(北師大版)上海市高中數(shù)學選修2-2第一章《推理與證明》測試(含答案解析)

一、選擇題1．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求A3,4，且法向量為n(1,2)的直線（點法式）動點軌跡方程的方法，可以求出過點方程為：1x32y40，化簡得x2y110.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A1,2,3，且法向量為m(1,2,1)的平面的方程為（）A．x2yz20C．x2yz20B．x2yz20D．x2yz202．觀察下列各式：a+b=1.a+2b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a+5b5=11,…，則a10+b10=（）A．28B．76C．123D．1993．某電影院共有n(n3000)個座位.某天，這家電影院上、下午各演一場電影.看電影的是甲、乙、丙三所中學的學生，三所學校的觀影人數(shù)分別是985人，1010人，2019人(同一所學校的學生有的看上午場，也有的看下午場，但每人只能看一-場).已知無論如何排座位，這天觀影時總存在這樣的一個座位，上、下午在這個座位上坐的是同一所學校的學n生，那么的可能取值有()A．12個B．11個C．10個D．前三個答案都不對f'()x0時，x是f()x的極值點，而對于函數(shù)f(x)x3，4．演繹推理“因為00f'(0)0，所以0是函數(shù)f(x)x3的極值點.”所得結(jié)論錯誤的原因是（）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．全不正確5．已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，則第9個數(shù)是()A．50B．42C．-50D．-426．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想出：四面都為正三角形的正四面體的內(nèi)切球切于四個面的什么位置？A．正三角形的頂點B．正三角形的中心C．正三角形各邊的中點D．無法確定7．“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，y2x是指數(shù)函數(shù)，所以y2x是減函數(shù)”上述推理（）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．以上都不是8．在平面幾何中，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個正三角形的高的13.”拓展到空間中，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的()12141618A．B．C．D．9．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于A．201722016B．201822015C．201722015D．20182201610．已知甲、乙、丙三人中，一人是數(shù)學老師、一人是英語老師、一人是語文老師.若丙的年齡比語文老師大；甲的年齡和英語老師不同；英語老師的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是()A．甲是數(shù)學老師、乙是語文老師、丙是英語老師B．甲是英語老師、乙是語文老師、丙是數(shù)學老師C．甲是語文老師、乙是數(shù)學老師、丙是英語老師D．甲是語文老師、乙是英語老師、丙是數(shù)學老師11．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）2017201620152014……654321403340314029…………80648060………………16124……1197532016128362820………A．201722016B．201822015D．201822016C．201722015二、填空題2x13．已知f(x)＝（x＞0），若f(x)1＝f(x)，fn+1＝f（f(x)），n∈N*，則猜想f2020(x)＝x1n_____.14．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術，得訣自詡無所阻，額上紋起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：2233445522334455……則按照以上規(guī)律，若338815152424，，，n，具有“穿墻術”，則_____．12345得分甲乙丙432則甲同學答錯的題目的題號是__________．ABCS116．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為S，則2S11，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體PABCS4V1的內(nèi)切球體積為，外2VV接球體積為，則2____.12V17．甲、乙、丙、丁四人分別去買體育彩票各一張，恰有一人中獎．他們的對話如下，甲說：“我沒中獎”；乙說：“我也沒中獎，丙中獎了”；丙說：“我和丁都沒中獎”；丁說：“乙說的是事實”．已知四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，由此可判斷中獎的是__________．18．如圖，將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)：陣n(n3)行的從左至右的第3個數(shù)是_____．根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)中陣第19．用數(shù)學歸納法證明某命題時，左式為（n為正偶數(shù)），從“n=2k”到“n=2k+2”左邊需增加的代數(shù)式為________.20．給出下列等式：；；由以上等式推出一個一般結(jié)論：對于=________________________．nn的前項和為，且對任意的正整數(shù)都滿足2nnS（1）求，S，的值，猜想的表達式；32S（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的的表達式的正確性．n（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無需給出證明）（2）著的名畢達哥拉斯學派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當n≥2時，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學歸納法加以證明..nS4Sa22anNnnnaa0，n23．已知數(shù)列的前項和為，且滿足nn（1）計算a,a,a,a，根據(jù)計算結(jié)果猜想的表達式；an1234（2）用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.naS2na(n24．數(shù)列滿足）.Nnn（1）計算a,a,a,a1234，并由此猜想通項公式；an（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.25．觀察下列等式：11；2349；3456725；4567891049；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第nnN*個等式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.111,,26．已知數(shù)列122334nn11,,,，nS（1）先計算前幾項和S,S,S,并猜想前項和的表達式；n123S（2）用數(shù)學歸納法證明的表達式。n【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【分析】類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則AP（x﹣1，y﹣n2，z﹣3），利用平面法向量為（﹣1，﹣2，1），即可求得結(jié)論．【詳解】類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則AP（x﹣1，y﹣2，z﹣3）n∵平面法向量為（﹣1，﹣2，1），∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）＝0∴x+2y﹣z﹣2＝0，故選A．【點睛】本題考查了類比推理，考查了空間向量數(shù)量積的坐標運算，由于平面向量與空間向量的運算性質(zhì)相似，利用求平面曲線方程的辦法，構(gòu)造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平面方程的求解問題，于屬中檔題．2．C解析：C【詳解】由題觀察可發(fā)現(xiàn)，347,4711,71118，111829,182947，294776,4776123，即a10b10123,故選C.考點：觀察和歸納推理能力.3．A解析：A【解析】分析：由題意要保證三所學校的學生都看一場電影，則n2007，依次驗證即可得到答案.詳解：由題意要保證三所學校的學生都看一場電影，則n985101020192007，2當n2007時，則丙中學的學生2019人中分上、下場至少有12人在同一座位上；當n2008時，則丙中學的學生2019人中分上、下場至少有11人在同一座位上；當n2018時，則丙中學的學生2019人中分上、下場至少有1人在同一座位上；當n2019時，則甲乙丙中學的學生可以沒有人在同一座位上；n所以當有2007,2008,2009,,2018取法，即有12個取值，故選A.點睛：本題主要考查了適應應用問題，其中解答中正確理解題意，合理選擇方法是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與論證能力，試題屬于中檔試題.4．A解析：A【解析】分析：要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論及推理形式是否都正確，根據(jù)這幾個方面都正確，才能得到這個演繹推理正確．根據(jù)三段論進行判斷即可得到結(jié)論.0fxx，所以0是函數(shù)3的極值點.”中，fxxf'x0xfx0詳解：演繹推理““因為時，是的極值點，而對于函數(shù)3，f'000xfx的極值點，0大前提：f'x0時，f（x）x在兩側(cè)的符號如果不相反，則不是0故錯誤，故導致錯誤的原因是：大前提錯誤，故選：A．點睛：本題考查演繹推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題5．C解析：C【解析】分析：由題意結(jié)合所給數(shù)據(jù)的特征確定第九個數(shù)即可.詳解：觀察所給的數(shù)列可知，數(shù)列的特征為：a1,a3，aaan3，12nn2n1則aaa193150.978本題選擇C選項.解析：B點睛：在進行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．7．C解析：C【解析】∵大前提的形式：“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)”，不是全稱命題，∴不符合三段論推理形式，∴推理形式錯誤，故選C.8．B解析：B【解析】從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，1可得如下結(jié)論：正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體高的．4證明如下：球心到正四面體一個面的距離即球的半徑r，連接球心與正四面體的四個頂點．111把正四面體分成四個高為r的三棱錐，所以4×S?r=?S?h，r=h．33（其中S為正四面體一個面的面積，h為正四面體的高）故選B．4點睛：平面圖形類比空間圖形，二維類比三維得到類比平面幾何的結(jié)論，則正四面體的內(nèi)1切球半徑等于這個正四面體高的，證明方法是等積法（平面上等面積，空間等體積）．49．B解析：B【詳解】由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為22014，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：221，第2行的從右往左第一個數(shù)為：320，第3行的從右往左第一個數(shù)為：421，…n第行的從右往左第一個數(shù)為：(n1)2n2，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是201822015.10．C解析：C【解析】丙的年齡比語文老師大，則丙是數(shù)學老師或英語老師，不是語文老師；甲的年齡和英語老師不同，則甲是數(shù)學老師或語文老師，不是英語老師；選項B錯誤；英語老師的年齡比乙小，則乙是數(shù)學老師或語文老師，不是英語老師；選項D錯誤；選項A中，英語老師的年齡比乙大，選項A錯誤；據(jù)此可得：甲是語文老師、乙是數(shù)學老師、丙是英語老師.本題選擇C選項.11．C解析：C【詳解】若甲是獲獎的歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，與題意不符；若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，丙說真話，與題意不符；當丙是獲獎的歌手，甲、丙說了真話，乙、丁說了假話，與題意相符.故選C.點睛：本題主要考查的是簡單的合情推理題，解決本題的關鍵是假設甲、乙、丙、丁分別是獲獎歌手時的，甲乙丙丁說法的正確性即可.12．B解析：B【分析】數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論．【詳解】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故從右到左第1行的第一個數(shù)為：2×2﹣1，從右到左第2行的第一個數(shù)為：3×2，0從右到左第3行的第一個數(shù)為：4×2，1…從右到左第n行的第一個數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故答案為：B．【點睛】本題主要考查歸納與推理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.二、填空題13．【分析】先依次將前幾個函數(shù)求出來觀察其結(jié)構(gòu)即可猜想出【詳解】由題可知……可以猜想所以故答案為：【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的簡單應用考查數(shù)學猜想能力屬于基礎題2x2020解析：21x1.2020【分析】先依次將前幾個函數(shù)求出，來觀察其結(jié)構(gòu)，即可猜想出.【詳解】2x21xx121x1，由題可知，f(x)f(x)112x22x22x22x3x1221x1，x1f(x)ff(x)f2xx1211x122x2221x122x23x231x1，f(x)ff(x)f2221x122x1221x1323x22231x123x24x241x1，f(x)ff(x)f3231x123x1231x1424x241x124x25xf(x)ff(x)f4241x124x1241x1251x15……2nx2n1x1，可以猜想f(x)n22020x220201x1.所以f(x)20202x2020故答案為：21x1.2020【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的簡單應用，考查數(shù)學猜想能力，屬于基礎題.14．9999【解析】分析：觀察所告訴的式子找到其中的規(guī)律問題得以解決詳解：按照以上規(guī)律可得故答案為9999點睛：常見的歸納推理類型及相應方法常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)解析：9999【解析】分析：觀察所告訴的式子，找到其中的規(guī)律，問題得以解決.22334455，338815152424詳解：22334455，，，100100n按照以上規(guī)律100100n10019999.2，可得n故答案為9999.點睛：常見的歸納推理類型及相應方法常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．15．5【解析】根據(jù)表格得到甲同學答錯的是第五題乙同學答錯的是第三個和第五個丙同學答錯的是第一個三個五個故第五題的正確的答案為：A故答案為(1)5(2)A解析：5【解析】根據(jù)表格得到甲同學答錯的是第五題，乙同學答錯的是第三個和第五個，丙同學答錯的是第一個三個，五個．故第五題的正確的答案為：A．故答案為(1).5(2).A.16．【解析】設正四面體的棱長為高為四個面的面積為內(nèi)切球半徑為外接球半徑為則由得；由相似三角形的性質(zhì)可求得所以考點：類比推理幾何體的體積解析：127【解析】a的棱長為，高為，四個面的面積為，內(nèi)切球半徑為，外接球半r設正四面體ABCDhS11徑為，則由4SrSh，得r1haa；166R33443V12r11由相似三角形的性質(zhì)，可求得R6a，所以V1()().33R32742考點：類比推理，幾何體的體積.17．乙【解析】在甲乙丙丁四的人供詞不達意中可以看出乙丁兩的人觀點是一致的因此乙丁兩的人供詞應該是同真或同假(即都是真話或者都是假話不會出現(xiàn)一真一假的情況)；假設乙丁兩人說的是真話那么甲丙兩人說的是假話由解析：乙【解析】在甲、乙、丙、丁四的人供詞不達意中,可以看出乙、丁兩的人觀點是一致的,因此乙、丁兩人的供詞應該是同真或同假(即都是真話或者都是假話,不會出現(xiàn)一真一假的情況)；假設乙、丁兩人說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是中獎之人的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是中獎之人的結(jié)論；顯然這兩個結(jié)論是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話；由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是中獎之人，乙、丙、丁中有一人是中獎之人，由丁說假說，丙說真話，推出乙是中獎之人。故答案為乙?！窘馕觥?23...n1=n(n1)(n3)個數(shù)，所以第個數(shù)是n1試題分析：前行共有32nn1n2n6n2n623．故答案為．22考點：1、合情推理與演繹推理；2等差數(shù)列求和．19．（寫也給分）【解析】當n=2k時左式為當n=2k+2時左式為所以增加的代數(shù)式為11解析：2k12k2（寫也給分）【解析】11111當n=2k時，左式為1.2341112k12k,1111當n=2k+2時，左式為1.2342k12k2k12k211所以增加的代數(shù)式為2k12k2.20．1-【解析】解：根據(jù)已知的表達式可以觀察歸納得到=1-1解析：1-(n1)2n．【解析】解：根據(jù)已知的表達式可以觀察歸納得到=1-三、解答題21．（1）S1，S，S，Sn23234n1，nN*；（2）證明見解析．123n【分析】S1aSSnSnn1n2（1）時，可求出，時，利用可得到關于的遞推關系，即nn1SSn可求出S，的值，進而猜想出的表達式；32（2）根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟證明即可.【詳解】1（1）當n1時，S12S2，∴S2，1111Snn2S12SSS，∴n當時，，2Snnn1n1∴S，S32，4323猜想Snn1，nN*；n（2）下面用數(shù)學歸納法證明：①當n1時，S1n12，n12，猜想正確；1②假設時，猜想正確，即Skk1，nkk那么當nk1時，11k1S2kk1可得2Sk1k11，k即nk1時，猜想也成立．綜上可知，對任意的正整數(shù)，Snn1都成立．nn【點睛】本題考查數(shù)學猜想和數(shù)學歸納法的應用，屬于中檔題.a1a3，a7，a15，a2n1；（2）當2n5時，22．（1），1234nabab，證明見解析.nnn5：當時，nn【分析】（1）直接由題意求得a,a,a,a1234的值，并猜想出；an（2）求出a,a,a,a,a的值，b,b,b,b,bab，猜nn的值，可得當2n5時，1234512345ab，即2n1n2，然后利用數(shù)學歸納法證明即可.n5想：當時，nn【詳解】a1a3，a7，a15，（1）由題意得，，1234猜想：a2n1.na1a3，a7，a15，a31b1b4，b9，b16，（2），1，，12234534b25，5abab，即2nn則當2n5時，n5，猜想：當時，1n2，nnn下面利用數(shù)學歸納法證明：a31，b25，ab，結(jié)論成立；n5①當時，5555②假設nk(k5,kZ)時結(jié)論成立，即2k1k2，那么當nk1時，a2k112(2k1)12k21k2k21，k1而k5時，k(k2)0，即k2k，2所以a2k112(2k1)12k21k2k21k22k1(k1)2b，k1k1所以當nk1時，結(jié)論也成立.n5由①②可知，當時，結(jié)論成立.abab，即2nn綜上，當2n5時，【點睛】n5，當時，1n2.nnn本題考查了不完全歸納法，考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式，屬于中檔題.23．（1）a2，a4，a6，a8，猜想a2n.（2）證明見解析1234n【分析】(1)把n1,2,3,4分別代入4Sa22anN依次計算a,a,a,a，根據(jù)結(jié)果容易nnn1234an猜想的表達式；(2)按照用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，用上aSS1a2aa2a2k12k，對該式子朝著目標化簡整理即可.4k1k1kk1k【詳解】（1）解：當n=1時，4aa22aa2，，1111當n2時，4a4aa22aa4，，21222當n3時，4a4a4aa22a，a6，123333當n4時，4a4a4a4aa22aa8，，4123444a2n.n故猜想n1（2）證明：①當時，顯然成立nk②假設當時a2k，則當nk1時，kaSS1a2aa2a22k4k1k1kk1k1k1a2a4k4k224k1k1∴4aa22a4k24kk1k1k1∴a22a4kk10k1k1a2ka2k10即：k1k1∵a0，∴a2k1nk1時，結(jié)論成立.，即當nk1綜上所述，由①②可知a2n.n【點睛】（1）在利用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題時，一定要注意利用前面的nkk1時的假設，否則就是偽數(shù)學歸納法，是錯誤的.（2）看到Sf()n或f()a，要注意聯(lián)想到nnassn2,nN解題；中檔題.nnn124．（1）a1,a3,a,a，a2n1；（2）證明見解析.24871521234nn1【詳解】試題分析：（1）分別令n1,2,3,4，可求解a,a,a,aan的值，即可猜想通項公式；1234（2）利用數(shù)學歸納法證明.試題37152n1；（1）a1,a,a,a，由此猜想a2482n11234na11nkk1（2）證明：當時，，結(jié)論成立；假設（，且kN），結(jié)論成n12k1立，即a2k1k當nk+1（k1，且kN）時，aSS2k1a2ka2