2022-2023學年北師大版必修第二冊 6.5垂直關系第4課時 課件（17張）

6.5垂直關系第4課時導入新課問題1

在過程建設中，建筑工人用一端系有鉛錘的線來檢查墻面與地面是否垂直，即若緊貼墻面的鉛垂的線垂直地面，則確定墻面與地面垂直，否則不垂直，“緊貼墻面的線”這句話的實質意義是什么？此線在墻所在的平面內，即平面過另一平面的垂線，則兩平面垂直．新知探究垂直．問題3

若要判斷兩平面是否垂直，根據問題2能否得出一個方法？可以，只需在一平面內找一直線垂直于另一平面即可．問題2

當直線與平面垂直時，過此直線可作無數個平面，那么這些平面與已知平面有何關系？新知探究問題4

你能語言和符號表示平面與平面垂直的判定定理嗎？如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直．

αβmAO新知探究問題5

過已知平面的垂線，有幾個平面和已知平面垂直？過已知平面的垂線，和已知平面垂直的平面有無數個．αβmAOγ例1

如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四個側面都是矩形．初步應用證明：由四邊形BB1C1C是矩形，得CC1⊥BC．同理可得CC1⊥CD．又BC∩CD＝C，CD?平面ABCD，因此CC1⊥平面ABCD．又CC1?平面BB1C1C，于是平面BB1C1C⊥平面ABCD．求證：平面BB1C1C⊥平面ABCD．ABCDC1D1B1A1例2

如圖所示，在四面體A1－ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB．初步應用（1）四面體A1－ABC中有幾組相互垂直的平面？（2）求二面角A－A1B－C和A1－BC－A的大?。瓵BCA1解析：（1）四面體A1－ABC中有3組互相垂直的平面．因為A1A⊥平面ABC，A1A?平面A1AC，A1A?平面A1AB，所以平面ABC⊥平面A1AC，平面ABC⊥平面A1AB．因為A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥BC，又因為AB⊥BC，AB∩A1A=A，且AB，A1A?平面A1AB，所以BC⊥平面A1AB，又因為BC?平面A1BC，故平面A1AB⊥平面A1BC．例2

如圖所示，在四面體A1－ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB．初步應用（1）四面體A1－ABC中有幾組相互垂直的平面？（2）求二面角A－A1B－C和A1－BC－A的大?。瓵BCA1解析：（2）由(1)知二面角A－A1B－C等于90°．又AB⊥BC，所以∠A1AB即為二面角A1－BC－A的平面角．因為BC⊥平面A1AB，A1B?平面A1AB，所以BC⊥A1B，因為又A1A⊥AB，且AA1＝AB，所以∠A1AB=45°，即平面A1－BC－A的二面角為45°．課堂練習練習：教科書第230頁練習1，2，3．歸納小結（1）證明平面與平面垂直的方法是什么？（2）空間中線、面的垂直關系是如何轉化的？問題11

本節(jié)課我們學習了平面與平面垂直的判定定理及其應用，請你通過下列問題，歸納所學知識．（1）證明平面與平面垂直的方法：①利用定義：證明二面角的平面角為直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．（2）轉化關系如下：作業(yè)布置作業(yè)：教科書第235頁練習1，2，3，4．1目標檢測B在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1CB．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1．故選：B．2目標檢測C在棱長都相等的四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，則下面四個結論中不成立的是（）A．BC∥平面PDFC．平面PDF⊥平面ABCB．DF⊥平面PAED．平面PAE⊥平面ABC解析：可畫出對應圖形，如圖所示，則BC∥DF，由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，又DF?平面ABC，故選：C．又DF?平面PDF，故A成立；∴DF⊥平面PAE，故B成立；∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．3目標檢測面面垂直的判定定理如圖所示，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了，其原理是利用了__________________________．解析：如圖所示，因為OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根據線面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根據面面垂直的判定定理，可得α⊥β．4目標檢測如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，點G，H分別為AC，BC的中點．（1）求證：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH．證明：（1）因為DEF－ABC是三棱臺，且AB＝2DE，因為點G，H分別是AC，BC的中點，因為AB?平面FGH，GH?平面FGH，因為EF∥BH且EF＝BH，所以AB∥平面FGH．所以四邊形BHFE是平行四邊形，因為BE?平面FGH，HF?平面FGH，所以BC＝2EF，AC＝2DF．所以GH∥AB．所以BE∥平面FGH；所以BE∥HF．4目標檢測如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，點G，H分別為AC，BC的中點．（1）求證：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH．又因為AB∩BE＝B，因為BD?平面ABE，（2）因為AB＝2DE，因為H是BC的中點，所以BC＝2EF，又HC∥EF，所以平面ABE∥平面FGH，所以BD∥平面FGH．所以四邊形HCFE是平行四邊形，所以HC＝

BC＝EF，

所以HE∥CF．4目標檢測如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，點G，H分別為AC，BC的中點．（1）求證：BD∥平面FGH；