第3章工程制圖投影理論

第3章工程制圖投影理論本章知識(shí)點(diǎn)及要求:掌握正投影的投影特性；掌握點(diǎn)、線、面的投影特征；掌握特殊位置直線與平面的投影規(guī)律；掌握直線與直線、平面與平面、平面與直線相對(duì)位置投影特性（直線或平面至少有一個(gè)為特殊位置）。3.4平面的投影3.4.1平面的表示法3.4.2各種位置平面及投影特征3.4.3平面內(nèi)的點(diǎn)和直線3.4.1平面的表示法非共線的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)平行二直線相交二直線平面圖形c●●●●●●ababcb●●●●●●acabcabcabc●●●●●●d●d●abcabc●●●●●●c●●●abcab●●●這些表示法是等效的，它們可以互相轉(zhuǎn)化，應(yīng)熟練這種轉(zhuǎn)化。⒈平面與投影面的相對(duì)位置平行于投影面垂直于投影面傾斜于投影面實(shí)形性積聚性類(lèi)似性投影規(guī)律特殊位置一般位置度量性好作圖簡(jiǎn)單可推理空間形狀3.4.2各種位置平面及投影特征

投影面平行面投影面垂直面正平面（//Ｖ面）側(cè)平面（//Ｗ面）水平面（//Ｈ面）正垂面(⊥Ｖ,<H、W)側(cè)垂面(⊥Ｗ,<V、H)鉛垂面(⊥Ｈ,<W、V)一般位置平面統(tǒng)稱(chēng)特殊位置平面根據(jù)投影特性，

平面與投影面的位置關(guān)系可分為三類(lèi)：與V，H，W三個(gè)投影面都傾斜平行于某一投影面垂直于某一投影面與其余兩投影面傾斜<表示傾斜（1）一般位置平面投影特性：

（1）abc

、abc

、abc均為ABC的類(lèi)似形。（2）不直接反映、、

。

abbaccbacabcbacabCABabcabcabc（2）投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性投影規(guī)律：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。水平面是什么位置的平面？

在所垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。cc（3）投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abcabba類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性γβ投影規(guī)律：另外兩個(gè)投影面上的投影為類(lèi)似形。鉛垂面YHYWYHYWHαβγβγαacbca●abcb例：正垂面△ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。此題有幾個(gè)解？45°可見(jiàn)投影線要用粗實(shí)線描深應(yīng)清理無(wú)關(guān)的作圖輔助線如何求解？先進(jìn)行空間分析3.4.3平面內(nèi)的點(diǎn)和直線點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件：（1）點(diǎn)在平面上的幾何條件：

點(diǎn)必在平面內(nèi)的某一直線上。（2）直線在平面上的幾何條件：①通過(guò)平面上的兩點(diǎn)；②通過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。應(yīng)用：在平面上取點(diǎn)、直線，實(shí)質(zhì)上是在平面內(nèi)作輔助線的問(wèn)題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類(lèi)問(wèn)題：

①判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面。②完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影。③完成多邊形的投影。直線屬于平面應(yīng)滿(mǎn)足的條件：a.通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)●●MNPAB●MPb.通過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且平行于平面內(nèi)的一條直線（回憶中學(xué)立體幾何的概念）關(guān)鍵是將上述立體幾何的思想通過(guò)投影的方法表達(dá)出來(lái)。(1)平面內(nèi)的直線abcbca

dd例：已知由AB、AC確定的平面，試在平面內(nèi)作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無(wú)數(shù)解！n●m●n●m●abcbca點(diǎn)屬于平面內(nèi)的某一直線點(diǎn)屬于平面應(yīng)滿(mǎn)足的條件：（回憶中學(xué)立體幾何的概念）P點(diǎn)的從屬性：點(diǎn)屬于直線，點(diǎn)的投影就屬于該直線的同名投影。把立體幾何的思想用投影進(jìn)行表達(dá)(2)平面內(nèi)的點(diǎn)d’b’a’c’abcdXOm’ms’t’st檢驗(yàn)M點(diǎn)的水平投影m是否在st直線上。（當(dāng)前情況M點(diǎn)不在該平面內(nèi)）例：已知平面由兩平行直線AB、CD確定，試判斷點(diǎn)M是否在該平面內(nèi)。

(3)特殊位置平面內(nèi)的點(diǎn)和直線特殊位置的平面在它所垂直的投影面上的投影積聚成為直線，因此特殊位置平面上的點(diǎn)、直線或平面圖形，在該投影面上的投影都位于平面積聚性的這條直線上。例：已知點(diǎn)A、點(diǎn)B和直線CD的兩面投影。（1）試過(guò)點(diǎn)A作正平面。

（2）過(guò)點(diǎn)B作正垂面，使α=45゜

（3）過(guò)直線CD作鉛垂面a’abb’c’d’cdmnn’m’45゜t’p’ptee’(4)平面內(nèi)投影面的平行線VHPPVPH平面上投影面平行線—既在平面上又平行于投影面的直線。在一個(gè)平面上對(duì)V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。水平線正平線XOabcbacmnnm例：

已知

ABC給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。XO

唯一解！有多少解？如何作正平線、水平線？bckadadbckb例：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一：解法二：adadbc空間分析：1.正平線的水平投影平行于X軸；2.平行四邊形有兩組平行的對(duì)應(yīng)邊。c例：已知點(diǎn)E在ABC平面上，且點(diǎn)E距離V面10，距離H面15，試求點(diǎn)E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015eeO3.5幾何要素之間的相對(duì)位置相對(duì)位置關(guān)系是指平行、相交和垂直關(guān)系。3.5.3垂直關(guān)系：直線與平面垂直，兩直線垂直(一般位置)和兩平面垂直。

3.5.1平行關(guān)系：直線與平面平行，兩平面平行；

3.5.2相交關(guān)系：直線與平面相交，兩平面相交；

3.5.1平行關(guān)系

（1）

直線與平面平行若平面外的一直線與平面內(nèi)的某一直線平行，則該直線與該平面平行。幾何條件是：兩直線的平行問(wèn)題直線與平面的平行問(wèn)題由于EF∥BD，且BD是△ABC面內(nèi)的一直線，因此直線EF∥△ABC面。分為：直線與平面平行，以及平面與平面平行n●●acbmabcmn例：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于△ABC平面。有多少解？dd空間分析先在面內(nèi)取一直線作該直線的平行線有無(wú)數(shù)解解的軌跡是與△ABC平行的平面直線與平面平行（存在積聚性時(shí)）若平面的投影中有一個(gè)具有積聚性時(shí)，則判別直線與平面是否平行只需看平面有積聚性的投影與已知直線的同面投影是否平行即可。HMNm(n)abABCDEFc(d)f(e)(a)直觀圖Xm’n’Om(n)aba’b’c’d’e’f’c(d)f(e)(b)投影圖例：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和△ABC平面。唯一解c●●bamabcmnndd空間分析與V面平行的直線直線是正平線與△ABC平行平行于△ABC內(nèi)的正平線作圖步驟…若本題改成平行于H面，如何求解？（2）

兩平面平行若一平面內(nèi)的兩相交直線分別于另一平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則兩平面平行。幾何條件是：兩組相交直線的平行問(wèn)題兩平面平行的問(wèn)題cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde若兩平面垂直于同名投影面，且積聚性投影互平行，則兩平面平行。例過(guò)點(diǎn)K作一平面，平行于由AB、CD兩平行直線構(gòu)成的平面。1)在AB、CD平面內(nèi)，取一條與AB、CD相交的線，如AC；

2)過(guò)K作KL∥AB，KM∥AC；3)描深LKM即為所求。

空間分析作圖步驟根據(jù)平面間平行的幾何條件，先找出相交二直線；作相交二直線的平行線。l例：試判斷兩平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss結(jié)論：兩平面平行XO3.5.2相交關(guān)系

（1）

直線與平面相交幾何特性是：兩直線的相交問(wèn)題直線與平面的相交問(wèn)題可轉(zhuǎn)化分為：直線與平面相交，以及平面與平面相交（本課程只討論二者中至少有一個(gè)為特殊位置的情況）直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。●●需要解決：求交點(diǎn)判別線段可見(jiàn)性，即線段被遮擋的關(guān)系，交點(diǎn)是可見(jiàn)性的分界點(diǎn)。不可見(jiàn)線段畫(huà)成虛線。bbaaccmmnnkkXOVHPHPACacNMkbBK交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。直線為一般位置，平面為特殊位置時(shí)：1(2)例：求直線MN與鉛垂面△ABC的交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性。投影分析△ABC是鉛垂面，其水平投影積聚為直線，與mn的交點(diǎn)k就是線與平面的共有點(diǎn)。1)用線上取點(diǎn)法求出交點(diǎn)的正面投影k2)可直接從水平投影看出：KN段在平面前，即V面投影kn為可見(jiàn)。還可由V面重影點(diǎn)確定線段在V面的可見(jiàn)性。作圖步驟abcmncnbamk●k●2●1●●1(2)km(n)a●mnbaccb投影分析

鉛垂線MN的水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)的水平投影也積聚在該點(diǎn)，它是線與平面的共有點(diǎn)。1)用面上取點(diǎn)法求交點(diǎn);2)利用V面重影點(diǎn)確定線段在V面的可見(jiàn)性;

還可通過(guò)觀察水平投影，cb在mn之前，得出km可見(jiàn)的同樣結(jié)論。k●2●1●作圖步驟●例：求鉛垂線MN與△ABC面的交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性。

點(diǎn)1在平面內(nèi)，在前(V面)；點(diǎn)2在MN上，在后(V面)，k2為不可見(jiàn)。（2）兩平面相交（至少一個(gè)平面為特殊位置）兩平面相交其交線為直線；交線是兩平面的共有線；交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。幾何特性：需要解決：判別可見(jiàn)性，即平面間的遮擋關(guān)系，交線是可見(jiàn)性的分界線交線的求解方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)；⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO△ABC與△DEF的交線

求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題，由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。求交線

VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO判別可見(jiàn)性交線總是可見(jiàn)；可見(jiàn)輪廓構(gòu)成封閉圖形。defabcfcaebdm(n)空間分析

兩平面都是正垂面，其交線為一條正垂線；兩平面在V面積聚，投影交點(diǎn)即為交線的正面投影。1)用面上取線的方法求交線2)可見(jiàn)性：可從正面投影看出，即交線左側(cè)的△DEF部分在上，則該部分水平投影可見(jiàn)；作圖步驟

m●●注意：例：求兩正垂面的交線，并判別可見(jiàn)性。其余部分可由推理得出可見(jiàn)性。n●可見(jiàn)部分涂色便于區(qū)分遮擋關(guān)系defabcfcaebdm(n)n●m●●例：求兩正垂面的交線，并判別可見(jiàn)性。defabcfcaebdm(n)●m●n●e′e

fa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′1(2)′′空間分析鉛垂面ABCD的水平投影具有積聚性，分別與fg和eg的交點(diǎn)是m和n，即兩個(gè)共有點(diǎn)的投影。1)用面上取線的方法求交線；2)可利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。

點(diǎn)1在MG上，點(diǎn)2在CD上，點(diǎn)1在前，點(diǎn)2在后，故mg可見(jiàn)。亦可通過(guò)直觀判斷。作圖步驟2●1●m′●m●n●●n′●例：求鉛垂面與一般位置平面的交線，并判別可見(jiàn)性。例：求鉛垂面與一般位置平面的交線，并判別可見(jiàn)性。efa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′m●n●n′●m′●可見(jiàn)部分涂色便于區(qū)分遮擋關(guān)系e′e

fa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′1(2)′′2●1●m′●m●n●●n′●dabcfefedabc空間分析

正垂面△ABC的正面投影有積聚性，分別可求出交線上的點(diǎn)M和N，即兩個(gè)共有點(diǎn)。

n●n●m●k●m●k●例：求正垂面與一般位置平面的交線，并判別可見(jiàn)性。n位于Δabc的范圍外面，N是交線上的點(diǎn)，但不是兩平面圖形范圍內(nèi)的交線部分，一般只描深公共范圍內(nèi)的部分，真正的交線線段部分應(yīng)為MK。1)用面上取線的方法求交線；2)可利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。作圖步驟交線可見(jiàn)；可見(jiàn)輪廓構(gòu)成封閉圖形。dabcfefedabc

n●n●m●k●m●k●例：求正垂面與一般位置平面的交線，并判別可見(jiàn)性。dabcfefedabcm●k●k●m●可見(jiàn)部分涂色便于區(qū)分可見(jiàn)性3.5.4垂直關(guān)系

（1）直線與平面垂直幾何條件是：直線與平面內(nèi)直線的垂直問(wèn)題直線與平面的垂直問(wèn)題可轉(zhuǎn)化分為直線與平面垂直，以及平面與平面垂直若直線與平面內(nèi)相交二直線垂直，則該直線與該平面垂直。需要解決：判別線段的可見(jiàn)性

本課程只討論直線或平面中至少一個(gè)為特殊位置的情況作垂線，運(yùn)用直角投影定理，直角定理有何要求？反之：如果直線垂直于平面，則該直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線例：試過(guò)點(diǎn)S作△ABC的法線ST。s’sb’a’c’abce’edd’tt’例：過(guò)點(diǎn)A作平面垂直于直線BC。a’ab’c’XOcbdd’e’e求作直線垂直于平面是兩平面垂直作圖的必要條件。例：過(guò)點(diǎn)A作平行于直線CJ且垂直△DEF的平面。XOc’j’cja’ad’f’e’defk’b’bn’nmm’k若相互垂直的兩平面同時(shí)垂直于某一投影面，則兩平面有積聚性的同面投影必相互垂直。ABCDEFa(b)c(d)f(e)H(a)立體圖XOa’b’c’d’f’e’f(e)c(d)a(b)(b)投影圖兩投影面垂直面相互垂直2.

兩平面垂直如果直線垂直于平面，則通過(guò)該直線的所有平面