因子分析使用幫助

因子分析使用幫助第一頁，共八十頁，2022年，8月28日目錄§1引言§2因子分析模型

§3因子載荷矩陣的估計方法§4因子旋轉(zhuǎn)（正交變換）§5因子得分

§6因子分析的SPSS操作第二頁，共八十頁，2022年，8月28日因子分析(factoranalysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯變量(ObservedVariable)

，而假想變量是不可觀測的潛變量(LatentVariable)，稱為因子。例如，在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費(fèi)者可以通過一個有24個指標(biāo)構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的24個方面的優(yōu)劣。§1引言第三頁，共八十頁，2022年，8月28日但消費(fèi)者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。因子分析方法可以通過24個變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店進(jìn)行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為：

稱是不可觀測的潛在因子。24個變量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，即不被包含的部分，稱為特殊因子。第四頁，共八十頁，2022年，8月28日注：

因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實際意義；

主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。主成分分析:原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分；因子分析：潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線性組合表示原始變量。第五頁，共八十頁，2022年，8月28日§2因子分析模型

一、數(shù)學(xué)模型

設(shè)

個變量，如果表示為第六頁，共八十頁，2022年，8月28日稱為公共因子，是不可觀測的變量，他們的系數(shù)稱為因子載荷。是特殊因子，是不能被前m個公共因子包含的部分。并且滿足：不相關(guān)；即互不相關(guān)，且各自的方差為1。第七頁，共八十頁，2022年，8月28日即各之間互不相關(guān)，且各自的方差不一定相等。第八頁，共八十頁，2022年，8月28日用矩陣的表達(dá)方式：第九頁，共八十頁，2022年，8月28日二、因子分析模型的性質(zhì)1、原始變量X的協(xié)方差矩陣的分解D的主對角線上的元素值越小，則公共因子共享的成分越多。第十頁，共八十頁，2022年，8月28日

2、因子載荷不是惟一的設(shè)T為一個p×p的正交矩陣，令A(yù)*=AT，F(xiàn)*=T’F，則模型可以表示為且滿足條件因子模型的條件第十一頁，共八十頁，2022年，8月28日三、因子載荷矩陣中的幾個統(tǒng)計特征1、因子載荷aij的統(tǒng)計意義因子載荷是第i個標(biāo)準(zhǔn)化變量與第j個公共因子的相關(guān)系數(shù)

模型為

在上式的左右兩邊乘以

,再求數(shù)學(xué)期望

根據(jù)公共因子的模型性質(zhì)，有（載荷矩陣中第i行，第j列的元素）反映了第i個變量與第j個公共因子的相關(guān)重要性。絕對值越大，相關(guān)的密切程度越高。注意標(biāo)準(zhǔn)化變量的方差為1。第十二頁，共八十頁，2022年，8月28日2、變量共同度的統(tǒng)計意義定義：變量的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為統(tǒng)計意義：兩邊求方差：所有的公共因子和特殊因子對變量的貢獻(xiàn)為1。如果非?？拷?，非常小，則因子分析的效果好，從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好。(注意為標(biāo)準(zhǔn)化變量)

第十三頁，共八十頁，2022年，8月28日3、公共因子方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計意義因子載荷矩陣中各列元素的平方和稱為第j個公共因子對X的所有分量的方差貢獻(xiàn)和，它衡量了第j個公共因子在全體公共因子中的相對重要性。第十四頁，共八十頁，2022年，8月28日§3因子載荷矩陣的估計方法設(shè)隨機(jī)向量的均值為，協(xié)方差為,

為的特征根，為對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則（一）主成分分析法第十五頁，共八十頁，2022年，8月28日上式給出的表達(dá)式是精確的，然而，它實際上是毫無價值的，因為我們的目的是尋求用少數(shù)幾個公共因子解釋，故略去后面的p-m項的貢獻(xiàn)，有第十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

第十七頁，共八十頁，2022年，8月28日（二）主因子法主因子方法是對主成分方法的修正，假定我們首先對變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。設(shè)

R=AA’+DR*=AA’=R-D稱R*為約相關(guān)矩陣。R*對角線上的元素是，而不是1。第十八頁，共八十頁，2022年，8月28日直接求R*的前p個特征根和對應(yīng)的正交特征向量。得如下的矩陣：第十九頁，共八十頁，2022年，8月28日當(dāng)特殊因子的方差不大且已知的，問題非常好解決。第二十頁，共八十頁，2022年，8月28日第二十一頁，共八十頁，2022年，8月28日在實際的應(yīng)用中，特殊因子方差矩陣一般都是未知的，可以通過一組樣本來估計。估計的方法有如下幾種：首先，求的初始估計值，構(gòu)造出

1）取，在這個情況下主因子解與主成分解等價；2）取，為xi與其他所有的原始變量xj的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，即xi對其余的p-1個xj的回歸方程的判定系數(shù)，這是因為xi

與公共因子的關(guān)系是通過其余的p-1個xj的線性組合聯(lián)系起來的；第二十二頁，共八十頁，2022年，8月28日3）取，這意味著取xi與其余的xj的簡單相關(guān)系數(shù)的絕對值最大者；4）取，其中要求該值為正數(shù)。5）取，其中是的對角元素。第二十三頁，共八十頁，2022年，8月28日例假定某地固定資產(chǎn)投資率，通貨膨脹率，失業(yè)率，相關(guān)系數(shù)矩陣為試用主成分分析法求因子分析模型。第二十四頁，共八十頁，2022年，8月28日

特征根為：第二十五頁，共八十頁，2022年，8月28日可取前兩個因子F1和F2為公共因子，第一公因子F1物價就業(yè)因子，對X的貢獻(xiàn)為1.55。第二公因子F2為投資因子，對X的貢獻(xiàn)為0.85。共同度分別為1，0.706，0.706。第二十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

§4因子旋轉(zhuǎn)（正交變換）建立了因子分析數(shù)學(xué)目的不僅僅要找出公共因子以及對變量進(jìn)行分組，更重要的要知道每個公共因子的意義，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如果每個公共因子的含義不清，則不便于進(jìn)行實際背景的解釋。由于因子載荷陣是不惟一的，所以應(yīng)該對因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。目的是使因子載荷陣的結(jié)構(gòu)簡化，使載荷矩陣每列或行的元素平方值向0和1兩極分化。有三種主要的正交旋轉(zhuǎn)法。四次方最大法、方差最大法和等量最大法。（一）為什么要旋轉(zhuǎn)因子第二十七頁，共八十頁，2022年，8月28日百米跑成績跳遠(yuǎn)成績鉛球成績跳高成績

400米跑成績百米跨欄鐵餅成績撐桿跳遠(yuǎn)成績標(biāo)槍成績

1500米跑成績

奧運(yùn)會十項全能運(yùn)動項目得分?jǐn)?shù)據(jù)的因子分析

第二十八頁，共八十頁，2022年，8月28日第二十九頁，共八十頁，2022年，8月28日因子載荷矩陣可以看出，除第一因子在所有的變量在公共因子上有較大的正載荷，可以稱為一般運(yùn)動因子。其他的3個因子不太容易解釋。似乎是跑和投擲的能力對比，似乎是長跑耐力和短跑速度的對比。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表

第三十頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十一頁，共八十頁，2022年，8月28日通過旋轉(zhuǎn)，因子有了較為明確的含義。百米跑，跳遠(yuǎn)和400米跑，需要爆發(fā)力的項目在有較大的載荷，可以稱為短跑速度因子；鉛球，鐵餅和標(biāo)槍在上有較大的載荷，可以稱為爆發(fā)性臂力因子；百米跨欄，撐桿跳遠(yuǎn)，跳遠(yuǎn)和為跳高在上有較大的載荷，爆發(fā)腿力因子；長跑耐力因子。第三十二頁，共八十頁，2022年，8月28日方差最大法

方差最大法從簡化因子載荷矩陣的每一列出發(fā)，使和每個因子有關(guān)的載荷的平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個變量在某個因子上又較高的載荷時，對因子的解釋最簡單。方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于1，另一部分趨于0。（二）旋轉(zhuǎn)方法第三十三頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十六頁，共八十頁，2022年，8月28日變換后因子的共同度設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的共同度沒有發(fā)生變化！（三）旋轉(zhuǎn)結(jié)果第三十七頁，共八十頁，2022年，8月28日變換后因子貢獻(xiàn)設(shè)正交矩陣，做正交變換變換后因子的貢獻(xiàn)發(fā)生了變化！第三十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

§5因子得分

（一）因子得分的概念

前面我們主要解決了用公共因子的線性組合來表示一組觀測變量的有關(guān)問題。如果我們要使用這些因子做其他的研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析，對模型進(jìn)行診斷,進(jìn)一步分析原始數(shù)據(jù)(如對樣本進(jìn)行分類或評價)，這就需要我們對公共因子進(jìn)行測度，即給出公共因子的值。第三十九頁，共八十頁，2022年，8月28日例1人均要素變量因子分析。對我國32個省市自治區(qū)的要素狀況作因子分析。指標(biāo)體系中有如下指標(biāo)：X1：人口（萬人）X2：面積（萬平方公里）X3：GDP（億元）X4：人均水資源（立方米/人）X5：人均生物量（噸/人）X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有科學(xué)家、工程師數(shù)（人）RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.21522-0.273970.89092X20.63973-0.28739-0.28755X3-0.157910.063340.94855X40.95898-0.01501-0.07556X50.97224-0.06778-0.17535X6-0.114160.98328-0.08300X7-0.110410.97851-0.07246第四十頁，共八十頁，2022年，8月28日

高載荷指標(biāo)

因子命名

因子1X2；面積（萬平方公里）X4:人均水資源（立方米/人）X5:人均生物量（噸/人）自然資源因子

因子2X6：萬人擁有的大學(xué)生數(shù)（人）X7：萬人擁有的科學(xué)家、工程師數(shù)（人）

人力資源因子

因子3

X1;人口（萬人）X3:GDP(億元)經(jīng)濟(jì)發(fā)展總量因子

X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3第四十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

StandardizedScoringCoefficients

FACTOR1

FACTOR2

FACTOR3X10.05764

-0.06098

0.50391X20.22724

-0.09901

-0.07713X30.14635

0.12957

0.59715X40.47920

0.11228

0.17062X50.45583

0.07419

0.10129X60.05416

0.48629

0.04099X70.05790

0.48562

0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7第四十二頁，共八十頁，2022年，8月28日REGIONFACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing?-0.081694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三個因子得分第四十三頁，共八十頁，2022年，8月28日例2國民生活質(zhì)量的因素分析國家發(fā)展的最終目標(biāo)，是為了全面提高全體國民的生活質(zhì)量，滿足廣大國民日益增長的物質(zhì)和文化的合理需求。在可持續(xù)發(fā)展消費(fèi)的統(tǒng)一理念下，增加社會財富，創(chuàng)自更多的物質(zhì)文明和精神文明，保持人類的健康延續(xù)和生生不息，在人類與自然協(xié)同進(jìn)化的基礎(chǔ)上，維系人類與自然的平衡，達(dá)到完整的代際公平和區(qū)際公平(即時間過程的最大合理性與空間分布的最大合理化)。從1990年開始，聯(lián)合國開發(fā)計劃署(UYNP)首次采用“人文發(fā)展系數(shù)”指標(biāo)對于國民生活質(zhì)量進(jìn)行測度。人文發(fā)展系數(shù)利用三類內(nèi)涵豐富的指標(biāo)組合，即人的健康狀況(使用出生時的人均預(yù)期壽命表達(dá))、人的智力程度(使用組合的教育成就表達(dá))、人的福利水平(使用人均國民收入或人均GDP表達(dá))，并且特別強(qiáng)調(diào)三類指標(biāo)組合的整體表達(dá)內(nèi)涵，去衡量一個國家或地區(qū)的社會發(fā)展總體狀況以及國民生活質(zhì)量的總水平。第四十四頁，共八十頁，2022年，8月28日在這個指標(biāo)體系中有如下的指標(biāo)：X1——預(yù)期壽命X2——成人識字率X3——綜合入學(xué)率X4——人均GDP（美圓）X5——預(yù)期壽命指數(shù)X6——教育成就指數(shù)X7——人均GDP指數(shù)第四十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)

RotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2FACTOR3X10.381290.417650.81714X20.121660.848280.45981X30.648030.618220.22398X40.904100.205310.34100X50.388540.432950.80848X60.282070.853250.43289X70.900910.206120.35052

FACTOR1為經(jīng)濟(jì)發(fā)展因子

FACTOR2為教育成就因子

FACTOR3為健康水平因子第四十六頁，共八十頁，2022年，8月28日被每個因子解釋的方差和共同度

VarianceexplainedbyeachfactorFACTOR1FACTOR2FACTOR32.4397002.2763172.009490FinalCommunalityEstimates:Total=6.725507X1X2X3X4X50.9875300.9457960.8523060.9758300.992050

X6X70.9949950.976999

第四十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

StandardizedScoringCoefficients標(biāo)準(zhǔn)化得分系數(shù)

FACTOR1FACTOR2FACTOR3X1-0.18875-0.343970.85077X2-0.241090.60335-0.10234X30.354620.50232-0.59895X40.53990-0.17336-0.10355X5-0.17918-0.316040.81490X6-0.092300.62258-0.24876第四十八頁，共八十頁，2022年，8月28日例3生育率的影響因素分析生育率受社會、經(jīng)濟(jì)、文化、計劃生育政策等很多因素影響，但這些因素對生育率的影響并不是完全獨(dú)立的，而是交織在一起，如果直接用選定的變量對生育率進(jìn)行多元回歸分析，最終結(jié)果往往只能保留兩三個變量，其他變量的信息就損失了。因此，考慮用因子分析的方法，找出變量間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在信息損失最少的情況下用新生成的因子對生育率進(jìn)行分析。選擇的變量有：多子率、綜合節(jié)育率、初中以上文化程度比例、城鎮(zhèn)人口比例、人均國民收入。下表是1990年中國30個省、自治區(qū)、直轄市的數(shù)據(jù)。第四十九頁，共八十頁，2022年，8月28日第五十頁，共八十頁，2022年，8月28日EigenvalueDifferenceProportionCumulative3.249175972.034642910.64980.64981.214533060.962968000.24290.89270.251565070.067433970.05030.94310.184131090.083536290.03680.97990.100594800.0201

1.0000特征根與各因子的貢獻(xiàn)第五十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

Factor1Factor2x1-0.760620.55316x20.56898-0.76662x30.891840.25374x40.870660.34618x50.890760.36962沒有旋轉(zhuǎn)的因子結(jié)構(gòu)第五十二頁，共八十頁，2022年，8月28日各原始變量在旋轉(zhuǎn)后的共同度0.884540230.911439980.859770610.877894530.93006369在這個例子中我們得到了兩個因子，第一個因子是社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平因子，第二個是計劃生育因子。有了因子得分值后，則可以利用因子得分為變量，進(jìn)行其他的統(tǒng)計分析。

Factor1Factor2x1-0.35310-0.87170x20.077570.95154x30.891140.25621x40.922040.16655x50.951490.15728

Factor1Factor2x1-0.05897-0.49252x2-0.058050.58056x30.330420.03497x40.35108-0.02506x50.36366-0.03493方差最大旋轉(zhuǎn)后的因子結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化得分函數(shù)第五十三頁，共八十頁，2022年，8月28日§6因子分析的SPSS操作

SpringX1X2X3X4X5X6X7111.8350.48014.36025.21025.210.8100.98245.5960.52613.85024.04026.010.9100.9633.5250.08624.40049.30011.306.8200.8543.6810.37013.57025.12026.000.8201.01548.2870.38614.50025.90023.322.1800.93617.9560.2809.75017.05037.200.4640.9877.3700.50613.60034.28010.698.8000.5684.2230.3403.8007.10088.201.1100.9796.4420.1904.7009.10073.200.7401.031016.2340.3903.1005.400121.500.4201.001110.5850.4202.4004.700135.600.8700.981223.5350.2302.6004.600151.800.3101.02135.3980.1202.8006.200111.201.1401.0714283.1490.1481.7632.968215.860.1400.9815316.6040.3171.4532.432263.410.2490.9816307.3100.1731.6722.729235.700.2140.9917322.5150.3121.3822.320282.210.0241.0018254.5800.2970.8991.476410.300.2390.9319304.0920.2830.7891.357438.360.1931.0120202.4460.0420.7411.266309.770.2900.99原始數(shù)據(jù)：20口鹽泉的化學(xué)成分。建立Excel數(shù)據(jù)表文件(數(shù)據(jù)存放在Sheet1)

第五十四頁，共八十頁，2022年，8月28日打開SPSS16.0；在SPSS開始向?qū)Т翱?，選定“CreatenewqueryusingDatabaseWizard”，點擊“OK”按鈕，進(jìn)入“DatabaseWizard”向?qū)Т翱诘谖迨屙?，共八十頁?022年，8月28日在“DatabaseWizard”向?qū)Т翱?，選定“ExcelFiles”，點擊“Next”按鈕第五十六頁，共八十頁，2022年，8月28日在“ODBCDriverLogin”向?qū)Т翱?，使用“Browse”按鈕，搜索選定Excel數(shù)據(jù)源文件，點擊“Open”按鈕，點擊“OK”按鈕第五十七頁，共八十頁，2022年，8月28日在“DatabaseWizard”向?qū)Т翱?，在其左邊的窗口中選定Excel數(shù)據(jù)表（本例為Sheet1），點擊位于中間的“箭頭”按鈕，將該數(shù)據(jù)表（本例為Sheet1）移入到右邊的空白窗口之中，點擊“Next”按鈕，第二次點擊“Next”按鈕，第三次點擊“Next”按鈕第五十八頁，共八十頁，2022年，8月28日在“DatabaseWizard”向?qū)Т翱?，使用“Browse”按鈕指定文件夾，命名SPSS數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換文件（*.spq）（建議采用與Excel數(shù)據(jù)文件相同的名稱），點擊“Save”按鈕第五十九頁，共八十頁，2022年，8月28日點擊“Next”按鈕，點擊“Finish”按鈕第六十頁，共八十頁，2022年，8月28日自動回到SPSS16.0視窗，顯示為未命名的SPSS數(shù)據(jù)集編輯窗口第六十一頁，共八十頁，2022年，8月28日在SPSS數(shù)據(jù)集編輯窗口的底部，點擊“VariableView”，定義各變量的數(shù)據(jù)類型、寬度、小數(shù)位數(shù)等第六十二頁，共八十頁，2022年，8月28日在SPSS數(shù)據(jù)集編輯窗口的底部，點擊“DataView”，顯示出最終的數(shù)據(jù)集第六十三頁，共八十頁，2022年，8月28日利用該數(shù)據(jù)集，在SPSS主菜單，選定“Analyze\DataReduction\Factor”