行列式按行列展開(kāi)定理

行列式按行列展開(kāi)定理1第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來(lái)計(jì)算.

問(wèn)題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n

-1階行列式來(lái)計(jì)算？

一.按一行(列)展開(kāi)行列式2第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日定義1.5在

n

階行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.記為稱(chēng)為元素的代數(shù)余子式.例如第j列劃去后,余下的n-1階行列式叫做元素3第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日的余子式.的代數(shù)余子式.4第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

注

行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.5第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

引理若在n

階行列式D的第i行中有一個(gè)元素aij≠0,其余元素全為零,則D=aijAij.

定理1.4

設(shè)n階行列式則n

階行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.即6第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日證(只證按行展開(kāi)第一式)將行列式D改寫(xiě)為

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或7第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日由行列式性質(zhì)2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可證按列展開(kāi)式成立.8第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解按第一行展開(kāi),得例1

計(jì)算行列式9第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

推論

n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即證由定理1,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.10第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．11第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.12第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日綜上所述,得公式

注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開(kāi)公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n－1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí),應(yīng)用展開(kāi)定理才有意義，但展開(kāi)定理在理論上是重要的．13第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日利用行列式按行按列展開(kāi)定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：

計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開(kāi),變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.例2

計(jì)算行列式14第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解

15第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日16第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例3計(jì)算n階行列式17第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解

將Dn按第一列展開(kāi)于是,得遞推公式而由遞推公式,得繼續(xù)遞推公式,得18第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日故例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式19第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)設(shè)n-1階范德蒙行列式成立,證明n階也成立.20第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日n-1階范德蒙行列式21第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開(kāi)）=57練習(xí)題22第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例5

利用性質(zhì)及展開(kāi)定理計(jì)算行列式的值.解23第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日按第二列展開(kāi)按第二行展開(kāi)24第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例6計(jì)算行列式25第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解

將行列式每一列加到第一列，則26第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日27第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例7計(jì)算行列式解

我們稱(chēng)行列式D為箭形行列式解決的目標(biāo)：化為上三角形行列式.28第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日29第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例8計(jì)算行列式30第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日箭形行列式31第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日32第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例9（可以化為箭形行列式）33第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日34第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日35第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日二.行列式按某k行(列)展開(kāi)定義1.6在n階行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),稱(chēng)位于這些行與列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的k階行列式N為D的一個(gè)k階子式.36第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日稱(chēng)劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的n-k階行列式M為N的余子式.若N所在的行與列的行標(biāo)與列標(biāo)分別為37第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例10

設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為及則稱(chēng)為N的代數(shù)余子式,記作A.即38第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3階子式為，N2的代數(shù)余子式為39第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日顯然,n階行列式D位于某k行的k階子式有個(gè),從而D共有個(gè)k階子式.定理1.5n階行列式D等于其位于某k行的所有k階與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,...,At的乘積之和,即

顯然,定理1.4是定理1.5中k=1時(shí)的特例.按照定理1.5展開(kāi)行列式似乎很繁,但當(dāng)行列式的某些行中有眾40第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日多的零時(shí),定理1.5的實(shí)用價(jià)值立即展現(xiàn)出來(lái).例11計(jì)算行列式解因?yàn)镈中第2、4

行的個(gè)2階子式中只有

一個(gè)是非零的.故將D按第2、4

行展開(kāi)得41第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例12計(jì)算m+n階行列式42第四十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日解按前m列展開(kāi),得43第四十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日例13計(jì)算2n階行列式(其中未寫(xiě)出的元素皆為零）解按第1、2n行展開(kāi),因位于這兩行的全部2階子式中只有1個(gè)(即位于第1、2n列的2階子式)可能非零且其余子式恰為