二重積分計算及其應(yīng)用

第24頁包頭師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題目：二重積分的計算及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)院：專業(yè)：班級：指導(dǎo)教師：二重積分計算及其應(yīng)用內(nèi)容摘要在二重積分的計算中，由于計算和函數(shù)比較繁雜，因此按照二重積分的定義計算二重積分有很大的局限性。常用方法是化簡二重積分為兩次定積分或累次積分，又因為二重積分的計算與被積函數(shù)和積分區(qū)域有關(guān)。掌握二重積分計算和它的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，討論如何利用函數(shù)的奇偶性與區(qū)域的對稱性，探討如何利用二重積分的性質(zhì)解決二重積分的計算中的證明不等式、確定積分值的符號、估計積分之值、求極限等問題。對于這些問題我們可以利用二重積分的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性與區(qū)域的對稱性來解決問題，試圖找到一些簡便方法，簡化二重積分的計算。關(guān)于二重積分的應(yīng)用它可以求曲面面積以外，二重積分在物理學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用也極其廣泛，尤其是在平面薄板當(dāng)中巧妙而簡練的利用二重積分來解決平面薄板的重心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動慣量以及對質(zhì)點的引力等問題，二重積分的應(yīng)用在物理學(xué)當(dāng)中是一種不可忽視的知識。關(guān)鍵詞：二重積分；直角坐標(biāo)；極坐標(biāo)系；曲面面積；平面薄片AbstractInthecalculationofdoubleintegrals,duetothecomplexcalculationsandcomparisonfunctions,inaccordancewiththedefinitionofdoubleintegralcalculationofdoubleintegralshavealotoflimitations.Acommonapproachtosimplificationdoubleintegralsaredefiniteintegralandrepeatedintegralastwice,becausethecalculationofdoubleintegralswithintegrandandintegralregion.Masteringdoubleintegralcalculationandonthebasisofitsnature,discusseshowtousefunctionsofsymmetryofparitywithregional,natureofthediscussiononhowtousedoubleintegraltoproveinequalitysolvingdoubleintegralcalculation,identifyingsymbols,estimatedvalueoftheintegral,theintegralvaluesforlimitandsoon.Thesequestionswecanusethedoubleintegralandparityofthenatureandfunctionsofsymmetrytosolvingproblemsoftheregion,tryingtofindsomeeasywaytosimplifythecalculationofdoubleintegrals.Butalsoconciseandcleartoproblemconclusion.Ontheapplicationofdoubleintegralitcanbefoundoutsideofthesurfaceareaof,andapplicationsofdoubleintegralsinphysicsareverywidely,especiallyinaflatsheet,ingeniousandsimpletousedoubleintegraltosolvingPlanarsheetofBarycentriccoordinates,momentsofinertiaandgravitationalenergyoftheparticle,andotherissues,applicationsofdoubleintegralsinphysicsisaknowledgethatcannotbeneglected.Keywords:doubleintegral；Cartesian；polar；surfacearea；flatblades目錄內(nèi)容摘要………………2關(guān)鍵詞…………………2引言……………………7二重積分的定義………………8二．二重積分的計算………………8（一）直角坐標(biāo)系下二重積分的計算………………8（二）極坐標(biāo)系下二重積分的計算…………………9三．利用函數(shù)的奇偶性與區(qū)域的對稱性計算二重積分……………9（一）計算二重積分，設(shè)區(qū)域D關(guān)于軸對稱……9若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)…………………9若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)…………………9（二）計算二重積分，設(shè)區(qū)域D關(guān)于軸對稱……10若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)…………………10若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)…………………10（三）計算二重積分,設(shè)區(qū)域D關(guān)于軸和軸都對稱，同時也是關(guān)于,對稱的………10四．二重積分的性質(zhì)…………………13五．應(yīng)用二重積分的性質(zhì)解題………14（一）證明不等式…………………14（二）確定積分值的符號…………14（三）估計積分之值………………15（四）求極限………16六．二重積分的應(yīng)用…………………17（一）曲面的面積…………………171.曲面由顯函數(shù)給出的情形……172.曲面由參數(shù)方程給出的情形…………………18（二）平面薄片的重心……………19（三）平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量………20（四）平面薄片對質(zhì)點的引力……21結(jié)語…………………23參考文獻……………24引言在二重積分的計算中，由于計算和函數(shù)比較繁雜，因此按照二重積分的定義計算二重積分有很大的局限性。本文就是在已掌握二重積分計算的基礎(chǔ)上，通過一些例子來探討函數(shù)的奇偶性與區(qū)域的對稱性在二重積分計算中的應(yīng)用。另外在二重積分的計算中關(guān)于證明不等式、確定積分值的符號、估計積分之值、求極限等問題，能否利用二重積分的定義解決這些問題是比較困難的。因此利用二重積分的性質(zhì)來解決這些問題。本文一部分就是在已掌握二重積分的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過一些例子來探討應(yīng)用二重積分的性質(zhì)解題技巧。對于二重積分的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求曲面面積和物理學(xué)當(dāng)中的一些平面薄板的重心坐標(biāo)轉(zhuǎn)動慣量以及對質(zhì)點的引力等問題，然而利用二重積分巧妙解決了這些問題。因此二重積分的計算與應(yīng)用在物理學(xué)當(dāng)中，尤其是在數(shù)學(xué)分析里是一門不可缺少的重要知識。二重積分的定義設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)，J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某個正數(shù)，使對于D的任何分割T，當(dāng)它的細度<時，屬于T的所有積分和都有則稱在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)在D上的二重積分，記作。二重積分的計算(一).直角坐標(biāo)系下二重積分的計算定理1設(shè)有界閉區(qū)域D是由兩條交合曲線與，且，以及直線與所圍成，若函數(shù)在D上連續(xù)，則有定理2設(shè)有界閉區(qū)域D是由交合曲線與，且以及直線與所圍成，若函數(shù)在D上連續(xù)，則有例1計算二重積分，其中區(qū)域D是由直線和雙曲線所圍成。解先對積分后對積分，將D積分在軸上，待區(qū)間，對任意，對積分，在D內(nèi)的積分限是到，然后在積分區(qū)間上對積分，即同理，如果先對積分后對積分，也可得到相應(yīng)結(jié)果。(二).極坐標(biāo)系下二重積分的計算應(yīng)用極坐標(biāo)替換將直角坐標(biāo)系中的二重積分化為極坐標(biāo)系中的二重積分，能簡化二重積分的計算，二重積分的極坐標(biāo)替換是計算，其中D為區(qū)域。解如果用直角坐標(biāo)來計算，這個積分卻無法求出，現(xiàn)采用極坐標(biāo)，此時D表示為故有利用函數(shù)的奇偶性與區(qū)域的對稱性計算二重積分（一）.計算二重積分，設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對稱。1.若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)因為函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即原點對稱，所以有則2.若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)因為函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即關(guān)于軸對稱，所以有則(其中是區(qū)域D位于軸右側(cè)的部分)（二）.計算二重積分，設(shè)區(qū)域D關(guān)于軸對稱。1.若函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)因為函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),即關(guān)于原點對稱,所以有則2.若函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)因為函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù),即關(guān)于軸對稱,所以有則（其中是區(qū)域D位于軸上側(cè)的部分）（三）．計算二重積分,設(shè)區(qū)域D關(guān)于軸和軸都對稱,同時也是關(guān)于,對稱的.因為區(qū)域D關(guān)于軸和軸對稱，也是關(guān)于，對稱，所以有則有（其中是區(qū)域D位于第一象限中的部分）例3計算雙紐線所圍成的面積。解采用極坐標(biāo)變換雙紐線的極坐標(biāo)方程是因為雙紐線關(guān)于軸和軸對稱。于是，雙紐所圍成區(qū)域D的面積A是第一象限內(nèi)那部分區(qū)域面積的四倍。第一象限那部分區(qū)域是：（于是有例4計算，其中D：。解法1：時D分為四個區(qū)域，即D在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的部分依次記為利用極坐標(biāo)計算這個二重積分解法2：（利用奇偶對稱性）由于積分區(qū)域D關(guān)于軸和軸對稱，而被積函數(shù)關(guān)于和是偶函數(shù)。因此有例5求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積。解設(shè)圓柱底面半徑為，兩個圓柱方程分別為與，利用對稱性，只要求出在第一卦限部分的體積，然后再來乘以8既得所求的體積。第一卦限部分的立體是以為曲頂，以四分之一圓域D：為底的曲頂柱體，所以于是例6求球面被圓柱面所割下部分的體積。解由所求立體的對稱性，我們只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積后乘以4，既得所求立體的體積。在第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體，其底為平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域，曲頂?shù)姆匠虨?。所以其中，極坐標(biāo)變換后，有二重積分的性質(zhì)二重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：性質(zhì)1若在上可積，則在上可積，且.性質(zhì)2若在上可積，則在上可積，且.性質(zhì)3若在和上都可積，且與無公共內(nèi)點，則在上也可積，且.性質(zhì)4若在上可積，且，則.性質(zhì)5若在上可積，則函數(shù)在上也可積，且.性質(zhì)6若在上可積，且，.這里是積分區(qū)域的面積。性質(zhì)7(中值定理)若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得,這里是積分區(qū)域的面積。應(yīng)用重積分性質(zhì)解題（一）.證明不等式例7.設(shè)是由平面上的光滑簡單閉曲線所圍成的區(qū)域，在軸和軸上的投影長度分別為和，是內(nèi)任意一點，證明：證明：由積分性質(zhì)5，有，而，故再由性質(zhì)4推出.例8.設(shè)，證明.證明：而當(dāng)時，有，故有.在二重積分的計算中，對于二重積分的證明不等式問題中靈活應(yīng)用了二重積分的性質(zhì)2,4,5來簡便得到了我們所要證明的結(jié)論。（二）.確定積分值的符號例9.積分有什么樣的符號？解：我們有，其中顯然故.由此可見，應(yīng)用二重積分的性質(zhì)3來探討二重積分的確定積分值的符號的問題，方法簡單可行。（三）．估計積分之值例10利用重積分的性質(zhì)估計重積分（其中為區(qū)域）之值。解：令，當(dāng)時，取最大值，相應(yīng)取最小值為，當(dāng)時，取0，相應(yīng)取最大值為，故而例11利用中值定理，估計積分之值解:由于積分域的面積為故由積分中值定理知,……①其中為域中的某點，顯然，我們證明必有……②由于函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值為２，最小值為０，從而連續(xù)函數(shù)在有界閉域上的最小值為，最大值為.如果，則由①式知，。但是非連續(xù)函數(shù)，從而必有（在域上），即（在域上），這顯然是錯誤的，由此可知。同理可證。于是②式成立，從而得，即對于二重積分的估計積分之值問題，利用二重積分的不同的兩個性質(zhì)，思路各異的兩種方法，巧妙的解決了同一個問題。（四）求極限例12求，其中為連續(xù)函數(shù)。解：利用積分中值定理得（其中點為圓域內(nèi)的一點）顯然，當(dāng)時，點。于是，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性知二重積分的應(yīng)用把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中：若要計算某個量對于閉區(qū)域具有可加性（即當(dāng)閉區(qū)域分成許多小閉區(qū)域時，所求量等于部分量之和），并且在閉區(qū)域內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應(yīng)得部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)，把稱為所求量的元素，記作，所求量的積分表達式為（一）.曲面的面積1.曲面由顯函數(shù)給出的情形1.1設(shè)曲面方程為，在面上的投影區(qū)域為，如圖所示，設(shè)小區(qū)域，點，為上過的切平面以邊界為準線，母線平行于軸的小柱面，截曲面為；截切平面為，則有。為在面上的投影，，，曲面的面積元素，，曲面面積公式為：同理可得1.2.設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：1.3設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：曲面由參數(shù)方程給出的情形若曲面的方程是用參數(shù)給出其中，為封閉可求積的有界區(qū)域，假定函數(shù)和為在域內(nèi)連續(xù)可微分的函數(shù)，則對于曲面的面積有公式其中，，例13求錐面被柱面所截部分的曲面面積。解：曲面在平面上的投影區(qū)域：，而。則例14求球殼被包含在兩條緯線和兩條經(jīng)線間那部分的面積。解：球殼的參數(shù)方程為其中為球的半徑。因為故。于是，所求的面積為，其中及為經(jīng)線的經(jīng)度，及為緯線的緯度。（二）.平面薄片的重心設(shè)平面上有個質(zhì)點，它們分別位于處，質(zhì)量分別為，則該質(zhì)點系的重心的坐標(biāo)為，。設(shè)有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù)，平面薄片的重心坐標(biāo)為，。當(dāng)薄片是均勻的，重心成為型心。，，其中例15.求均勻密度的平面薄板重心：半橢圓解：設(shè)密度為（常數(shù)），由于圖形關(guān)于軸對稱，故又質(zhì)量，又軸的靜力矩，。故重心。（三）．平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)平面上有個質(zhì)點，它們分別位于處，質(zhì)量分別為，則該質(zhì)點系對于軸和軸的轉(zhuǎn)動慣量依次為，設(shè)有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù)，平面薄片對于軸和軸的轉(zhuǎn)動慣量為平面薄片對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為，平面薄片對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為例16求由曲線所界的面積（）對于坐標(biāo)軸和的轉(zhuǎn)動慣量和。解：曲線所界的平面域可表示為，于是。（四）平面薄片對質(zhì)點的引力設(shè)有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù)，計算該平面薄片對位于軸上的點處的單位質(zhì)點的引力>0)。薄片對軸上單位質(zhì)點的引力為，，，（其中為引力常數(shù)）。例17均勻薄片，計算對于軸上一點>0)處的單位質(zhì)量的引力。解：由對稱性，引力必在軸方向上因此,