新教材人教a版選擇性必修第二冊4.4數(shù)學(xué)歸納法課件5

第四章數(shù)列4.4*數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)抽象2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|

數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與__________有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)_________________________________；(2)(歸納遞推)_____________________________________________________________________________；(3)結(jié)論：由(1)(2)可以判定命題對從n0開始的所有正整數(shù)都成立．正整數(shù)n

證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立

以“當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”

數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示【答案】n＝n0

n＝k(k≥n0)

n＝k＋1從n0開始的所有正整數(shù)n

【預(yù)習(xí)自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法． (

)(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1． (

)(3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√2．如果命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立，那么用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)須先證n＝________成立．【答案】23．用數(shù)學(xué)歸納法證1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的過程中，從n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊需增加的代數(shù)式是________．【答案】4k＋3|課堂互動|【解題探究】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況；(2)弄清從n＝k到n＝k＋1時(shí)等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；(3)證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并向證明目標(biāo)n＝k＋1的表達(dá)式變形．1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝1×22－2×32＝－14，右式＝－1×2×7＝－14．等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，則當(dāng)n＝k＋1(k∈N*)時(shí)，(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．說明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)，可知等式對一切n∈N*都成立．【解題探究】利用數(shù)學(xué)歸納法證明，從“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式的第二步，應(yīng)注意靈活運(yùn)用證明不等式的一般方法如比較法、分析法、綜合法．(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論．題型3證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y

整除．【解題探究】利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意“n＝k”與“n＝k＋1”之間項(xiàng)的關(guān)系．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，命題成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)(2)，可知原命題成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的注意點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，要注意將式子拆成幾部分的和、差或乘積形式，然后分析每一個(gè)部分能否整除．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，62k－1＋1能被7整除．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35．∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)(2)，可知原命題成立．題型4歸納、猜想、證明在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明．【解題探究】根據(jù)條件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．解：(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，將a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4．將a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8．將a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16．(2)由a2，a3，a4對{an}的通項(xiàng)公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，ak＝(k－1)λk＋2k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋2kλ＋λk＋1＋(2－λ)2k＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1．由此可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．綜上可知，an＝(n－1)λn＋2n對任意n∈N*都成立．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)“歸納—猜想—證明”的主要題型(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和．(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．(3)給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．【警示】利用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要利用n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系，不能直接使用結(jié)論．|素養(yǎng)達(dá)成|1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，第一步獲得遞推的基礎(chǔ)，但這不能說明結(jié)論的普遍性，第二步獲得遞推的依據(jù)，但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)，只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論．因此，完成了一、二步以后，還要做出一個(gè)結(jié)論．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的命題，遠(yuǎn)比證明恒等式困難得多．證明時(shí)，一般先由假設(shè)使不等式的一邊滿足“n＝k＋1”的形式，另一邊要結(jié)合不等式的性質(zhì)，配合不等式的其他證明方法(如比較法、分析法、綜合法、放縮法等)，使之符合“n＝k＋1”時(shí)的形式．總之，用好假設(shè)，抓住關(guān)鍵，理清思路，變換出符合形式的不等式．【答案】B【答案】D

【答案】C

【答案】D

【解析】

當(dāng)n＝k時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2項(xiàng)．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×2×…×(2n－1)(n∈N*)時(shí)，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式為________．【答案】2(2k＋1)

6．(2021年連云港期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除”時(shí)，第二步“假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)f(k＋1)也能被8整除”的過程中，得到f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝f(k)＋A，則A的表達(dá)式為_______．【答案】A＝4