖，易知∠DEH=∠ECM，∴tan∠DEH=tan∠ECM即∴，解得：a=-2（舍）或a=.【多題一解·典例剖析】例題2．（2021·山東省濟(jì)南市中考）如圖，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，且．（1）求的值并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的最小值；（3）是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）k=6，B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.【解析】解：（1）將（m，-3）代入y=x得：m=-2即點(diǎn)A（-2，-3），將（-2，-3）代入得，k=-2×（-3）=6，由點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得點(diǎn)B(2，3)；（2）過(guò)點(diǎn)B，C分別作BE⊥x軸，CF⊥x軸，作B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B’，連接B’C，則BE//CF，∴，∵BC=2CD，∴，∵B（2，3），∴BE=3，CF=1，即C點(diǎn)縱坐標(biāo)是1，可得：C（6，1），又點(diǎn)B’是點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，∴點(diǎn)B’（-2，3），∴B’C=，即GB+GC的最小值是；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，當(dāng)∠ABP=90°，四邊形ABPQ是矩形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，由∠OBP=90°，BH⊥OP，得△OHB∽△BHP，∴，即32=2HP，得：PH=，∴OP=，即點(diǎn)P（，0）；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，當(dāng)∠ABP=90°，四邊形ABPQ是矩形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥y軸，同理，△OHB∽△BHP，∴，即22=3HP，∴HP=，即OP=，即點(diǎn)P（0，）綜上所述：P（，0）或（0，）.【多題一解·對(duì)標(biāo)練習(xí)】練習(xí)2．（2021·四川省達(dá)州市中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，-1，或．【解析】解：（1）∵將（1,0），（0,3）代入y=-x2+bx+c，得：解得：b=-2，c=3即拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3.（2）在OE上取一點(diǎn)D，使得OD=OE，連接AE’，BD∵OD=OE=OE’，拋物線對(duì)稱軸為：x=-1∴E（-1,0），OE=1=OE’，OA=3∴,∠DOE’=∠E’OA∴△DOE’∽△E’OA∴DE’=AE’∴BE’+AE’=BE’+DE’當(dāng)B、E’、D三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，BE’+DE’最小值為BD．在Rt△BOD中，OD=，OB=3∴BD=即BE’+AE’最小值為．（3）由y=-x2-2x+3，得A（-3,0）①當(dāng)∠ABN=90°時(shí)，過(guò)N作NQ⊥y軸于Q，則tan∠ABO=tan∠BNQ∴∴BQ=NQ，設(shè)N