2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（全國通用）分項(xiàng)專題12 韋達(dá)定理及其應(yīng)用（練透）-【講通練透】中考數(shù)學(xué)一輪（全國通用）（教師版）

專題12韋達(dá)定理及其應(yīng)用一、單選題1．（2022·全國）一元二次方程的兩根，，則下列式子中正確的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B2．（2022·江蘇九年級(jí)期末）下列一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＋3＝0C．（x＋1）2＝0 D．（x＋3）（x﹣1）＝0【答案】D【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)的判別式的符號(hào)，即可判斷一元二次方程根的情況．【詳解】解：A.、x2＋3＝0，，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、x2＋2x＋3＝0，，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；C、（x＋1）2＝0，即，，∴該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，不符合題意；D、（x＋3）（x﹣1）＝0，即，，∴該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，符合題意；故選：D．3．（2022·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定【答案】A【分析】先確定a、b、c的值，計(jì)算的值進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：由題意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．故選A.4．（2022·湖北九年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2－x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．2022【答案】A【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ=（-1）2-4m＞0，然后解關(guān)于m的不等式，最后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得Δ=（-1）2-4m＞0，解得m＜．故選A．5．（2022·江蘇）對(duì)于方程，下列敘述正確的是（）A．不論c為何值，方程均有實(shí)數(shù)根B．方程的根是C．當(dāng)時(shí)，方程可化為或D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】根據(jù)題意，需要對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求出每一種情況的答案，即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，；當(dāng)時(shí)，解得．故選：C．6．（2020·武漢市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如果a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A． B． C． D．．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算即可．【詳解】∵a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴∴∴故選C．7．（2022·內(nèi)蒙古九年級(jí)二模）設(shè)m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（）A． B． C． D．5【答案】A【分析】把代入可得到，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到，轉(zhuǎn)化為，再分別代入和運(yùn)算即可．【詳解】已知一元二次方程，則．由根與系數(shù)的關(guān)系，得．因此．故選A．8．（2022·重慶市廣益中學(xué)校九年級(jí)月考）方程2x2+3x-1=0的兩根之和為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷．【詳解】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：兩個(gè)根的和是：．

故選A．9．（2022·河北九年級(jí)期末）若x1，x2是一元二次方程的兩根，則x1+x2的值是（）A．－3 B．－4C．3 D．4【答案】C【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出兩根之和．【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，且a＝1，b＝﹣3，∴x1+x2＝＝3．故選：C．10．（2022·蘇州吳中區(qū)木瀆實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根 C．兩根的符號(hào)相反 D．方程沒有實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】判斷方程的根的情況，可由根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號(hào)判斷根的存在，用x1+x2，x1?x2的符號(hào)判斷兩根的符號(hào)關(guān)系．【詳解】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又∵x1?x2＝＜0，∴方程兩根的符號(hào)相反．故選：C．二、填空題11．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級(jí)三模）若，是方程是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于___________．【答案】2028【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入原式=計(jì)算可得．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴，，即，

則原式=

=

==

=．

故答案為：2028．12．（2020·北京市第六十六中學(xué)九年級(jí)期中）若一元二次方程x2+6x﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為____．【答案】m≥﹣9【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解關(guān)于m的不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意得Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，解得m≥﹣9，故答案為：m≥﹣9．13．（2022·沙坪壩·重慶一中九年級(jí)開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________．【答案】k＞?且k≠?1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k＋1≠0且Δ＝62?4（k＋1）?（?2）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得k＋1≠0且Δ＝62?4（k＋1）?（?2）＞0，解得k＞?且k≠?1．故答案是：k＞?且k≠?1．14．（2022·江蘇南通田家炳中學(xué)九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，則________．【答案】4【分析】由是一元二次方程的兩個(gè)根，得出，再把變形為，即可求出答案．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：4．15．（2022·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二師二二三團(tuán)中學(xué)九年級(jí)期末）關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根是______．【答案】6【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根是m，則利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)方程的另一個(gè)根是m，則利用根與系數(shù)的關(guān)系有：，解得：，∴方程的另一個(gè)根為6．故答案為：6．三、解答題16．（2022·珠海市文園中學(xué)九年級(jí)三模）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）取，用配方法解這個(gè)一元二次方程．【答案】（１）且；（２），．【分析】（1）根據(jù)有實(shí)數(shù)根，必須滿足下列條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為零；②在有實(shí)數(shù)根的前提下必須滿足；（2）把代入，再解方程即可．【詳解】解：（1）∵有實(shí)數(shù)根，∴；∴，解得：，∵，∴，∴的取值范圍為且；（2）把代入，得，移項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，配方得：，解得：，∴，．17．（2022·全國九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）方程是關(guān)于x的一元二次方程，該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為．（1）求m的取值范圍；（2）若，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，判別式，求解一元一次不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，代入求解即可．【詳解】解：（1）∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，可得，∵，∴，∴，符合題意，∴18．（2022·全國九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．【答案】（1）-2；（2）2【分析】（1）根據(jù)判別式即可求出m的取值范圍，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，解得，∴m的最小整數(shù)值為；（2）根據(jù)題意得，∵，∴，∴，整理得，解得，∵，∴m的值為2．19．（2022·陜西交大附中分校）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為，若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，代入相關(guān)系數(shù)解題即可．（2）將原式變形，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入求解即可．【詳解】解：（1）∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根∴即：解得：（2）由∵，∴原式可變形為：即：∴即：或解得：由第一問知：所以20．（2022·河南九年級(jí)期中）已知關(guān)于的方程．（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；（2）試說明無論取什么實(shí)數(shù)值，此方程總有實(shí)數(shù)根．【答案】（1），方程的另一根為；（2）見解析．【分析】（1）把已知的根代入方程中，得關(guān)于k的方程，解方程即可求得k的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得另一個(gè)根；（2）求出關(guān)于x的方程的判別式，根據(jù)判別式的符號(hào)即可判斷．【詳解】（1）把代入方程有：，解得．故方程為，設(shè)方程的另一個(gè)根是，則：，解得．故，方程的另一根為；（2）關(guān)于的方程中，a=1，b=2(2－k)，c=3－6k，，無論取什么實(shí)數(shù)值，此方程總有實(shí)數(shù)根．21．（2022·四川九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且a+3b＝2．（1）求b的最大值；（2）若x12＝x22，求a的值．【答案】（1）；（2）﹣【分析】（1）根據(jù)根的判別式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，然后解不等式可得到a≥﹣，再根據(jù)a+3b＝2可得b的最大值；（2）由x12＝x22可得到x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，討論：當(dāng)x1+x2＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2a+1＝0，解得a＝﹣，不滿足（1）中a的取值范圍，舍去；當(dāng)x1﹣x2＝0，根據(jù)根的判別式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，∴4a+1≥0，∴a≥﹣，∵a+3b＝2，∴b＝（2﹣a）≤．故b的最大值是；（2）∵x12＝x22，∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，當(dāng)x1+x2＝0，則2a+1＝0，解得a＝﹣，不滿足（1）中a的取值范圍，舍去；當(dāng)x1﹣x2＝0，則Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．故a的值是﹣．22．（2022·全國九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）當(dāng)m取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）若方程的兩根都是正數(shù)，求m的取值范圍；（3）設(shè)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可；（2）設(shè)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)