2022-2023學年浙江七年級上學期數(shù)學重難題型全歸納及技巧提升專項（浙教版）專題02數(shù)軸中的動點問題專項講練（解析版）

專題02數(shù)軸中的動點問題專項講練

數(shù)軸動點問題本學期必考壓軸題型，是高分考生必須要攻克的一塊內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。

【解題技巧】數(shù)軸動點問題主要步驟：

①畫圖——在數(shù)軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；

②寫點——寫出所有點表示的數(shù)：一般用含有/的代數(shù)式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用表示;

③表示距離——右一左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；

④列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。

注意：要注意動點是否會來回往返運動。

題型1.單動點問題

例1.（2022?河北石家莊?七年級期末）如圖，已知A,B（B在4的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)

為8,且AB=12,動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P的運動過程中，

M,N始終為AP,的中點，設(shè)運動時間為r（，＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（）

BN+PMA……-

_____t________*_______.:4?①［對應(yīng)的數(shù)星一4：②點尸到達點8時，t=6；③BP

08

=2時，，=5；④在點尸的運動過程中，線段MN的長度不變

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】①根據(jù)兩點間距離進行計算即可：②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點P在點B的右側(cè)，

點戶在點3的左側(cè)，由題意求出4P的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點P在點8的右側(cè)，

點P在點B的左側(cè)，利用線段的中點性質(zhì)進行計算即可.

【詳解】解：設(shè)點8對應(yīng)的數(shù)是x,

???點A對應(yīng)的數(shù)為8,且AB=12,

...8-尸12,.?.戶4二點B對應(yīng)的數(shù)是4故①正確；

由題意得：12+2=6（秒），，點P到達點8時，t=6,故②正確；

分兩種情況：當點P在點B的右側(cè)時，

：A8=12,BP=2,：.AP=AB-BP=l2-2=\0,

.?.10+2=5（秒），；.8P=2時，/=5,當點P在點8的左側(cè)時，；48=12,BP=2,.?.4P=AB+8P=12+2=14,

/.144-2=7（秒），,BP=2時，/=7,綜上所述，8尸=2時，/=5或7,故③錯誤；

分兩種情況：當點P在點B的右側(cè)時，

'：M,N分別為AP,3P的中點，：.MP=^AP,NP=^BP，

：.MN=MP+NP=!AP+!BP=24B=gx12=6,

2222

當點P在點8的左側(cè)時，N分別為AP,BP的中點，，MP=TAP,NP=^BP,

：.MN=MP-NP=|AP-gBP=ggx12=6,

在點P的運動過程中，線段MN的長度不變，故④正確：

所以，上列結(jié)論中正確的有3個，故選：C.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?全國?七年級課時練習）如圖，在數(shù)軸上有A,8兩點（點8在點A的右邊），點C是數(shù)軸上

不與A,8兩點重合的一個動點，點M、N分別是線段AC,8c的中點，如果點4表示數(shù)。，點8表示數(shù)。，

求線段MN的長度.下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（）

甲說：若點C在線段AB上運動時，線段MN的長度為:s-a）；

乙說：若點C在射線AB上運動時，線段MN的長度為g（。-加；

2

丙說：若點C在射線8A上運動時，線段MN的長度為g（4+A）.

二J*A.只有甲正確B.只有乙正確C.只有丙正確

D.三人均不正確

【答案】A

【分析】分別求得點C在線段上運動時，點C在射線A8上運動時和點C在射線BA上運動時，線段MN

的長度，判定即可.

【詳解】解：點C在線段AB上運動時，如下圖：

4MCNB

MN=LAC+1BC=LAB=L3-“）甲說法正確；

2222

當點C在射線A8上.運動時，如下圖:

AMBNC

MN=」AC_，BC=，AB=，S_a)乙說法不正確；

2222

當點C在射線BA上運動時，如下圖：

CM&NB.

MN=-BC--AC=-AB=-(b-a)^^iE^故選A

2222

【點睛】此題考查數(shù)軸上的動點以及兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是對點C的位置進行分類討論分別求解.

題型2.單動點問題(規(guī)律變化)

例2.(2021?浙江溫州?七年級期中)如圖，在數(shù)軸上，點A表示-4,點8表示-1,點C表示8,P是數(shù)軸

上的一個點.

ABC

------1----->(1)求點4與點C的距離.⑵若PB表示點尸與點B之間的距離，

-4-18

PC表示點尸與點C之間的距離，當點尸滿足尸8=2PC時，請求出在數(shù)軸上點尸表示的數(shù).(3)動點尸從點

8開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動2個單位長度，第三次向左移動3個單位長度，第四

次向右移動4個單位長度,依此類推…在這個移動過程中，當點P滿足PC=2PA時,則點P移動次.

【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29

【分析】(1)根據(jù)兩點間的距離公式可得A與C的距離；

(2)設(shè)點P表示的數(shù)是x,根據(jù)題意列出方程，再解方程即可；

(3)設(shè)點P表示的數(shù)是x,根據(jù)題意列出方程可得x=T6或0,再根據(jù)點尸的移動規(guī)律可得答案.

⑴解：AC=|8-(-4)|n2,故答案為：12；(2)解：設(shè)點P表示的數(shù)是x,則尸8=|x+l|,PC=|x-8|,

.".|x+l|=2|x-8|,解得x=17或5；

(3)解：設(shè)點尸表示的數(shù)是X,則以=|x+4|,PC=|x-8|,

，僅-8|=2|x+4|,解得x=-16或0,

根據(jù)點P的移動規(guī)律，它到達的數(shù)字分別是-2,0,-3,1,-4,2,-5,3......

它移動奇數(shù)次到達的數(shù)是從-2開始連續(xù)的負整數(shù)，故移動到-16需29次，移動到0需2次.

故答案為：2或29.

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化類、實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點、數(shù)軸上兩點間的距離，熟練掌握絕對值的

性質(zhì)、實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點、數(shù)軸上兩點間的距離是解決本題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?浙江嘉興?七年級期末）一個機器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進3步后退2步

的程序運動，設(shè)該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，x“表示第〃秒時機器

人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù).給出F列結(jié)論：①》3=3;②工5=1；③XiosVXm；④Wow>X,ojo.其中，正

確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析〉'前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一

個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即X5=l,第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即XK）=2,第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即XG=3,…，第m個

循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即X5m=m.然后再根據(jù)“前進3步后退2步''的運動規(guī)律來求取對應(yīng)的數(shù)值.

【詳解】根據(jù)題意可知：Xl=l,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,

X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,Xio=2,

X||=3,X|2=4.X|3=5,X14=4,X|5=3,...

由上列舉知①②正確，符合題意：

由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即X5=l,第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即xio=2,第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即

X15=3....即第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即X5m=m.

Vxioo=2O,.*.xioi=21,x102=22,XIO3=23,XI（M=22,

VXIO5=21,.".xi（）6=22,xIO7=23,xios=24

故XK）8>X3,故③錯誤，不合題意；

X20l5=403,.，.X2OI6=4O4,X2OI7=405,X2018=406,X2OI9=4O5,X2O2O=4O4,

故X239>X2020,故④正確.符合題意.故答案為：①②④.【點睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，

主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”.把數(shù)和點對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)''和"形''結(jié)合

起來.前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n+5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)

中對應(yīng)的第幾個數(shù).

題型3.雙動點問題（勻速）

例3.（2021?陜西?西安鐵一中濱河學校七年級期中）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)m3點表示數(shù)4C點表示

數(shù)c,且〃，。滿足|。+3|+（b-9）2=0,c=\.

（1）a=,h=；

（2）點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x,則當x時，代數(shù)式lx-ol-lx-例取得最大值，最大值

為；

(3)點尸從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時點。從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，

在點。到達點C后，以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)運動的時間為f(二8)秒，求第幾秒時，點尸、。

之間的距離是點B、Q之間距離的2倍？

~4Q_A［答案］(1)-3.9；(2)>9,12；(3)-秒或義秒.

【分析】(1)由|"+3|+(Z?-9)2=0,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得|a+3|=0,(b-9)2=0,即可求出a—-3、b=9；

(2)由(1)得a=-3、〃=9,則代數(shù)式|x-a|-|x-即代數(shù)式|x+3|-|x-9|,按x<-3、-3<r<9Rx>9

分類討論，分別求出相應(yīng)的代數(shù)式的值或范圍，再確定代數(shù)式的最大值：

(3)先由點C表示的數(shù)是1,點8表示的數(shù)是9,計算出8、C兩點之間的距離，確定f的取值范圍，再按

t的不同取值范圍分別求出相應(yīng)的t的值即可.

【詳解】解：⑴V|a+3|>0,(6-9)2>0,且|。+3|+(1-9)2=0,

?,.|a+3|=0,(。-9)2=0,：.a=-3,b=9,故答案為：-3,9.

(2)'.'a--3,b=9,.,?代數(shù)式|x-即代數(shù)式|x+3|-|x-9|,

當xV-3時，W+3|-|x-9|=-(x+3)-(9-x)=-12；

當-3%<9時，卜+3|-|x-9|=x+3-(9-x)=2x-6,

V-12<2x-6<12,-12<|x+3|-|x-9|<12；

當xN9時，|x+3|-|.r-9|=x+3-(x-9)=12,

綜上所述,|x+3|-|x-9|的最大值為12,

故答案為：>9,12.(3)???點C表示的數(shù)是1,點B表示的數(shù)是9,

.?.8、C兩點之間的距離是9-1=8,

當點。與點C重合時，則2f=8,解得f=4,

當0〈出4時，如圖1,點F表示的數(shù)是-3-f,點。表示的數(shù)是9-2/,

12

根據(jù)題意得9-2/-(-3-r)=2x2/,解得/=二；

當4<正8時，如圖2,點尸表示的數(shù)仍是-3-7,

V1+(2r-8)=2f-7,.?.點。表示的數(shù)是2f-7,

根據(jù)題意得2f-7-(-37)=2(16-20,解得才=',

綜上所述，第，秒或第半秒，點P、Q之間的距離是點B、。之間距離的2倍.

PACOB

------1-------1?1，，?—J1i-------i------1—

-301------------------9

圖2

PACQB

―11"―W―6i―'—9—'1［點睛］本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的

圖1

距離，一元一次方程的應(yīng)用、絕對值的幾何意義等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)

鍵.

變式3.(2022.遼寧沈陽?七年級期末)已知數(shù)軸上有A,B,C三個點，分別表示有理數(shù)-2,4,6.

⑴畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A,點B,點C；

(2)動點尸從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個

單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C,到達點C后停止運動，設(shè)運動時間為/秒.

①當f=l時，必的長為個單位長度，尸8的長為個單位長度，PC的長為

個單位長度；②在點P的運動過程中，若R4+P8+PC=9個單位長度，則請直接寫出f的值為。

【答案】(1)見解析；

13Q11

(2)①4,2,4；②;或=或!或=

4422

【分析】(I)根據(jù)題意畫出數(shù)軸即可；

(2)①先求出當，=1時，P點表示的數(shù)為6-4=2,然后根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式求解即可；②分當P從C

向4運動和當P從A向C運動兩種情況討論求解即可.(1)解：如圖所示，即為所求；

4_A(2)解：①當，=1時，尸點表示的數(shù)為6-4=2,

6

/.PA=2-(-2)=4,抬=4—2=2,PC=6—2=4,故答案為：4、2、4；

②當P從C向A運動，0<Y0.5時，

%=6-4，+2,PB=6-4r-4,PC=4r,

PA+PB+PC=9,6-4r+2+6-4r-4+4r=9,解得r=一；

4

當尸從C向A運動，0.5v，S2時，

P4=6—4f+2,PB=4-6+4r,PC=4r,

3

VPA-^PB+PC=9,???6—4，+2+4—6+4，+41=9,解得t=一；

當P從A向C運動時，當2<Y5時,

PA=—2+2［-2）+2=2/-4,PB=4-［-2+2（r-2）］=10-2r,PC=6-［-2+2（r-2）］=12-2r,

9

VPA+PB+PC=9,：.2/-4+10-2r+12-2r=9,解得r=-；

2

當P從A向C運動時，當5</W6時，

PA=2f-4,PB=2t-lO.PC=12-2t,

VPA+PB+PC=9,：.2r-4+2r-10+12-2r=9,解得/=?：

1QQ11

綜上所述，f的值為;或;或2或

【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，解題的關(guān)鍵在于能

夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解.

題型4.雙動點問題（變速）

例4.（2021.江蘇.無錫市江南中學七年級期中）已知點O是數(shù)軸的原點，點4、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分

別是-12、〃、c,且從c滿足（h-9）2+匕-15|=0,動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同

時點。從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，0、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點。運動到點8

期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速，從點B運動到點。期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢

復(fù)原速，運動時間為秒時，P、。兩點到點B的距離相等.【答案】］或30

【分析】利用已知條件先求出B、C在數(shù)軸表示的數(shù)，根據(jù)不同時間段，通過討論P、。點的不同位置，

找到對應(yīng)的邊長關(guān)系，列出關(guān)于f的方程，進行求解即可.

【詳解】；S-9）2+|c-15|=0,

."-9=0,c-15=0,：.b=9,c=15,

???8表示的數(shù)是9,C表示的數(shù)是15,

①當0WE6時，尸在線段。4上，。在線段8c上，此時不存在尸、Q兩點到點3的距離相等；

②當6<49時，P,。都在線段。8上，P表示的數(shù)為f-6,。表示的數(shù)是9-3（t-6）,

33

???P、Q兩點到點8的距離相等只需L6=9-3（r-6）,解得r=下，

③當9〈江15時，尸在線段08上，。在線段OA上，此時不存在尸、。兩點到點B的距離相等；

④當1>15時，P在射線BC上，Q在射線04上，P表示的數(shù)為9+2（7-15）,Q表示的數(shù)是-（「9）,...2、

Q兩點到點5的距離相等只需9+2（L15）-9=9-（-（r-9）］,解得f=30,

33

綜上所述，P、。兩點到點5的距離相等，運動時間為q?秒或30秒，

故答案為：下或30.

4

【點睛】本題主要是考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練地通過動點在不同時間段的運動，進行分類討論，找

到等量關(guān)系，列出關(guān)于時間，的方程，并進行求解，這是解決這類問題的上要思路.

變式4.（2021.四川綿陽?七年級期中）已知為常數(shù)，且關(guān)于x、y的多項式（-20/+以7+⑵-（bx2+\2x+6y

-3）的值與字母x取值無關(guān)，其中〃、〃分別為點A、點8在數(shù)軸上表示的數(shù)，如圖所示.動點E、F分別

從A、B同時開始運動，點E以每秒6個單位向左運動，點F以每秒2個單位向右運動，設(shè)運動時間為f

秒.（1）求小6的值；（2）請用含f的代數(shù)式表示點E在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為：，點尸在數(shù)軸上對

應(yīng)的數(shù)為：.（3）當E、尸相遇后，點E繼續(xù)保持向左運動，點尸在原地停留4秒后向左運動且速

度變?yōu)樵瓉淼?倍.在整個運動過程中，當E、尸之間的距離為2個單位時，求運動時間f的值（不必寫過

程）.

-gQ----------\--------?【答案】（l）a=12,b=-20；（2）12-6r,-20+2r；

（3）?15-秒--或-913秒927秒或929秒

4322

【分析】（1）由題意根據(jù)關(guān)于無、y的多項式（-20戈2+辦一），+]2）-（bx2+\2x+6y-3）的值與字母x取值無

關(guān)，即可求出。、b；（2）由題意根據(jù)點E、尸的運動方向和速度可得解；

（3）根據(jù)題意分相遇前和相遇后兩種情況，然后正確列出方程進行分析計算即可.

【詳解】解：（1）I?關(guān)于x、y的多項式（-20/+辦-y+12）-（加：2+12r+6y-3）的值與字母x取值無關(guān)，

:.（-20/+ar-y+12）-（bx2+12x+6y-3）=-20x2+ax-y+12-bx2-\2x-6y+3）

=（-20-ft）x2+（a-12）x-7y+15,

；?-20-b=0或。-12=0,解得b=-20,a=12；

（2）設(shè)運動時間為f秒.

（3）由題意得：點E在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為：12-6八點/在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為：-20+2/，

故答案為：12-6f,-20+2/；

（3）設(shè)當E、尸之間的距離為2個單位時，運動時間為/秒，

相遇前：12-6f—-20+2/+2,解得：f=—;

4

相遇后：E、b相遇的時間為：（20+12）+（2+6）=4（秒），

相遇點為-20+2x4=-12,

,13

點尸在原地停留4秒時，6（/-4）=2,解得：，=7；

由題意得：當區(qū)F相遇后，點￡在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為：12-6f,點F在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為：-12-2x5(7

-4-4)=68-10r.

當E在尸左側(cè)時，68-10r-(12-6r)=2,解得：t=—；

當E在F右側(cè)時，12-6r-(68-10r)=2,解得：t=—.

答：當E、尸之間的距離為2個單位時，運動時間為915秒或13[杪2一7秒或2《9秒

4322

【點睛】本題考查數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出代數(shù)式和方程是解答此題的關(guān)鍵.

題型5.多動點問題

例5.(2022?福建?廈門市金雞亭中學七年級期中)己知數(shù)軸上兩點A、B所表示的數(shù)分別為a和b,且滿足|a

+3|+(b—9產(chǎn)=0,0為原點；

---------1-------------------------------------------->(l)a=,b=.(2)若點C

o.

從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，求點C的運動速度？(結(jié)合

數(shù)軸，進行分析.)

(3)若點D以2個單位每秒的速度從點O向右運動，同時點P從點A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運動，

點Q從點B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運動.在運動過程中,M、N分別為PD、OQ的中點，問，二

的值是否發(fā)生變化，請說明理由.(注：PD指的是點P與D之間的線段，而算式PQ-OD指線段PQ與OD

長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣.

【答案】(1)-3、9；(2)點C的速度為每秒1個單位長度；(3)PQ口的值沒有發(fā)生變化,理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)幾個非負數(shù)的和為0,則每一個數(shù)都是0,建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；(2)

根據(jù)點C從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，可表示C4=|x+3],

CB=|x-9|,再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可：(3)根據(jù)點的運動速度和方向，分別用含t的代數(shù)

式表示點D、P、Q、M、N對應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長，然后求出筆瓷的值為常量，

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)V|a+3|+(b-9)2=0,

，a+3=0,b-9=0,解得a=-3,b=9；

(2)設(shè)3秒后點C對應(yīng)的數(shù)為x,則C4=|x+3],Cfi=|x-9|,

；CA=CB,.\|x+3|=|x-9|,

當x+3=x-9,無解；

當x+3=-（x-9）,解得x=3,此時點C的速度為3+3=1個單位每秒,

???點C的速度為每秒1個單位長度；

（3）望段的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運動時間為I秒，

MN

則點D對應(yīng)的數(shù)為2t；點P對應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點Q對應(yīng)的數(shù)為9+6t；

點M對應(yīng)的數(shù)為-l.5-0.5t；點N對應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；

則PQ=9t+12,OD=2t,MN=3.5t+6,

.PQ-OD7r+12_c

為定值,

"MN-3.5r+6-’

即普&的值沒有發(fā)生變化.

【點睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.

變式5.（2021?劍閣縣公興初級中學校七年級月考）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0,

請回答問題（I）請直接寫出a、b、c的值.a=—,b=—,c=—.

（2）a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C,點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x,點P在A、B之間運動時，

請化簡式子：|x+lHx」-2|x+5|（請寫出化簡過程）

-A―5C—>（3）在（1）的條件下，數(shù)軸上的A,B,M表示的數(shù)為a,b,y,是否存在點M,

使得點M到點A,點B的距離之和為5?若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由.

（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度

向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設(shè)經(jīng)過t秒

鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC,點A與點B之間的距離表示為AB.請問：BC-AB的值是

否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.

【答案】（1）-1、1、6；（2）-10；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不變，BC-AB=3.

【分析】（1）據(jù)最小正整數(shù)的意義和非負數(shù)的性質(zhì)作答；（2）先去絕對值號，再去括號，最后合并即可；

（3）據(jù)絕對值的性質(zhì)用y表示出點M到點A,點B的距離之和，再令其等于5,列方程求解；

（4）結(jié)合題意，用t和n表示出BC-AB再化簡即可判斷.

【詳解】解：（1）由b是最小正整數(shù)得b=l；

由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0,解之得c=6,a=-l.故a=-l,b=l,c=6.

(2);點P在A、B之間運動.,.-l<x<l.,.x+l>0,x-l<0,x+5>0

二|x+l|-|x-l|-2|x+5|=(x+l)-(l-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10.

(3)由題意知AB=2,所以M不可能在AB之間，下面討論M在AB之外的情況

第一種情況，當M在A點左側(cè)時由MA+MB=MA+MA+AB=5,得MA=1.5

/.|y-(-l)|=1.5且y<-l/.y=-2.5；

第二種情況，當M在B點右側(cè)時由MA+MB=MA+MA-AB=5,得MA=3.5

|y-(-l)|=3.5且y>-l.\y=2.5；故存在這樣的點M,對應(yīng)的y=2.5或y=-2.5.

(4)如下圖

AA1B1Bc1C

“??o—?-------------?---------------?'用貝、B\c1

-116

分別表示A、B、C的初始位置由題意得，當t秒時，A'A=nt,B'B=2nt,C'C=5nt

/.AB=A<A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nl+2,BC=BlC-B1B=BlCl+C1C-BlB=5+5nt-2nt=3nt+5

/.BC-AB=(3nt+5)-(3nl+2)=3故BC-AB的值不變,且BC-AB的值為3.

【點睛】此題綜合考查了絕對值的意義和數(shù)軸上兩點之間的距離.弄清數(shù)軸上點及點的運動與所表示的數(shù)

之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

題型6.新定義問題

例6.(2021?江西贛州?七年級期中)定義：若A,B,C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B

的距離2倍，我們就稱點C是［A3］的美好點.

例如；如圖1,點A表示的數(shù)為T,點B表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2,到點5的距離

是1,那么點C是LA8］的美好點；又如，表示0的點。到點A的距離是1,到點B的距高是2,那么點。

就不是的美好點，但點。是的美好點.

ADCB

—?---1---i---1--i---b---1->-

-3-2-10123如圖2,M,N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為-7,點N

圖1

所表示的數(shù)為2.

?￥........................................................................N、_

二一2一立—*―2j4―j一?―A⑴點E,F,G表示的數(shù)

圖］

分別是-3,6.5,11,其中是美好點的是；寫出IMM］美好點”所表示的數(shù)是.

（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動.當f為何值時，點P恰好為

M和N的美好點？

【答案】（1）G,-4或-16；⑵1.5或3或9

【分析】（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2,直觀考察點E,F,G到點M,N的距離，只有點G符合條件.結(jié)

合圖2,根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注

意到兩個點的距離的變化.

（2）根據(jù)美好點的定義，分情況分別確定P點的位置，進而可確定r的值.

【詳解】解：（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2,直觀考察點E,F,G到點M,N的距離，只有點G符合

條件，故答案是：G.結(jié)合圖2,根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的

點，點N的右側(cè)不存在滿足條件的點，點例和N之間靠近點M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點，進而可以確定-4

符合條件.點M的左側(cè)距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進而可得符合條件的點是

-16.故答案是：-4或-16.

（2）根據(jù)美好點的定義，P,M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，

第一情況：當尸為【M,N］的美好點，點P在M,N之間，如圖1,

????>

MP.ON當MP=2PN時，PN=3,點P對應(yīng)的數(shù)為2-3=-1,因此片1.5秒；

圖1

第二種情況，當P為［N,的美好點，點尸在M,N之間,如圖2,

-J???--->

以P2°N當2PM=PN時，NP=6,點尸對應(yīng)的數(shù)為2-6=4因此r=3秒；

圖2

第三種情況，P為［N,M］的美好點，點P在M左側(cè)，如圖3,

??---??>

P3MON當PN=2MN時，N片18,點P對應(yīng)的數(shù)為2-18=16,因此片9秒；

圖3

綜上所述，f的值為：1.5或3或9.

【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、美好點的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題，屬于中考創(chuàng)新題目.

變式6.（2022?全國?七年級專題練習）“幸福是奮斗出來的“，在數(shù)軸上，若C到4的距離剛好是3,則C點

叫做A的“幸福點”，若C到A、B的距離之和為6,則C叫做A、B的“幸福中心”.

???一??bNM

-5-4-3-2-1012345&，2二8fi/

圖1圖2

ABCP

-3-2-1123456789(1)如圖I,點A表示的數(shù)為-1,則A的幸福點C所

圖3

表示的數(shù)應(yīng)該是:

(2)如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為4,點N所表示的數(shù)為-2,點C就是例、N的幸福

中心，則C所表示的數(shù)可以是(填一個即可)；(3)如圖3,A、B、尸為數(shù)軸上三點，點A所表示的

數(shù)為-1,點8所表示的數(shù)為4,點P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點P出發(fā)，以2個單位每秒的速

7

度向左運動，二秒時，電子螞蟻是A和8的幸福中心嗎？請說明理由.

4

【答案】(1)-4或2；(2)。所表示的數(shù)可以是-2或?1或0或1或2或3或4(答案不唯一)；(3)當經(jīng)過:7

4

秒時，電子螞蟻是A和3的幸福中心.

【分析】(1)根據(jù)幸福點的定義即可求解；

(2)根據(jù)幸福中心的定義即可求解；

(3)根據(jù)幸福中心的定義即可求解.

【詳解】解：(1)A的幸福點C所表示的數(shù)應(yīng)該是-1-3=4或-1+3=2；

故答案為：-4或2；

(2)V4-(-2)=6,

：.M,N之間的所有數(shù)都是M,N的幸福中心.

故C所表示的數(shù)可以是-2或-1或?；?或2或3或4(答案不唯一)；

(3)經(jīng)過一秒時，電子螞蟻是4和8的幸福中心，理由是：

4

77

8-2x--4+(8-2x—1)=6,

44

7

故當經(jīng)過;秒時，電子螞蟻是A和3的幸福中心.

4

【點睛】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點的距離、動點問題，熟練掌握動點中三個量的數(shù)量關(guān)系式：路程=時

間X速度，認真理解新定義.

課后專項訓(xùn)練：

1.(2022?全國?七年級專題練習)已知數(shù)軸上有三點A,B,C分別表示有理數(shù)-26,-10,10,動點P從

點A出發(fā)，以1個單位長度/S的速度向終點C移動，設(shè)點戶移動時間為

APBC(1)用含r的代數(shù)式表示點P分別到點A和點C的距離：PA=______,

iI■ii)

-26-10010

PC=.

(2)當點P運動到點B時，點。從點A出發(fā)，以3個單位長度/s的速度向點C運動，點。到達點C后，再

立即以同樣的速度返回，當點尸運動到點C時;兩點運動停止.當點P,。運動停止時，求點尸，。間的距

離.

【答案】(1)t,36-/；(2)24

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離即可求得答案；

(2)先求得點戶從8點到C點的時間，進而求得點。運動20s的路程，根據(jù)題意確定Q的位置，進而求得RQ

的距離

【詳解】(1)PA=t,PC=36-1

故答案為：t,36—t；

(2)解：點P從B點到C點的時間為20+1=20s

點Q運動20s的路程為3x20=60

點、P，。距離為60-(26+10)=24

答：點P,Q距離為24

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，數(shù)軸上動點問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?北京四中七年級期中)我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合兩點A,B,若數(shù)軸上存在一點

使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點歷為點A與點B的中點.解答以下問題：

(1)若點A表示的數(shù)為-5,點A與點8的中點表示的數(shù)為1,則點B表示的數(shù)為；

(2)點A表示的數(shù)為-5,點C,力表示的數(shù)分別是-3,-1,點。為數(shù)軸原點，點8為線段CO上一點.

①設(shè)點M表示的數(shù)為，"，若點M為點A與點B的中點，則”的取值范圍是：

②當點尸從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向正半軸方向移動，同時點。從點C出發(fā)以每秒3個單位

長度的速度向正半軸方向移動;若經(jīng)過f(fNO)秒，點P與點。的中點在線段。。上，則f的取值范圍是.

【答案】(1)7；(2)①-44機4一：；②C6或［=0

2

【分析】(1)根據(jù)中點的定義進行解答即可；

(2)①得出點B的范圍，再得出m的取值范圍即可：

②由題意得：點尸表示的數(shù)為-5+乙點。表示的數(shù)為-3+3,，則點尸與點。的中點表示的數(shù)為:

-5+^+（-1）=￡_3，再分。點超過。點和沒有超過。點兩種情況討論求解即可.

22

【詳解】解：（1）設(shè)點3表示的數(shù)為達

由題意得二

解得x=7,.?.點B表示的數(shù)為7：

故答案為：7：

（2）①設(shè)點B表示的數(shù)為〃，則-3Vb?0,

;點A表示的數(shù)為一5,點M可以為點A與點B的中點，

-84-5+64-5,

的取值范圍為：,

故答案為：-4<m<—；

2

②由題意得：點P表示的數(shù)為-5+，點。表示的數(shù)為-3+3f,

.??點P與點。的中點表示的數(shù)為：-5+r+（T）」_3,

22

???點P與點。的中點在線段。。上，

當點Q沒有運動超過0點時，

—3+3/W—3<0.

2

解得他0，

二止匕時t=0；

當點Q運動超過。點時，

04,-34-3+37,

2

解得t>6

綜上所述，當壯6或f=0時，點尸與點力的中點在線段OQ上.

故答案為：d6或r=0.

【點睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點的表示方法，數(shù)軸上的動點問題，以及兩點的中點表示

方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東濱州?七年級期中）如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移

動5個單位長度，可以看出，終點表示的數(shù)是-2.參照圖中所給的信息，完成填空：已知4,8都是數(shù)軸上

的點.,,KN,,

-3-2-101234

（1）若點A表示數(shù)-3,將點A向右移動5個單位長度至點A，則點A表示的數(shù)是;

（2）若點B表示數(shù)2.5,將點B先向左移動7個單位長度，再向右移動］個單位長度至點C,則點C表示

的數(shù)是;

（3）在（2）的條件下點B以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點C以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運

動，當點2運動到-5.5所在的點處時，則8、C兩點間距離為；

【答案】（1）2；（2）0；（3）13.5

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點向右平移加，向左平移減，可得點A表示的數(shù)：

（2）根據(jù)數(shù)軸上點向右平移加，向左平移減，可得點C表示的數(shù)；

（3）根據(jù)點B運動的距離和速度求出時間，然后求出此時點C表示的數(shù)，即可求出3、C兩點間距離.

【詳解】解：（1）???點4表示數(shù)-3,將點4向右移動5個單位長度至點A,

.*.-3+5=2,

.??點A表示的數(shù)是2；

9

（2）若點B表示數(shù)2.5,將點B先向左移動7個單位長度，再向右移動￡個單位長度至點C,

9

二2.5-7+-=0,

2

二點C表示的數(shù)是0；

（3）?.?點B表示數(shù)2.5,當點B運動到-5.5所在的點處時，

.?.點B運動的時間”±5$）=4,

2

二點C運動的路程=2x4=8,

二此時點C表示的數(shù)=0+8=8,

.?.8、C兩點間距離=8-（-5.5）=13.5.

【點睛】此題考查了數(shù)軸上點的表示和兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的表示方法和兩

點之間的距離的求法.

4.（2021?廣東佛山?七年級階段練習）如圖，有兩條線段，AB=2（單位長度），CO=1（單位長度）在數(shù)

軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12,點。在數(shù)軸上表示的數(shù)是15.

二片-----------J-----------防+(1)點8在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的

數(shù)是,線段BC的長=；

(2)若線段A8以1個單位長度秒的速度向右勻速運動，同時線段C。以2個單位長度秒的速度向左勻速運

動.當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？

(3)若線段AB以1個單位長度秒的速度向左勻速運動，同時線段。以2個單位長度/秒的速度也向左勻

速運動.設(shè)運動時間為，秒，當r為何值時，點5與點C之間的距離為1個單位長度？

【答案】-10,14,24；(2)-2；(3)U23或25

【分析】(1)根據(jù)AB、C。的長度結(jié)合點A、。在數(shù)軸上表示的數(shù)，即可求出點從C在數(shù)軸上表示的數(shù)，再

根據(jù)兩點間的距離公式求出線段的長度；

(2)設(shè)相遇時間為a,分別用a表示出相遇時B、C兩點所表示的數(shù),讓其相等即可求出；

(3)分線段與線段CD在相遇之前與相遇之后兩種情況，利用兩點間的距離公式結(jié)合BC=1,得出關(guān)于t

的的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

【詳解