山西省翼城中學(xué)2023年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與以為圓心，線(xiàn)段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}3．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．4．我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值是（）A． B． C． D．6．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．7．已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是（）A． B．C． D．8．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．2 D．9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8410．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在正方體中，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面使平面，平面若直線(xiàn)平面，則的值為（）A． B． C． D．12．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，為邊上的中線(xiàn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為_(kāi)_______.14．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_______.15．已知，，且，則的最小值是______.16．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知A是拋物線(xiàn)E：y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線(xiàn)x＝1于M，N兩點(diǎn).（1）若|MN|＝2，求拋物線(xiàn)E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線(xiàn)E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q，點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)OG斜率的取值范圍.18．（12分）設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求的最小值.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).20．（12分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.21．（12分）管道清潔棒是通過(guò)在管道內(nèi)釋放清潔劑來(lái)清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng)；（2）若想讓清潔棒通過(guò)該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過(guò)該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的最大值；（2）記的解集為集合A，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，據(jù)，得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交問(wèn)題，解題核心在于聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

利用列舉法，從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．記這5部專(zhuān)著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.5、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，對(duì)賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小正值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.6、A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.7、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.8、A【解析】

由，兩邊平方后展開(kāi)整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、B【解析】

畫(huà)出幾何體的直觀(guān)圖，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀(guān)圖如圖所示：故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.10、C【解析】

由題可知，曲線(xiàn)與有公共點(diǎn)，即方程有解，可得有解，令，則，對(duì)分類(lèi)討論，得出時(shí)，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線(xiàn)與有公共點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以滿(mǎn)足條件．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于難題．11、B【解析】

作出圖形，設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，同理可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線(xiàn)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，四邊形為正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線(xiàn)平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時(shí)，平面為平面，直線(xiàn)不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點(diǎn)，同理可證為的中點(diǎn)，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段長(zhǎng)度比值的計(jì)算，涉及線(xiàn)面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12、B【解析】

延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線(xiàn)作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意得，分類(lèi)討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿(mǎn)足條件的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問(wèn)題的求解等，考查了分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14、【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫(huà)出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.15、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8，故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

，可得在時(shí)，最小值為，時(shí)，要使得最小值為，則對(duì)稱(chēng)軸在1的右邊，且，求解出即滿(mǎn)足最小值為.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對(duì)稱(chēng)軸要滿(mǎn)足并且，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類(lèi)討論，找到每段的最小值，然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標(biāo)為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線(xiàn)x＝1的距離.由半個(gè)弦長(zhǎng)，圓心到直線(xiàn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進(jìn)而求出拋物線(xiàn)的方程；（2）將拋物線(xiàn)的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點(diǎn)G的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)OG的斜率的表達(dá)式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線(xiàn)x＝1的距離d＝|1|＝||，因?yàn)閨MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線(xiàn)與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線(xiàn)OG斜率的取值范圍（0，）.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（Ⅱ），根據(jù)前n項(xiàng)和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項(xiàng)和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、【解析】

將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合的取值范圍進(jìn)行取舍即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，所以直線(xiàn)的普通方程為，又因?yàn)榍€(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程,解得或，因?yàn)?，所以舍去，故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）分類(lèi)討論求解絕對(duì)值不等式即