新教材人教a版選擇性必修第三冊(cè)6.2.4第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)案

第2課時(shí)組合的應(yīng)用核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的概念,分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.通過(guò)實(shí)例掌握常見(jiàn)的組合問(wèn)題,掌握解決組合問(wèn)題常用的方法和技巧.通過(guò)組合解決實(shí)際問(wèn)題,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1.排列數(shù)公式(用階乘表示):Anm=組合數(shù)公式:Cnm=2.全排列:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.在排列數(shù)公式中,當(dāng)m=n時(shí),即有Ann=n(n-1)·(n-2)·…·3·2·1,3.組合數(shù)的性質(zhì):(1)Cnm=C(2)Cn+1m=Cn1.某同學(xué)從8道概率題和2道排列題中選3道題進(jìn)行測(cè)試,則他至少選中1道排列題的選法有(B)(A)56種 (B)64種 (C)72種 (D)144種解析:從8道概率題和2道排列題中選3道題進(jìn)行測(cè)試,至少選中1道排列題的選法有C21C822.(2021·廣東汕頭高二期中)將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有(A)(A)12種 (B)24種 (C)36種 (D)8種解析:根據(jù)題意,分3步進(jìn)行:①甲地選一名老師,不同的選法種數(shù)為C2②甲地選兩名學(xué)生,不同的選法種數(shù)為C4③剩下的1名教師,2名學(xué)生安排到乙地,有1種選法.故不同的安排方案共有2×6×1=12(種).C183n+6=C18解析:由C183n得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18,解得n=2或n=8(舍去),則C8答案:284.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派方案共有種.(用數(shù)字作答)

解析:男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則從剩余5名男醫(yī)生中選2名,從4名女醫(yī)生中選2名,共有C52C答案:60有限制條件的組合問(wèn)題[例1]男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;(2)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加;(3)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.解:(1)分兩步完成:第1步,選3名男運(yùn)動(dòng)員,有C6第2步,選2名女運(yùn)動(dòng)員,有C4由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,共有C63·(2)法一(直接法)可分類求解:“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為C8“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為C8“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法種數(shù)為C8所以共有2C84+法二(間接法)從10人中任選5人有C10其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C85C10(3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),其他人任意選,共有C94種選法;當(dāng)不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有C84種選法,其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C54種,所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有(C84解答有限制條件的組合問(wèn)題的基本方法是“直接法”和“間接法(排除法)”.其中用直接法求解時(shí),則應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”的原則,優(yōu)先安排特殊元素,再安排其他元素.而選擇間接法(即先不考慮限制條件計(jì)算選法種數(shù),然后排除不滿足條件的選法)的原則是“正難則反”,也就是若正面問(wèn)題分類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大,不妨從反面問(wèn)題入手,特別是涉及“至多”“至少”等組合問(wèn)題時(shí)更是如此.變式訓(xùn)練1:要從6名男生和4名女生中選出5人參加一項(xiàng)活動(dòng),按下列要求,各有多少種不同的選法?(1)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選;(2)至多有3名男生當(dāng)選.解:(1)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選,只需從余下的8人中任選4人,有C8(2)至多有3名男生當(dāng)選時(shí),應(yīng)分三類:第1類是3男2女,有C6第2類是2男3女,有C6第3類是1男4女,有C6由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有C63C42組合中的多面手問(wèn)題[例2]車間有11名工人,其中5名是鉗工,4名是車工,另外2名既能做鉗工又能做車工,從中選出4名鉗工、4名車工,問(wèn)有多少種不同的選法?解:法一以“既能做鉗工又能做車工”的2人(記為A,B)來(lái)考慮分類,A,B都不在內(nèi),有C54C44=5種選法;A,B都在內(nèi)時(shí)又分“都做鉗工”“都做車工”“一個(gè)做鉗工,一個(gè)做車工”三類,共有C22C5法二從“只會(huì)做鉗工”的5人入選情況來(lái)考慮,5人中選4人,有C55人中選3人,有C55人中選2人,有C5所以共有75+100+10=185(種)不同的選法.分類問(wèn)題找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵,對(duì)于多面手問(wèn)題,在弄清楚多面手的人數(shù)后,只需按照多面手參加其中某項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)來(lái)分類,剩余多面手在另一種活動(dòng)中待選,這樣可以做到不重不漏.變式訓(xùn)練2:有12名外語(yǔ)翻譯人員,其中8名會(huì)翻譯英語(yǔ),6名會(huì)翻譯日語(yǔ),從中找出8人,使他們組成兩個(gè)翻譯小組,其中4人翻譯英語(yǔ),另4人翻譯日語(yǔ),這兩個(gè)小組能同時(shí)工作,問(wèn)這樣的分配名單共有多少種?解:依題意,這12人中既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的有2人,可以按“既會(huì)翻譯英語(yǔ)又會(huì)翻譯日語(yǔ)”的人的參與情況進(jìn)行分類.第1類,既會(huì)翻譯英語(yǔ)又會(huì)翻譯日語(yǔ)的兩位都不參加,這時(shí)分配名單有C6第2類,既會(huì)翻譯英語(yǔ)又會(huì)翻譯日語(yǔ)的兩位中有一人入選,這時(shí)又有該人參加英語(yǔ)和日語(yǔ)翻譯兩種可能,因此分配名單有C21C第3類,既會(huì)翻譯英語(yǔ)又會(huì)翻譯日語(yǔ)的兩位均入選,這時(shí)又分三種情況:兩人都翻譯英語(yǔ)、兩人都翻譯日語(yǔ)、兩人各翻譯一種語(yǔ)種,因此分配名單有C22C62綜上,共有15+160+265=440(種)分配名單.排列組合綜合問(wèn)題[例3]有5名男生和3名女生,從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表,求分別符合下列條件的選法種數(shù):(1)有女生但人數(shù)必須少于男生;(2)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表;(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表;(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表.解:(1)先取后排,先取有C53·C32+C5(C53·C32+C54(2)除去該女生后先取后排,有C74·(3)先取后排,但先安排該男生,有C74·C4(4)先從除去該男生和該女生的6人中選3人有C63種,再安排該男生有C31種,其余3人全排列有A33種,共有(1)解排列、組合綜合問(wèn)題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來(lái),再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列.(2)解排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題,有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題;②對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題,應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處理排列、組合綜合問(wèn)題的一般方法.變式訓(xùn)練3:(1)(2021·浙江寧波高二期末)將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子,則每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球的放法總數(shù)為()(A)18 (B)24 (C)36 (D)72(2)(2021·河南商丘一高高二月考)某工廠將甲、乙等五名新招聘員工隨機(jī)分配到兩個(gè)不同的車間,每個(gè)車間至少分配一名員工,則甲、乙兩名員工被分配到同一個(gè)車間的方案數(shù)為.

解析:(1)由題意,先將4個(gè)不同的小球分為3組,其中一組2個(gè),一組1個(gè),一組1個(gè),共有C42=6(種)不同的分法,再將三組放在3個(gè)不同的盒子中,共有A3(2)因?yàn)榧住⒁覂擅麊T工被分配到同一車間,則甲、乙兩人可看成一個(gè)整體,即將四名員工分配到兩個(gè)車間.若每個(gè)車間分2人,則有C42C22種分法,若一個(gè)車間分1人,一個(gè)車間分3人,則有C答案:(1)C(2)14[結(jié)論]平均分組問(wèn)題解法策略所謂“平均分組”是指將所有元素分成所有組元素個(gè)數(shù)相等或部分組元素個(gè)數(shù)相等的組.若有n組元素個(gè)數(shù)相同,則所有分組方法數(shù)除以n!即為所求.[典例]某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的3所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流,每所中學(xué)至少派一名教師,則不同的分配方法有()(A)80種 (B)90種(C)120種 (D)150種解析:分兩類:一類,第1步將5名教師按2,2,1分成3組,其分法有C52C32另一類,第1步將5名教師按3,1,1分成3組,其分法有C53C21所以不同的分派方法有90+60=150(種).故選D.(1)對(duì)于整體均分問(wèn)題,往往是先分組再排列,在解題時(shí)要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以An(2)對(duì)于部分均分問(wèn)題,解題時(shí)要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!.(3)對(duì)于不等分問(wèn)題,首先要對(duì)分配數(shù)量的可能情形進(jìn)行一一列舉,然后再對(duì)每一種情形分類討論.在每一類的計(jì)數(shù)中,又要考慮是分步計(jì)數(shù)還是分類計(jì)數(shù),是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.[素養(yǎng)演練]6本不同的書(shū),分為三份,每份兩本,有多少種不同的分法.解:分給甲、乙、丙三人,每人兩本有C62C42C22種分法,這個(gè)過(guò)程可以分兩步:第1步分為三份,每份兩本,設(shè)有x種分法;第2步再將這三份分給甲、乙、丙三人有1.從1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(C)(A)432 (B)288 (C)216 (D)108解析:因?yàn)槠鏀?shù)有4個(gè),偶數(shù)有3個(gè),所以要想取出的4個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)且是奇數(shù),個(gè)位數(shù)字必須是奇數(shù),因而這樣的奇數(shù)有C42.有5本不同的教科書(shū),其中語(yǔ)文書(shū)2本,數(shù)學(xué)書(shū)2本,物理書(shū)1本.若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上,則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是(B)(A)24 (B)48 (C)72 (D)96解析:根據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū),當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí),只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可,此時(shí)共有A22A42種擺放方法;當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí),共有A3.平面內(nèi)有四個(gè)紅點(diǎn),六個(gè)藍(lán)點(diǎn),其中只有一個(gè)紅點(diǎn)和兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)共線,其余任意三點(diǎn)不共線,過(guò)這十個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線中,至少過(guò)一個(gè)紅點(diǎn)的直線的條數(shù)是(B)(A)30 (B)29 (C)28 (D)27解析:過(guò)一個(gè)紅點(diǎn)有C41C4.現(xiàn)從8名學(xué)生中選出4人去參加一項(xiàng)活動(dòng),若甲、乙兩名同學(xué)不能同時(shí)入選,則共有種不同的選派方案.(用數(shù)字作答)

解析:根據(jù)題意,分兩種情況討論:①甲、乙兩名同學(xué)只有1人入選,只需從剩余的6人中再選出3人,有C21×②甲、乙兩名同學(xué)都沒(méi)有入選,只需從剩余的6人中選出4人,有C6答案:55[例1]從10種不同的作物種子中選出6種放入6個(gè)不同的瓶子中展出,每瓶不空,如果甲、乙兩種種子不能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi),那么不同的放法種數(shù)為()(A)C102A(C)C81解析:先排第1號(hào)瓶,從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C81種方法,再排剩余的瓶子,有A9[例2]某大學(xué)學(xué)生會(huì)從6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生中選出3名同學(xué)去參加志愿者活動(dòng).(1)共有多少種不同的選法?(2)若選出的3名同學(xué)中恰有一名男大學(xué)生的方法有多少種?(3)若選出的3名同學(xué)中至少有一名男大學(xué)生的方法有多少種?(4)若選出的3名同學(xué)中至多有一名男大學(xué)生的方法有多少種?解:(1)6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生共有10名大學(xué)生,從10人中取出3人共有C10(2)選出的3名同學(xué)中恰有一名男大學(xué)生,分兩步進(jìn)行,第1步,從4名男大學(xué)生中選1人,有C41種選法,第2步,從6名女大學(xué)生中選2