新教材人教a版選擇性必修第三冊(cè)6.2.1-6.2.2第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)案

第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.進(jìn)一步理解排列的概念，掌握一些排列問(wèn)題的常用解決方法．(重點(diǎn))2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))通過(guò)排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．類型1數(shù)字排列問(wèn)題【例1】用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．[思路點(diǎn)撥]明確奇數(shù)和偶數(shù)的特點(diǎn)，注意“0”這個(gè)特殊元素，[解](1)第一步，排個(gè)位數(shù)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法；第二步，排十萬(wàn)位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種方法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝288個(gè)六位奇數(shù)．(2)法一(直接法)：十萬(wàn)位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類．第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))個(gè)；第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))個(gè)．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝504(個(gè)).法二(排除法)：0在十萬(wàn)位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬(wàn)位且5在個(gè)位的情況．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝504(個(gè)).(3)分三種情況，具體如下：(ⅰ)當(dāng)千位上排1，3時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個(gè)．(ⅱ)當(dāng)千位上排2時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個(gè)．(ⅲ)當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的偶數(shù)各有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個(gè)；形如41××的偶數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個(gè)；形如43××的偶數(shù)只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋2＝110(個(gè)).1．(變?cè)O(shè)問(wèn))若例題中的條件不變，求能被5整除的五位數(shù)有多少個(gè)？[解]能被5整除的數(shù)字個(gè)位必須為0或5，若個(gè)位上是0，則有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))個(gè)；個(gè)位上是5，若不含0，則有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法，其余各位有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝216個(gè)能被5整除的五位數(shù)．2．(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)？[解]由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬(wàn)位上為0，1，3中的一個(gè)有3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))個(gè)數(shù)，所以240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．,數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素．常用方法：主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．注意事項(xiàng)：解決數(shù)字問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)五位數(shù)？可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？[解](1)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字允許重復(fù)，故采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，4×5×5×5×5＝2500個(gè)．(2)考慮特殊位置“萬(wàn)位”，從1、2、3、4中任選一個(gè)填入萬(wàn)位，共有4種填法，其余四個(gè)位置，4個(gè)數(shù)字全排列為Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝96個(gè)；另外，也考慮特殊元素“0”，先排0，從個(gè)、十、百、千位中任選一個(gè)位置將0填入，Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種填法，然后將其余4個(gè)數(shù)字在剩余四個(gè)位置上全排列為Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝96個(gè)．類型2排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題排隊(duì)問(wèn)題【例2】有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法總數(shù)．(1)甲只能在中間或者兩邊位置；(2)男生必須排在一起；(3)男女各不相鄰；(4)甲乙兩人中間必須有3人．[解](1)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①甲只能在中間或者兩邊位置，則甲有3個(gè)位置可選，②將剩下的6人全排列，安排在剩下的6個(gè)位置，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720種情況，則有3×720＝2160種不同的排法．(2)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將3個(gè)男生看成一個(gè)整體，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種情況，②將男生整體與4名女生全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種情況，則有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝720種不同的排法．(3)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4個(gè)女生全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種情況，排好后，中間有3個(gè)空位可用，②將3個(gè)男生全排列，安排在3個(gè)空位中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種情況，則有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝144種不同的排法．(4)根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將甲乙2人全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種情況，②排好后，在剩下的5人中任選3人，安排在甲乙兩人之間，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種情況，③將排好的5人看成一個(gè)整體，與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種情況，則有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝720種不同的排法．排節(jié)目問(wèn)題【例3】某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的排節(jié)目單的方法種數(shù)：(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開頭，另一個(gè)壓臺(tái)；(2)兩個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰；(3)兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰．[解](1)先排歌曲節(jié)目有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種排法，再排其他節(jié)目有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝1440種排法．(2)先排3個(gè)舞蹈節(jié)目，3個(gè)曲藝節(jié)目，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法，再?gòu)钠渲?個(gè)空(包括兩端)中選2個(gè)排歌曲節(jié)目，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))種插入方法，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝30240種排法．(3)兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰，用捆綁法，3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，利用插空法，共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2880種．,排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題的解題策略(1)合理歸類，要將題目大致歸類，常見的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題等，再針對(duì)每一類采用相應(yīng)的方法解題．(2)恰當(dāng)結(jié)合，排列問(wèn)題的解決離不開兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題過(guò)程中要恰當(dāng)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．(3)正難則反，這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想，巧妙應(yīng)用排除法可起到事半功倍的效果．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．7名同學(xué)，站成一排：(1)甲站在最中間的排法共有多少種？(2)甲、乙兩名同學(xué)相鄰的排法共有多少種？(3)甲、乙和丙三名同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？[解](1)先把甲放在中間的位置，則問(wèn)題可以看作余下的6個(gè)元素的全排列，共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720種排列方法．(2)先將甲、乙兩名同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種方法，再與其余的5個(gè)元素(同學(xué))一起進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720種方法，∴這樣的排法一共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝1440種方法．(3)先將其余四個(gè)同學(xué)排好有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三名同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種方法，∴一共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440種．3．要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問(wèn)有多少種不同的排法？[解]先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種，這6個(gè)歌唱節(jié)目的空隙及兩端共七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))·Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝604800(種).類型3排列問(wèn)題的綜合應(yīng)用元素的“在”與“不在”問(wèn)題【例4】3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中間也不站兩端，則有________種不同的站法．2880[第一步，安排甲，在除中間，兩端以外的4個(gè)位置上任選一個(gè)位置安排，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種排法．第二步，安排其余6名，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝2880種不同排法．]固定順序排列問(wèn)題【例5】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列順序一定時(shí)，有________種不同排法．(2)甲在乙的左邊，有________種不同的排法．(1)840(2)2520[(1)法一：7人的所有排列方法有Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))種，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種，又對(duì)應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝840種．法二：(插空法)7人站定7個(gè)位置，只要把其余4人排好，剩下的3個(gè)空位，甲、乙、丙就按他們的順序去站，只有一種站法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＝7×6×5×4＝840種．(2)甲在乙的左邊的7人排列數(shù)與甲在乙的右邊的7人排列數(shù)相等，而7人排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的有eq\f(1,2)Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))＝2520種．]分類討論思想【例6】用1，3，6，7，8，9組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，并由小到大排列，則第114個(gè)數(shù)是多少？[解]分以下幾類：1×××型的四位數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝60(個(gè))；3×××型的四位數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝60(個(gè))；39××型的四位數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12(個(gè)).因此可得到千位數(shù)字是1與千位數(shù)字是3，百位數(shù)字小于9的數(shù)共有60＋60－12＝108(個(gè))，所以第114個(gè)數(shù)必是39××型，按由小到大的順序分別是3916，3917，3918，3961，3967，3968，…，故由小到大排列第114個(gè)數(shù)是3968.若本例條件不變，問(wèn)3796是第幾個(gè)數(shù)？[解]由原題知千位數(shù)字是1與千位數(shù)字是3，百位數(shù)字小于7的數(shù)共有60＋12×2＝84(個(gè)).因?yàn)?796在37××型的數(shù)中，按由小到大的順序分別是3716，3718，3719，3761，3768，3769，3781，3786，3789，3791，3796，…，可見3796在這類數(shù)中占第11位，所以由小到大排列3796是第95個(gè)數(shù)．1．“在”與“不在”排列問(wèn)題解題原則及方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先．(2)方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底，不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．2．固定順序的排列問(wèn)題的求解方法解這類問(wèn)題采用的是分類法．n個(gè)不同元素的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))種排法，m個(gè)元素的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))種排法．因此Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的，當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))種排法．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．(1)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有________種不同的安排方法．(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________種不同的站法．(1)300(2)504[(1)法一(分類法)：分兩類．第1類，化學(xué)被選上，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種不同的安排方法；第2類，化學(xué)不被選上，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))種不同的安排方法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝300種不同的安排方法．法二(分步法)：第1步，第四節(jié)有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))種排法；第2步，其余三節(jié)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝300種不同的安排方法．法三(間接法)：從6門課程中選4門安排在上午，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))種排法，而化學(xué)排第四節(jié)，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))－Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝300種不同的安排方法．(2)4名男生和2名女生站成一排共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720種站法，其中男生甲站最左端有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120種站法，女生乙站最右端有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24種站法，故滿足條件的共有720－120－120＋24＝504種站法．]1．6人站成一排，甲、乙、丙三人必須站在一起的排列種數(shù)為()A．18 B．72C．36 D．144D[6人站成一排，甲、乙、丙三人必須站在一起的排列種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝144.]2．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．36 B．30C．40 D．60A[奇數(shù)的個(gè)位數(shù)字為1，3或5，所以個(gè)位數(shù)字的排法有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種，十位數(shù)字和百位數(shù)字的排法種數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種，故奇數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝3×4×3＝36個(gè)