行列式按行(列)展開

行列式按行(列)展開第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日課前復習性質1

行列式與它的轉置行列式相等.即.性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式為零.性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數，等于用數乘此行列式.推論2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和,則這個行列式等于兩個行列式之和.性質5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日

在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代數余子式．例如一、余子式與代數余子式記作第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日注行列式的每個元素分別對應著一個余子式和一個代數余子式.即．外都為零，那末這行列式等于與它的代數余子式引理的乘積，一個階行列式，如果其中第行所有元素除證當位于首位時,即即有又從而命題得證第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日得把的第行依次與第行，第行，…第1行對調下證一般情形,此時第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日得把的第列依次與第列，第列，…第1列對調第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日中的余子式注意到：元素在行列式中的余子式仍然是在行列式第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日于是有故即所以命題得證第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則定理利用行列式的性質四--拆分原理有第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即推論命題得證第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日把行列式按第行展開有證把行列式中的換成可得相同同理命題得證第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日關于代數余子式的重要性質第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日例1計算行列式常用方法：化零，展開.三、應用舉例解第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日例2第四行各元素余子式之和為分析以表示中元素的余子式，則有第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日例3第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日例4計算范德蒙德(Vandermonde)行列式將前一行乘以加到后一行上解（從后往前）第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日按第一列展開，并把每一列的共因子提出，有

n-1階范德蒙德行列式第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日解每一行提取各行的公因子，于是得到例5計算第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日四、行列式按某k行(列)展開（Laplace定理）定義位于這些行和列交叉處的個元素，按照原來的順序定義行標、列標.在階行列式中,任意取定行(列)構成一個階行列式，稱為的一個階子式.劃去這行列，余下的元素按照原來的順序構成一個階行列式，稱為的余子式.在其前面，稱為的代數余子式.冠以符號分別為階子式在中的其中行列式共有個階子式.第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日例6求行列式解定理在階行列式中,取定行(列)式的乘積之和等于行列式.由這行