河南省洛陽市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

PAGE洛陽市2019——2020學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷(理)一?選擇題1.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法法則可得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】由題意，所以的共軛復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.用反證法證明命題：“設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c至少有一個(gè)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)a，b，c都是有理數(shù) B.假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)是有理數(shù)C.假設(shè)a，b，c不都是無理數(shù) D.假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)不是無理數(shù)【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合反證法的概念直接寫出原命題的否定，即可得解.【詳解】用反證法證明命題時(shí)，需要假設(shè)命題的否定是正確的，原命題的否定是“設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c都不是無理數(shù)”即“設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，滿足是無理數(shù)，則a，b，c都是有理數(shù)”.所以需要假設(shè)a，b，c都是有理數(shù).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的概念辨析，關(guān)鍵是對(duì)于反證法概念的掌握，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖象如下圖，則函數(shù)在下列區(qū)間上平均變化率最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合平均變化率的概念即可得解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間上，即函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率小于0；在區(qū)間、、上時(shí)，且相同，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間上的最大.所以函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率最大.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平均變化率的概念，關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確掌握，屬于基礎(chǔ)題.4.有一段演繹推理：“若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式”.對(duì)該演繹推理描述正確的是（）A.大前提錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D.以上演繹推理是正確的【答案】A【解析】【分析】根據(jù)演繹推理：三段論的推理過程即可判斷.【詳解】若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式，需，所以，則通項(xiàng)公式，，當(dāng)時(shí)，，不滿足通項(xiàng)公式，即大前提錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了演繹推理的三段論的推理過程，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求解.【詳解】函數(shù)，，由，，可得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解三角不等式，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知過原點(diǎn)的直線l與曲線相切，則由曲線，y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線l的方程，再確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和積分的關(guān)系完成本題的求解.【詳解】解：由已知的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)過原點(diǎn)的直線l與曲線相切于點(diǎn)，則，直線l的方程為，即，又直線l過原點(diǎn)，則，解得，所以直線l的方程為，由曲線，y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查曲邊圖形面積的計(jì)算問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算能力，考查學(xué)生對(duì)定積分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，求定積分關(guān)鍵要找準(zhǔn)被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題.7.如圖：圖O內(nèi)切于正三角形，則，即，，從而得到結(jié)論：“正三角形的高等于它的內(nèi)切圓的半徑的3倍”；類比該結(jié)論到正四面體，可得到結(jié)論：“正四面體的高等于它的內(nèi)切球的半徑的a倍”，則實(shí)數(shù)（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用等體積，即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)正四面體的高為，底面積為，內(nèi)切球的半徑為，

則，

，則.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查類比推理，考查等體積方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).8.若函數(shù)存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點(diǎn)，令可得，換元，可得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點(diǎn)，由可得，令，則，則實(shí)數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于二次方程，即，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但要注意導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸不能相切，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.9.若，，，則P，Q的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】對(duì)P，Q作商并化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與1的大小關(guān)系，即可得出P，Q的大小關(guān)系.【詳解】P，Q作商可得，令·，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，，所以，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查作商法比較大小，解題的關(guān)鍵是會(huì)構(gòu)造函數(shù)并判斷單調(diào)性.10.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個(gè)圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，即面積為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故第n個(gè)圖中陰影部分的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11.已知b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取導(dǎo)數(shù)為1計(jì)算得到切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入直線，得到，換元利用均值不等式得到答案.【詳解】，則，則，當(dāng)，，故切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入直線得到，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定是解題的關(guān)鍵.12.關(guān)于x的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，，，且，則的值為（）A.e B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求導(dǎo)計(jì)算單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，設(shè)，代入化簡(jiǎn)得到二次方程，計(jì)算根與系數(shù)關(guān)系，代入式子計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：設(shè)，，則，即，化簡(jiǎn)整理得到：，故，，且，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了求利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，換元是解題的關(guān)鍵.二?填空題13.設(shè)復(fù)數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14.___________【答案】2π【解析】【分析】為奇函數(shù)，，再利用定積分的幾何意義計(jì)算得到答案.【詳解】為奇函數(shù)，故，設(shè)，即，，對(duì)應(yīng)半圓的面積為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)半圓的面積是解題的關(guān)鍵.15.已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.16.已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】求導(dǎo)得到，取得到，計(jì)算切線得到答案.【詳解】，則，取，故，，故切線方程為，取，解得，故最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為切線方程是解題的關(guān)鍵.三?解答題17.已知m為實(shí)數(shù)，設(shè)復(fù)數(shù).（1）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線的上方，求m的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程，解得答案.（2）直線的上方的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足，代入數(shù)據(jù)解不等式得到答案.【詳解】（1）由題意得：，解得.（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的上方的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足，即：，解得或，∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類型和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18.（1）已知，求證：；（2）若x，y都是正實(shí)數(shù)，且，用反證法證明：與中至少有一個(gè)成立.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可證明.（2）假設(shè)，，從而可得，，兩不等式相加即可找出矛盾點(diǎn)，即證.【詳解】（1），∵，∴，，，從而：，∴.（2）假設(shè)，，則，，所以，所以，與條件矛盾，所以假設(shè)不成立，即與中至少有一個(gè)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了作差法證明不等式、反證法，反證法關(guān)鍵找出矛盾，屬于基礎(chǔ)題.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牽動(dòng)了億萬國(guó)人的心，全國(guó)各地紛紛捐贈(zèng)物資馳援武漢.有一批捐贈(zèng)物資需要通過輪船沿長(zhǎng)江運(yùn)送至武漢，已知該運(yùn)送物資的輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為10海里/時(shí)時(shí)，燃料費(fèi)是6元/時(shí)，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是96元/時(shí)，問當(dāng)輪船的速度是多少時(shí)，航行1海里所需的費(fèi)用總和最?。俊敬鸢浮慨?dāng)輪船的速度為20海里/時(shí)時(shí)，航行1海里所需費(fèi)用總和最小.【解析】【分析】設(shè)速度為海里/時(shí)的燃料費(fèi)是p元/時(shí)，由題設(shè)的比例關(guān)系得，由數(shù)據(jù)可得，列出航行1海里的總費(fèi)用為，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】設(shè)速度為海里/時(shí)的燃料費(fèi)是p元/時(shí)，由題設(shè)的比例關(guān)系得，其中k為比例系數(shù).由，，得，于是.設(shè)船的速度為海里/時(shí)，航行1海里所需的總費(fèi)用為y元，而每小時(shí)所需的總費(fèi)用是元，航行1海里所需時(shí)間為，所以航行1海里的總費(fèi)用為.所以.令，解得.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，y取得最小值.故當(dāng)輪船的速度為20海里/時(shí)時(shí)，航行1海里所需費(fèi)用總和最小.【點(diǎn)睛】本題考查了分式函數(shù)模型、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查了考生的分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.20.在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】(1)見解析.(2)見解析.【解析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，∴或(舍,).當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．猜想：.(2)證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立．②假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，,即∴.由①、②可知，，.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)n都成立．21.已知函數(shù)，（）．（1）若，求的極值；（2）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值是，的極小值是（2）【解析】【分析】（1），求導(dǎo)，判斷，變化求得極值；（2）解法一:分離a,求最值得a的范圍，解法二:，討論a的范圍得解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，則，.當(dāng)變化時(shí)，，變化狀態(tài)如下表：-10+0-0+

↗極大↘極小↗所以極大值是，的極小值是（2））等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立解法一:當(dāng)，等號(hào)成立，當(dāng)，，設(shè)，由經(jīng)典不等式∴或者，，，∴，，又∴解法二:，，若，則，，∴，即不等式恒成立.（充分性）若，∴，，，，這與當(dāng)時(shí)，恒成立相矛盾（必要性）【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的極值，考查不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，考查計(jì)算能力，是中檔題22.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)區(qū)間上存在非負(fù)的極值，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令可求得，求導(dǎo)后再令即可求得，