2022-2023學年人教A版高二數學上學期同步講義第一章空間向量與立體幾何章末重點題型歸納(解析版)

第一章空間向量與立體幾何章末重點題型歸納

善高頻考點

題型九空間向量與立體幾何的綜合問題型一空間向量的線性運算

題型二空間共線向量定理

題型八空間距離的計算

空間向量與立體幾何章題型三空間共面向量定理

踵型七空間角的計算

末重點題型歸納

題型四空間向量的運算的坐標表示

題型六空間向量在立體幾何平行、垂

百問題中的應用

題型五空間向量的數量積及其性質的

應用

1°_______

生工知識梳理

知識點1空間向量的有關概念

1.在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長度或模」

注：數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在

空間內任意平移，故我們稱之為自由向量。

2.表示法：

(1)幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量”的起點是4終點是5,則“也可記作成，其模記為同或|赤

3.幾類特殊的空間向量

單位

模為1的向量叫做單位向量同=1或|工前=1

相反

與向量。長度相等而方向相反的向量,叫做”的相反向量記為一。

向量

共線如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相詡或重合，那么這些向量ab或二N,

向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量壬任，即對于任意向量”,

都有0_"

相等方向相同且模粗笠的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示

a=b或AB=CD

向量同一向量或相等向量

知識點2空間向量的線性運算

（一）空間向量的加減運算

語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和

三角形C

法則圖形敘述仁

AaB

加法運算

語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和

平行四邊形法則BC

圖形敘述

vOAaA

語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量

三角形

減法運算B

法則圖形敘述b

)a

交換律

加法運算

結合律(〃+b)+c=a+(b+c)

（二）空間向量的數乘運算

定義與平面向量一樣，實數與空間向量〃的乘積萩仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘

2>0瓶與向量a的方向相同

2<0入a與向量a的方向相反

幾何意義

2=0為=0,其方向是任意的

加的長度是a的長度的四倍

結合律2（//a）=（x//）a

運算律

知識點3共線向量與共面向量1.共線向量與共面向量的區(qū)別

共線（平行）向量共面向量

定表示若干空間向量的有向線段所在的直線平行于同一個平面的向量叫做共面向量

義互相平行或重合,這些向量叫做共線向量

或平行向量

注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對

任意向量，，都有0口”.

共線向量定理：對于空間任意兩個向量”，

伙厚0),ab的充要條件是存在實數人使“

共面向量定理：若兩個向量”，5不共線，則向量/，與向

量?,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),

注：(1)天//次5*0)=存在唯一實數4,

使p=xa+yb.

使得@=4；(2)存在唯一實數力，使得

充a=AbCb^0),貝(］a//5.注意：5Ho不

要

可丟掉，否則實數2就不唯一.

條

1、空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序

件

實數對(x,j),使或對空間任意一點O,有

-->?-->—>

對空間任一點。，~OP=xO4+yOB(xOP=OA+xAB+yAC.

+y=l).2、空間中P,A四點共面的充要條件是存在有序實

數對(x,y,z),使得對空間中任意一點。，都有

麗=》次+必^+24(其中％+,+2=1)

共線向量定理的用途：

共面向量定理的用途：

用「判定兩條直線平行；(進而證線面平行)

證明四點共面

途

［證明三點共線。

［線面平行(進而證面面平行)。

注意：

證明平行時，先從兩直線上取有向線段表

示兩個向量，然后利用向量的線性運算證

明向量共線，進而可以得到線線平行，這

是證明平行問題的一種重要方法。證明三

點共線問題，通常不用圖形，直接利用向

量的線性運算即可，但一定要注意所表示

的向量必須有一個公共點。

2.直線/的方向向量

如圖。I,在直線/上取非零向量a,設P為/上的任意一點，則力R使得和=瓶.

定義：把與a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

知識點4空間向量的夾角

如圖，已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作八=a,6fe=b,貝ljAOB叫做向量a,

向量垂

如果(a,b)=j,那么向量a,6互相垂直，記作。上6

直

知識點5空間向量的數量積運算

1.(1)空間向量的數量積

已知兩個非零向量”，b,則同回cos(a,b)叫做a,〃的數量積，記作“4,即a仍=同團cos(a,b).零

向量與任意向量的數量積為0,即0z=&

⑵運算律

2.投影向量及直線與平面所成的角

(1)如圖］在空間，向量”向向量〃投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a

內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量〃共線的向量c,c=|a|cos〈a,b)備向量c稱為向量a在

向量〃上的投影向量.類似地，可以將向量“向直線/投影(如圖口).

(2)如圖口，向量a向平面/?投影，就是分別由向量a的起點/和終點3作平面/?的垂線，垂足分別為/T,

B,,得到向量才向量才F稱為向量a在平面上的投影向量.這時，向量”，刀正的夾角就是向

知識點6空間向量數量積的性質

(1)若a,6為非零向量，貝！IaUb」優(yōu)6=0；

(2)az=向2或同=；

⑶若a,b為非零向量，則cos(a,b)=j^卷；

(4)依b|W|a|同(當且僅當a,b共線時等號成立).

知識點7空間向量基本定理

1.定理

如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯二的有序實數組(x,y,z),使得

p=xat沖+”.其中｛a,b,<4叫做空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量.如果〃=xa+yb+zc,貝|J稱

為p在基底｛，，b,c｝下的分解式.

2.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底：空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,常用｛i,j,A｝表示.

(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量。，均可以分解為三個向量看，力，zk,

使+力+注.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量正交分解.

知識點8空間向量基本定理應用

1、證明平行'共面問題

(1)對于空間任意兩個向量。，60厚0),”」/>的充要條件是存在實數2,使〃=助.

(2)如果兩個向量明〃不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,刃，

使p=xa+yb.

(3)直線平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題.

2、求夾角、證明垂直問題

n*h

(1)0為a,b的夾角，則cos6=i^j.(2)若a,b是非零向量，則aEJbE]a4=0.3'求距離(長度澗題

|a|=W^(|翦|=4益?茄).

知識點9空間直角坐標系

1.空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點。和一個單位正交基底｛i,k｝,以。為原點，分別以i,j,k

的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、；:軸,它們都叫做坐標軸，這時我們

就建立了一個空間直角坐標系。*度.

(2)相關概念：2叫做原點，i,j,〃都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱

為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它們把空間分成八個部分.

注意點：

(1)基向量：|/|=|/|=|A|=1,ij=ik=jk=O.

(2)畫空間直角坐標系。到z時，一般使"＞，=135。(或45。)，j，Oz=90。.

(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向百的正方向，食指指

向詡的正方向，如果中指指向型的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

2.空間一點的坐標、向量的坐標

(1)空間點的坐標

在空間直角坐標系。WZ中，i,j,"為坐標向量，對空間任意一點“，對應一個向量次I,且點工的位

置由向量以唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(*,y,z),使次1=與+力+*.在單位

正交基底｛i,j,m下與向量近對應的有序實數組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作

A(x,y,z),其中x叫做點Z的橫坐標,P叫做點4的縱坐標,z叫做點Z的豎坐標.

一注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點

y

點的位置X軸上y軸上Z軸上

坐標的形式5,0,0)(0,J,0)(0,0,Z)

點的位置。到平面內的z平面內Ozx平面內

坐標的形式(X，J,。)(。，y>z)(x,0,z)

(2)空間點的對稱問題

口空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解.

□對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論.

(3)空間向量的坐標

向量的坐標：在空間直角坐標系的2中，給定向量a,作況l=a,由空間向量基本定理，存在唯一的

有序實數組(X,J,z),使a=xi+0+水.有序實數組(x,y,z)叫做“在空間直角坐標系。燈z中的坐標，可

簡記作a=(x,y,z).

知識點10空間向量的坐標運算

1.空間向量的坐標運算法則

設向量。=(〃1,〃2,W)，6=(仇，岳，仇)，ADR,那么

向量運算向量表示坐標表示

加法a+b+優(yōu)2+—，內+優(yōu))

減法a—b(ai-bi,―――，

數乘2a,2敢,癡3)

數量積a*b01力1+42岳+。3力3

注意點：

(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.

(2)設力(Xl,y\9Z1),8(X2,及，Z2),則彳方=(X2—XI,及一71,Z2—Zl).即一個空間向量的坐標等于表示此向

量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2=a2±2a-b+b2；(a+b)-(a—b)=a2—b2.

(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數量積的結果為數量.

2.空間向量相關結論的坐標表示

設az,03),b=(bi,岳，bi),則有

(1)平行關系：當件0時，anbUa=AbCa]=Abi,經三弛，43=助3a口陽;

(2)垂直關系：aJba-b=O■加+〃2岳+。343=0.

(3)\a\=y[a^a=yla]+ai+aj.

a*b〃向+。2岳+〃363

(4)cos(a,b)=同回=4鬲+屈+鬲々&+岳+員-

3.空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設Pi(xi,pi,zi),Pi(xi9yi9Z2).

1-a

(1)P\Pi=(x2—xi,yi—yy,Z2-zi).

(2)P\Pi=\P\P^\=\l(X2—xi)2+(y2—yi)2+(Z2—zi)2.

(3)若。(0,0,0),P(x,y,z),則|彷|=，*+產+%2.

知識點11空間中點、直線和平面的向量表示

1.空間直線的向量表示式

設N是直線上一點，。是直線/的方向向量，在直線/上取益=”,設尸是直線/上任意一點，

(1)點尸在直線/上的充要條件是存在實數f,使力=〃，即辦=成.

(2)取定空間中的任意一點O,點P在直線/上的充要條件是存在實數使力》=樂+〃

(3)取定空間中的任意一點。，點尸在直線/上的充要條件是存在實數f,使舁=況+力互

口如圖，設兩條直線相交于點O,它們的方向向量分別為。和兒P為平面a內任意一點，由平面向量基本

定理可知，存在唯一的有序實數對(*,y),使得d=xa+W>.

口如圖，取定空間任意一點。，空間一點尸位于平面/5C內的充要條件是存在實數x,y,

使辦=殖+又腦+y就.我們把這個式子稱為空間平面/8C的向量表示式.

匚由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

如圖，直線/口處取直線/的方向向量“，我們稱向量。為平面a的法向量.給定一個點N和一個向量a,

那么過點4且以向量，為法向量的平面完全確定，可以表示為集合仍|“?辦=0}.

知識點12空間平行、垂直關系的向量表示

設“1,"2分別是直線/2的方向向量，ni,112分別是平面a,4的法向量.

線線平行/iDZ2CuiOw2nD2DR,使得“尸癡證明線線平行的兩種思路：用基向量表示出要證明的兩條直

注：此處不考慮線線重合的情況.但線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要

用向量方法證明線線平行時，必須條件證明.建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量

說明兩直線不重合平行的坐標表示.

線面平行ZiUaOuiJnilJurni=0(1)證明線面平行的關鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂

注：證明線面平行時，必須說明直直.

線不在平面內；(2)特別強調直線在平面外.

面面平行aDftniOnzDO2CRt使得ni=2n2(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量

注:證明面面平行時，必須說明兩個平行.

平面不重合.(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明.

線線垂直ZlU/zl-UlJU2DU1*U2=O(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直,都可轉化為兩直線的

方向向量相互垂直.

(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐

標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數量積為0.

線面垂直/iDaDuilni^DR,使得ui=2ni(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，

證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證

得結論.

(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐

標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，

從而證得結論.

(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的

坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法

向量共線，從而證得結論.

面面垂直aL，niii2ni-n2=0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂

直去證明.

(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直

知識點13空間距離及向量求法

設已知平面a的法向量為n,Aa,P^a,向量近

設U為直線/的單位方向向量,4口/,產金/,W

文是向量前在平面上的投影向量，

字=a,向量方在直線/上的投影向量為近

P°=|/.言=耳回

語

(AQ=(??")”.)，"I1?1|?|

*

則P2=M方「一|而a2—a*u2注：實質上，”是直線/的方向向量，點尸到平面a

的距離就是處在直線/上的投影向量辦的長度.

知識點14空間角及向量求法

向量求法范圍

(1)兩異面直線所成角的范圍

是(o,f

設兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為

異面直U,V,

則

線所成(2)兩異面直線所成的角與其

的角方向向量的夾角是相等或互補的

cos6?-|cos〈u,v)|-|?||V|

關系.

直線與設直線/與平面a所成的角為仇/的方向向量為u,平面a(1)線面角的范圍為|_0,J

平面所的法向量為則

n,⑵直線與平面所成的角等于其方

成的角向向量與平面法向量所成銳角的

sin，=|cos〈u,n〉|=

余角.

平面a與平面”相交，形成四個二面角，把不大于］(1)兩個平面的夾角的范圍是

的二面角稱為這兩個平面的夾角.設平面a與平面”的夾角［仇l］

兩平面

為0,兩平面a,fl的法向量分別為n”112,則cos，=|cos<m,

的夾角(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾

n2>\?|-\nvm\

I?i|l?2|角或其補角.

e考點精片

題型一空間向■的線性運算

1.(2022?重慶長壽?高二期末)如圖,在斜棱柱ABCD-4與6口中,NC與5D的交點為點而=￡,亞=5,

麗=2,則版=()

1-1L、1一1丁一

C.——Q+—8+cD.——a——b+c

2222

［解析］=AM-AC^=^（AB+7dD）-^AB+BC+CC^=-^a-^b-c,

MC.=-C,M=—a+—h+c.

11222

故選：A.

2.(2022?全國?高二期末)如圖所示，在平行六面體ABC。-ABCQ中，AB=a,AD=b,A\=c,點例

是AA的中點，點N是CA上的點，且CN：CA=1:4,則向量麗可表示為()

1一7一1-1r-

A?一〃+/7+cB.一ciH—b+c

244

1-31-

C.—a——br—c

484

【解析】因為在平行六面體ABC。-AB?R中，AB=a，AD=h明'=點M是AR的中點，點N是

方上的點，且CN:C4,=1：4,

所以麗=麗+不7=_；而+［而=_；而+:國-可

=.LAD+l（AB+AD-AA；\=lAB+-AD--AA；=-a+-b--c,

24、44”444

故選:D.

3.（2022?河北邯鄲?高二期末）已知平行六面體ABCD-A^QD,的棱長均為4,/4A8=幺AO=ABAD=60°,

E為棱A4的中點，則|反卜.

【解析】AB=a>AD=b>AA\'c?貝?。軪C=AC—AE=A8+A。-5A4i="+B—,

?—二|2一2—21—2———一一一0夕1,111

\EC\=a+b+—c+2。力一。"一5?。=4-+4+—x4-+2x4x4x——4x4x——4x4x—=36,

I144222

=6.

4.（2022?甘肅?民勤縣第一中學高二期末（理））在長方體A3CO-A4G。中，M、N分別是5C、G已的

UL1UULUUUUUUU

中點,MN=aAB+bAD+cAA],貝!|。一/?一。=.

urn-iiuiruuruutriuuuuuiriuuniinniuunuuur

【解析】MN^MC+CCl+ClN=-AD+AAt--AB=--AB+-AD+AA,,

1,I,,11,c

a——,b=—,c=i,a—b—c—-------1=—2.

2222

故答案為：一2.

5.（2022?河南鄭州?高二期末（理））已知三棱錐O—/5C,點M,N分別

為線段45,OC的中點，且礪=￡,OB=b,OC=c,用a,h,2表示麗，則麗等于（）

C.^a-c-b)D.芥+￡+B

【解析】麗=麗一兩=萍一（那+；可=；0一2回.

故選：A

題型二空間共線向■定理

6.（2022?河南焦作?高二期末（理））已知向量￡=b=（2x,x,-i）,且小區(qū)，貝！I》的值為（）

A.-2B.1C.-1或2D.1或一2

-2=2x4

【解析】因為2/石，所以a=4,所以-i=x/i,

x-1=-22

所以工2_1_2=0,解得尤=2或x=—l.

故選：C.

7.（2022?四川雅安?高二期末（理））向量B分別是直線4，4的方向向量，且2=（1,3,5）,b=（x,y,2）,

若/1〃4,則（）

13

A.x=-,y=-B.X=39y=15

-26c315

c.^=—,y=-D?x=2f

\=tx

【解析】因為4〃4,所以￡〃后，所以￡=/,.?,(l,3,5)=f(x,y,2),所以一"y,解得x=g,y='

5=2r

故選：C.

8.(2022?吉林?吉化第一高級中學校高二期末)已知直線/的方向向量1=(八1,2),平面。的法向量

〃二(2,〃，—4),若/_La,貝!)2"?+〃=.

【解析】因為直線/的方向向量e=(mJ2),平面。的法向量〃二(2,〃,-4),ILa,

所以2K

所以存在唯一實數4,使］=企，

2=

所以(2,%-4)=為見1,2),所以＜〃=幾,

-4=22

2=-2

解得Vm=-1,

n=-2

所以2〃?+〃=-2+(-2)=-4,

故答案為：-4

9.(2022?山西呂梁?高二期末)在平行六面體ABCD-44aA中，點尸在4(上，若AP==AA,+：A8+JAD,

444

則3AP=()

A.-B.-C.-D.|

3443

【解析】因為卒=不+而=不+；羽+；通+；通=:亂+；而+；而，

=1\A+AB+BC=1\A+AB+AD,

所以有4A=＜而,因此黑j=。,

4|Aq4

故選：c

10.（2022?內蒙古哧峰二中高二期末（理））已知。為坐標原點，OA=（1,2,-2）,OB=（2,-1,4）,OC=（1,1,4）,

點P是OC上一點，則當麗?麗取得最小值時，點P的坐標為（）

從以制B.（器，2）

C.D.（2,2,8）

【解析】設麗=4祝=（444/1）,則

2

麗=（1-42-/1,-2-4/1）方=（2-九一1一九4-4幾）貝!|麗?麗=18/12-122—8=18（；1—3I-10

當2=g時，可.而取最小值為-10,

此時點p的坐標為1,m

故選：A

題型三空間共面向■定理

11.（2022?上海市建平中學高二期末）已知45、C、Z）.E是空間中的五個點，其中點N、8、C不共線，貝!|“OE

〃平面是“存在實數x、y,使得屣=xAAj+yAC-的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條

件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若DE〃平面N8C則詼，位而共面，故存在實數x、j,使得D2=x〃+y而.

若存在實數.3,使得5E=x^+y而，貝!）瓦，AB，尼共面

則DE//平面ABC^DEa平面ABC.

所以“DE//平面480,是“存在實數x.y,使得屁=*而+y相的充分而不必要條件.

故選：A.

12.（2022?黑龍江?嫩江市第一中學校高二期末）已知尸，A,B,C四點共面，對空間任意一點O,若

OP=2OA+OB+tOC,貝！!，=?

ULIUUL1UULILillUimUUIU

【解析】AP=OP-OA=OA^-OB+tOC

UL?UUUULWUUULIUUULUUUUlltlUUUlllUUttljy———w

BP=OP-OB=2OA+tOCCP=OP-OC=2OA+OB+（t-\）OCP9A,B,C四點共面，則存在實數〃?，〃，使

UUUUUUUI

^AP=mBP+nCP

uurutinuuin/uuruun、uurmuuuu

所以OA+O3+/OC=m(2OA+/OC)+〃z(2OA+O8+(r—l)OC)x

uumuuuuLilluuuLIUU

即OA+OB+tOC=(2m+2n^OA+nOB+(/加+nt—n)OC

2機+2〃=1

所以卜=1,解得m=一大,〃=1/=一2

2

故答案為：-2

13.(2022?廣東揭陽?高二期末)若｛%b,可構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是

()

A.b+c9b9b-cB.a+b,a—h>c

C.a9a+b9a-bD?a+b>a+b4-c,c

【解析】對于A：(fe+c)+(fe-c)-2*=6>因此A不滿足題意；

對于B：根據題意知道d,h,C不共面，而4+5和顯然位于向量1和向量5所成平面內，與向量C不

共面，因此B正確；對于C：2d=,+?)+(萬-5),故C不滿足題意；

對于D：顯然有乙=(萬+5+4-(萬+5),選項D不滿足題意.

故選：B

14.(2022?全國?高二期末)已知所=(2,1,-3),方=(-1,2,3),PC=(7,6,2),若P,A,B,C四點共面,則

2=.

【解析】由P,A,B,C四點共面，可得而，而，定共面，

/.PC=xPA+yPB=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(7,6,2),

2x-y=lx=4

x+2y=6,解得.y=l

-3x+3y=A2=-9

故答案為：-9

15.(2022?江西?臨川一中高二期末(理))已知空間向量〃二(-2,1,〃。，6=(1,-1,2),"=(-1,22),若

Z共面，則〃i+2f=()

A.B.0C.1D.—6

【解析】*《，所以還不共線,

由于2,b,2共面,

所以存在使工=出+防

即(—1,22)=x(—2,1M)+y(1,—1,2),

(-1,2,2z)=(-2x,x,mx)+(y,-y,2y),

(-l,2,2r)=(-2x+y,x-y,/nx+2y),

-2x+y=-lx=-1

x-y=2y=-3=>m-(-1)+2-(-3)=2t,

〃優(yōu)+2y=Itmx+2y=2t

即加+2f=-6.

故選：D

題型四空間向量的運算的坐標表示

16.(2022?湖南邵陽?高二期末)已知平面上兩點A(l,2,3),則下列向量是直線AB的方向向量是()

A.(-1,1,1)B.(123)C.(1,2,1)D.(2,1,2)

【解析】因為兩點4為2,3),5(-1,1,1),則荏=(-2,-1,-2),

又因為而=(-2,-1,-2)與向量(2,1,2)平行，所以直線A8的方向向量是(2,1,2),

故選：D.

17.(2022?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學校高二期末)已知向量1=(3,0,1),5=(-2,4,0),則

A.(5,8,3)B.(5,-6,4)

D.(16,0,4)

［解析11?,3a+2b=(9,0,3)+(-4,8,0)=(5,8,3),

故選：A

18.(2022?福建寧德?高二期末)已知4(123),8(4,5,9),AC=^AB,則/的坐標為.

【解析】由題設，通=(4,5⑼一(1,2,3)=(3,3,6),

所以/=!通=(1,1,2).

故答案為：(1』,2)

19.(2022廣東汕尾?高二期末)在空間直角坐標系。-舊中，向量3=(1,3,-2)為平面N8C的一個法向量,

其中A(l,—I"),8(3,1,4),則向量而的坐標為.【解析】因為A(L—1,。，8(3』,4),

所以福=(2,2,47),

又因為向量三(1,3,-2)為平面/5C的一個法向量,

所以通；=1X2+3X2-2X(4T)=0,

解得f=0,

所以通=(2,2,4),

故答案為：(2,2,4)

20.(2022?貴州貴陽?高二期末(理))在空間直角坐標系中，已知點N(1,2,1),8(411,4),￡>(1,1,1),若點尸滿

足衣=2萬，貝Ui。51=.

【解析】設P(x,y,z),所以而=(x—l,y—2,z—1),麗=(4—x,ll—y,4—z),因為屈=2萬，所以

x-l=2(4-x)x=3

所以卜2=2(U-y),解得.

(x—l,y-2,z-l)=2(4-x,ll-y,4-z)y=8,即P(3,8,3),所以

z-1=2(4-z)z=3

P?=(-2,-7,-2),所以冏=/2)2+(_7)2+(_2)2=扃；

故答案為：回

題型五空間向■的數■積及其性質的應用

21.(2022?福建省華安縣第一中學高二期末)三棱錐A-3CD中，AB=AC=AD=2,/BAD吟,NBAC=g,

貝！I福①=.

A

■A—，L■,~471.,UlllULIW------------------------------------------------------------------------------------------

【解析】由題意得NBAO=5,故A&AO=0,ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC

=-2x2xcos—=-2,

3

故答案為：?2

22.（2022?河南焦作?高二期末（理））已知在四面體4BCD中，AB=2AC=3AD=69

TT

ZBAC=ZCAD=ZDAB=y,貝！j匱麗=.

【解析】由題設，可得如下四面體示意圖，

BCBD=(AC-AB^AD-AB)=ACAD-ACAB-ABAD+AB2,

TT

又鉆=2AC=3AD=6,ZBAC=ZCAD=ZDAB=-,

—■—?111

^rl^BC-BZ)=3x2x--3x6x--6x2x-+36=24.

故答案為：24

23.(2022?山西晉中?高二期末)在空間直角坐標系中，已知向量次=(1,2,4),麗=(2,1,3),萬=(1,1,2),則

中?麗的值為.

【解析】因為向量3=(1,2,4),麗=(2,1,3),麗=(1』,2),

所以麗=)_加=(0,1,2),而=麗_麗=(1,0/)，

所以環(huán)麗=0+0+2=2

故答案為：2

24.(2022?河南平頂山?高二期末(理))在平行六面體中，AB=BC=BB、=1,

NABB、=NABC=NB\BC=三,荏=2匹，貝！J|庭|=()

A.733B.5C.34D.3

uuiruuifuirinnuuiruir/uiriiuuruun、uiruuirmin

【解析】BiE=+BA+AE=B]B+BA-^-2(BA+BB}+BC\=3BA+BB}+2BC,

iuuu'i2,uiruuiruiU\2|UUj2iiorplUim。uiruinruuiruunuiruun

所以=(3BA+BB]+2BC)=32BA+陰+22￡?C+6BA?BB、+4BB】?BC+12BA-BC

=32+12+22+6xlxlx—+4xlxlx—+12xlxlx—=25,

222

IUUITI

所以收4=5,

故選：B.

25.(2022?吉林遼源?高二期末)已知空間向量”=(3,-26,2),B是

單位向量，忖