2022年河南省頂級名校高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（文科）（5月份）（附答案詳解）

2022年河南省頂級名校高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（文科）（5

月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合時=國^+1<0｝，N=｛x|*注｝，則MnN=（）

A.[0,1]B.[0,1）C,（l,4-oo）D.（—8,1]

2.設(shè)z=1+i,則（）

A.|z+1|=2B.|=1—iC.z2=—2iD.z?z=2

3.從四個連續(xù)的自然數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，則兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（）

A.1B.|C.|

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是單調(diào)函數(shù)的是（）

A.y=xsinxB.y=%4-sinxC.y=xtanxD.y=x+tanx

5.設(shè)a,夕為兩個平面，則al/?的充要條件是（）

A.a,/?平行于同一個平面

B.a,夕垂直于同一個平面

C.a內(nèi)一條直線垂直于￡內(nèi)一條直線

D.a內(nèi)存在一條直線垂直于￡

6.已知a=0.22,%=3。汽c=log40.4,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

y<x

7.設(shè)％,y滿足約束條件％+yN1,貝M=-x+2y的最大值為（）

2x-y<2

A.2B.3C.4D.5

8.已知橢圓C：||+3=l（a>b>0）的左、右焦點分別為居，F(xiàn)2,4為C上一點，且

FrF2-AF2=0>若tan乙4&F2=V，則C的離心率為（）

A.IB.更C.ID.匹

3355

9.設(shè)市方為兩個互相垂直的單位向量，貝IJ（）

A.\a+b\=2B.\2a+b\=3\2a-b\

C.（2a+K）1（a-2b）D.a-（2a+b）=b-（,2a+b）

10.下列方程中，圓G：/一2x+y?=0與圓C2：4/+4y2=9的公切線方程是（）

A.%+V3y4-3=0B.x4-V3y—3=0

C.V3x+y+3=0D.V3x—y-3=0

11.記％為等差數(shù)列｛冊｝的前九項和，且S4=S6=o,貝K)

A.%=0B.。4+。6<0C.S10=0D.S2+Sn<0

12.已知函數(shù)/(%)=/一3%2一攵在區(qū)間(o,3)存在零點，則k的取值范圍是()

A.0)B.[-4,+8)C.(—4,0]D.[—4,0)

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.雙曲線/+q=1的焦距為.

14.已知等比數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，且&3=-3,。5=-1，則｛即｝的公比是.

15.函數(shù)/（x）=鏟一2>i+3在（―8,勺的值域為.

16.球。的半徑與圓錐M的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，則圓錐M的側(cè)面展

開圖的圓心角大小為,球。的體積與圓錐M的體積的比值為.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.△4BC滿足sinAcosB+百siMB=百，C=p

⑴求4

（2）若。為邊8C上一點，目2BD=CD=2,求AD.

18.某商場記錄了一周7天的客流量，整理得到下表:

日期周一周二周周四周五周六周日

日客流量（萬

0.60.50.60.60.81.81.4

人）

（1）商場計劃在下周開展一項優(yōu)惠活動，并設(shè)計了兩個方案：

方案一：以天為單位，每天隨機抽選100位當天到訪顧客發(fā)放優(yōu)惠券;

第2頁，共17頁

方案二：以周為單位，每周隨機抽選700位當周到訪顧客發(fā)放優(yōu)惠券.

參考上面表格記錄的客流量，你認為這兩個方案哪一個更合理？說明理由;

(2)若這周商場收到了一封當天顧客寫給商場的感謝信，求這封感謝信是周六收到

的概率；

(3)為了調(diào)研顧客在商場駐留時間，隨訪了男、女顧客各50人，得到如下列聯(lián)表:

駐留時間少于1小時駐留時間不少于1小時

男顧客3515

女顧客2030

能否有99%的把握認為顧客在商場駐留時間與性別有關(guān)?

nCad-bc)2

附：2

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

P(K2>fco)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD是正方形，頂點P在底面ABC。的射影是

正方形力BCD的中心，E為PC的中點.

(1)證明：PA〃平面BOE；

(2)若△PAB是邊長為2的等邊三角形，求點4到平面BDE的距離.

P

20.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,過戶的直線/交C于A,B兩點.

(1)當I的傾斜角為3時,若依尸|>|8尸|,求|4F|-2|BF|；

(2)設(shè)點P(4,0),且P4J.PB,求珀勺方程.

21.已知函數(shù)/'(x)=2ex-x-2,g(x)=x(l—Znx).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：g(x)<1；

(3)設(shè)a,b為正數(shù)，且f(a)=b,證明：?<1哈

%=t--

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為,；(t為參數(shù)).以坐標原點。為

y=￡+；+1

極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線，的極坐標方程為p(sin。cos。)=

1.

(1)求C和I的直角坐標方程;

(2)求C上的點到/距離的最小值.

第4頁，共17頁

設(shè)a,b為正數(shù)，且a+b=l.證明:

(l)aVd+by/a.<y；

(2)(a2+b)(%2+a)>a2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?.?M={x|±SO}={x|OSx<1},/V={x|2^<2}=[x|x<l},

；.MCN=[0,1).

故選:B.

求出集合M,N,然后進行交集的運算即可.

本題考查了分式不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，交集及其運算，考查了計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：對于選項4憶+1|=|2+4=a7不芋=花，即選項4錯誤；

對于選項8,工=白=；一]，即選項8錯誤；

zl+l22

對于選項C,z2=(l+i)2=2i,即選項C錯誤；

對于選項。，zz=|l+i|2=l2+l2=2,即選項。正確，

故選：D.

由復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運算求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算，重點考查了復(fù)數(shù)模的運算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析[解：因為四個連續(xù)的自然數(shù)中一定有2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，所以兩數(shù)之和為偶數(shù)

21

的概率為西=;.

故選：A.

四個連續(xù)的自然數(shù)中一定有2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，以此可解決此題.

本題考查古典概型應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力及抽象能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

第6頁，共17頁

【解析】解：因為y=x,y=tanx,y=sbix均為定義域上的奇函數(shù)，

對于/：y=xsi/ix是偶函數(shù)，所以A錯誤；

對于8：y=%+sinx是奇函數(shù)，且y=1+cosx20,為單調(diào)遞增函數(shù)，所以3正確；

對于C：y="anx是偶函數(shù)，所以。錯誤；

對于D：y=%+tern%是奇函數(shù)，當x=3時，x+tanx=4-1,當x=］時，無意義，

當x=?時，x+tanx=^-l,不是單調(diào)函數(shù)，所以。錯誤；

44

故選:B.

分析函數(shù)的定義域，以及根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷，判定是否滿足函數(shù)是奇函數(shù)，排除

4、C,再借助導(dǎo)函數(shù)判定單調(diào)性.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：a,0平行于同一個平面時，則?！?,故A錯誤；

a，。垂直于同一個平面時，a,?？赡艽怪保部赡芟嗷テ叫?，也可能相交但不垂直，

故B錯誤；

a內(nèi)一笥直線垂直于￡內(nèi)一條直線，a,夕可能垂直，也可能相互平移地，也可能相交但

不垂直，故C錯誤；

a內(nèi)一條直線垂直于0,則al￡,反之也成立，故D正確.

故選：D.

由面面關(guān)系及面面垂直的判定方法依次判斷4個選項即可.

本題考查面面垂直的充要條件的判斷，考查面面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推

理論證能力，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：：a=0.22=0.04,

b=30-3>3°=1,

c=log40.4<log4l=0,

■■■c<a<b,

故選：C.

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

本題考查三個數(shù)大小的求法，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用.

7.【答案】4

大,

z有最大值為2.

故選：A.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

8.【答案】4

【解析】解：瓦瓦?麗=0=F/21AF2,

設(shè)C的半焦距為c,則tan/4&尸2=翳=2，

貝1JMF2I=5m,|F1F2|—12m=2c,c=6m,=13m,

由橢圓定義可知MF/+\AF2\=2a,則Q=9m,

所以離心率e=￡=署=|.

a9m3

故選：A.

由已知，&尸21AF2,tan^AF1F2=V，可設(shè)NF2I=5m,則|招尸2|=12m=2c,然后根

據(jù)勾股定理表示出=13m,然后再利用橢圓的定義表示出a,m之間的關(guān)系，代入

到離心率中即可完成求解.

第8頁，共17頁

本題考查了橢圓離心率的計算，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：由己知可得|不=1,|K|=1,a-b=o,

對4|日+方|=J|a+K|2=J|a|2+\b\2+2a-b=?,故4錯誤；

對B：同理求得|2Z+方|=遍，2|2五一9|=2V5.即|2一+方|#2|2五-31，故8錯誤；

對C：（2方+石）?（百一2萬）=2|五「一3小另一2|方『=0,即（2百+石）1（行一2方），故C

正確；

對。：a-（2a+b）=2\a\2+a-b=2,b-（2a+b）=2b-a+\b\2=1，

即五?（2五+5）*大（2五+5），故。錯誤，

故選：C.

利用平面向量的運算法則求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，向量模的求解，屬于中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：圓C"M-2%+y2=o的圓心（1,0）半徑為1,圓。2：4/+4y2=9的圓

心（0,0）,半徑為：|,

兩個圓相交，設(shè)圓G與圓C2的公切線的方程為：y=kx+b,

[-4=—|（b=—1（b=-1

可得儒，解得k=一立或八=立

公切線方程：x+V3y+3=0或％—V3y+3=0.

故選：A.

利用圓系方程求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系求解即可.

本題考查兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計算能力.

11.【答案】C

【解析】解：???S4=S6H0，??.。5+06=°，

,,?密。。，否則=。，d=0,可得Qn=0,矛盾.

即2al+9d=0,

a4+a6=2al+8d=—dH0,—d可能大于0,也可能小于0.

??

?Si。=5（a5+。6）=0,

S2+Sil=2a1+d+lla1+^pd=-l(i,則一|d可能大于0,也可能小于0.

綜上只有C正確.

故選：C.

由54=5600,可得&5+。6=0,可得2a1+9d=0,d#0,再利用通項公式與求和

公式即可得出結(jié)論.

本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：?.?函數(shù)/(%)=%3-3M_k在區(qū)間(0,3)存在零點，

即y=k與g(x)=x3-3/在區(qū)間(0,3)存在交點，

g'(x)-3x2-6x=3x(x—2),

???0<x<2時，g'(x)<0,g(x)遞減，

2cx<3時，g'(x)>0,g(x)遞增，

又g(0)=0,g(2)=-4,g(3)=0,

-4<fc<0,

故選：D.

把問題轉(zhuǎn)化為y=k與g(x)=x3-3/在區(qū)間(0,3)存在交點，研究g(x)=x3-3/在

(0,3)上的值域即可求解結(jié)論.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2V2

【解析】解：因為；1>4一2,所以a2=4>0,b2=2-2.>0,

所以c?=a2+b2=A+2—A=2,解得c=V2,

所以該雙曲線的焦距為2c=2V2.

故答案為：2a.

由4>4—2,可得。2=4>0,b2=2—A>0,從而即可求解.

第10頁，共17頁

本題考查了雙曲線的焦距，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】更

3

【解析】解：???等比數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，且a3=-3,a5=-l,

.“2一as一1

"q

...q='或q=-白(舍去)，

故答案為：叵.

3

由題意可知q2=結(jié)合數(shù)列｛a“｝為遞增數(shù)列求解即可.

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】[2,3)

【解析】解：函數(shù)/(0=釬一2'+1+3=(2丫-1)2+2,在(一8,芻上，2xe(0,V2],

當％=0時，f(x)取得最小值為2,

當x趨于-8時，2*趨于0,函數(shù)/(x)趨于3,

故f(x)的值域為[2,3),

故答案為:[2,3).

由題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得/(x)的值域.

本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】yV2

【解析】解：設(shè)球。的半徑及圓錐M的底面半徑均為R,圓錐M的母線長為，，

則4兀/?2=兀/?2+兀比，所以/=3R,

圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大小為半=Y；

球。的體積為萼，圓錐的的高h=VPR=2魚R，

圓錐M的體積為上兀/?2.2&R=出生，

33

所以球。的體積與圓錐M的體積的比值為近.

故答案為：號,應(yīng).

設(shè)球。的半徑及圓錐M的底面半徑均為R,圓錐”的母線長為I,再根據(jù)球與圓錐的表面

積公式求得1=3R,即可得圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大??；根據(jù)勾股定理求得h=

2近R，再結(jié)合球與圓錐的體積公式分析體積比即可

本題考查了球和圓錐體積的計算，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴根據(jù)題意sin4cosB=V5(l—siMB)=75cos

當cosB=0時，B=三,此時A=兀—8—C=/；

26

當cosB。0時，貝iJsizM=V3cosB=>/3cos(y-4)=—ycosA+gs出A,

所以三sinzl——cosA=sin(A—￡)=0,

22'3，

因為OVAV拳所以4=全

綜上4=｝或4=g.

o3

(2)BC=BD+CD=3,

由(1)可知，當B=],NBAC屋時，AB=BC-tanC=3V3,

所以4c=y/AB2+BD2=2夕；

由(1)可知，當NB4c=g時，B=pAB=BC=3,

由余弦定理可知A。？=AB2+BD2_2AB-BD-cosB=9+l-2x3xlx[=7,

所以4。=V7.

【解析】(1)由題意可求sin4cosB=gcos2B,分類討論，利用三角函數(shù)恒等變換即可

求解.

(2)由題意解三角形可求4B,40的值，進而根據(jù)余弦定理即可求解.

本題考查了三角函數(shù)恒等變換，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和分類

討論思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)方案二更合理.

理由：周六、周日兩日的單日平均客流量為1.6萬人，而周一到周五的單日平均客流量

僅為0.62萬人，為周六、周日單日平均客流量的號=38.75%,

第12頁，共17頁

如果選擇方案一，那么顧客在周六、周日兩天平均被抽選到的概率僅為周一到周五平均

被抽選到的概率的38.75%,因此選擇方案二更合理.

L82

(2)感涉信發(fā)生在周六的概率為?

0.6+0.5+0.6+0.6+0.8+1.84-1.47

(3)根據(jù)列聯(lián)表可知：a—35,b—15,c—20,d=30,a+b=c+d=50,Q+c=55,

b+d=45,ri=a+b+c+d=100,

所以K2TI(ad-be)2X9.09>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

故有99%的把握認為顧客在商場駐留時間與性別有關(guān).

【解析】(1)根據(jù)一周7天的客流量的不均勻性，可得結(jié)論；

(2)利用古典概型概率公式即得；

(3)利用公式可得K2,即得.

本題考查了古典概型的概率計算以及獨立性檢驗，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：連接AC,交BD于0,連接OE,

四邊形4BCD是正方體，二。平行4C,即04=OC,

???E為PC的中點，,OE為△P4C的中位線，OE//PA,

■：OEu平面BDE,PAC平面80E,尸力//平面BDE.

(2)由(1)可知，點4到平面BOE的距離等于點P到平面BOE的距離，

???△P4B是等邊三角形，且頂點P在底面4BCD的射影是正方形力BCD的中心,

PCD也是等邊三角形，

PC1BE,PC1DE,

???BE,OE是平面BOE內(nèi)兩相交直線，

PC，平面BDE,

??PE的長即為點P至U平面BDE的距離，

vPC=2,：.PE=1,

二點4到平面BOE的距離為1.

【解析】(1)連接AC,交BD于點。，由E為PC的中點，得到。E〃P4再利用線面平行

的判定定理能證明P4〃平面BDE；

(2)由(1)得點4到平面的距離等于點P到平面的距離，再證明PCJ■平面BOE,能求出點4

到平面BDE的距離.

本題考查線面平行、線垂直的判定與性質(zhì)、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由拋物線C：y2=4x的方程可得：焦點F(l,0),

由題意可得直線，的斜率k=tan45°=1,

所以直線I的方程為x=y+L設(shè)4(%,%),B(x2,y2),由用>出用,可得%>冷，

聯(lián)立整理可得y2—4y-4=0,可得、=型若亙=2±2傷

所以％=y+1=3±2V2,

所以可知與=3+2&，x2=3-2V2,

由拋物線的性質(zhì)可得|4F|=/+1=3+2夜+1=4+2近，\BF\=x2+l=3-

2V2+1=4-2A/2.

所以用一2\BF\=4+2V2-2(4-2V2)=6V2-4;

(2)顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為x=my+1,設(shè)4(與,％),B(x2,y2),

聯(lián)立｛；2>整理可得y2-4my-4=°,可知%+y2=4m，乃丫2=-4；

因為點P(4,0),且PA1PB,所以可?而=0，

即(與-4/1)?(X2-4,y2)=0=Qi-4)(x2-4)+yry2=0=?(my[+1—4)(my2+

22

1—4)4-yty2=0=(1+m)y1y2—3m(yt+y2)+9=0=—4?(1+m)—3m-

4m+9=0,

解得病=[所以n=+更，

16-47

所以直線/的方程為x=土乎y+1，BP4x+y/15y—1=0.

【解析】(1)由拋物線的方程可得焦點F的坐標，由直線，的傾斜角可得直線，的斜率，設(shè)

直線1的方程，與拋物線的方程，可得4B的坐標，由拋物線的性質(zhì)可得|4F|,田?|的

值,進而可得MF|-2|BF|的值;

(2)設(shè)直線珀勺方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由PA1PB,可

得數(shù)量積同?而=0,求出數(shù)量積的表達式，將兩根之和及兩根之積代入，可得參數(shù)m

的值，進而求出直線I的方程.

第14頁，共17頁

本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，直線方程的求法，屬于中檔

題.

21.【答案】(1)解：因為/(x)=2靖一%-2,

所以/'(%)=2e*—1,令/'(x)=0,則％=—。2,

當x<Tn2時,f'(x)<0,即f(〈的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-m2),

當x>Tn2時,/'(X)>0,即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一)2,+8).

(2)證明：因為g(x)=x(l-Inx)定義域為(0,+8),

所以g'(x)=Tnx,令g'(x)=0,貝!|x=1,

當0<x<l時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以當％=1時函數(shù)取得極大值及最大值，

所以g(x)<g(l)=1.

(3)證明：由(2)可知其1-1吟w1,

所以In22平，

所以若《<匕，即a+a2<b,則貯<In2

bbba

因為/(Q)=b,即2e。-a—2=b

a

故只需證明/(a)=2e-Q—2>Q+Q2,

即證2e“一2a—Q?—2>0.

設(shè)/i(%)=2ex—2x—x2—2,則h'(%)=2ex—2—2%,

設(shè)3(%)=hz(x)=2ex—2—2x,

則當%>。時,(p(x)=2ex-2>0,?(%)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以當%>0時，h!(x)=<p(x)><p(0)=0,九(%)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以當%>0時，九(%)>/i(0)=0,即2靖—2%—%2—2>0,

綜上，若/(a)=b,則?<1吟

【解析】(1)求出函數(shù)