2023高考數(shù)學一輪復習：三角函數(shù) 檢測試卷（培優(yōu)題）

2023年高考數(shù)學一輪復習測評卷

三角函數(shù)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.函數(shù)/(x)=siXn]+coXsW的最小正周期和最大值分別是()

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和啦D.6兀和2

2.把函數(shù)y=/(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，再把所得曲

線向右平移3?個單位長度，得到函數(shù)曠=5拘1％-7)的圖像，則/(x)=()

3.函數(shù)/(x)=cosx-cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

99

C.奇函數(shù)，最大值為qD.偶函數(shù)，最大值為三

8o

什八八esin8(1+sin26)

4.若tan8=-2,則——--------()

5.下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin[xq)單調(diào)遞增的區(qū)間是()

6.已知函數(shù)/(x)=2cos(0x+9)3>>O,O<e<7r)的圖象關(guān)于原點對稱，且在區(qū)間

-y,—上是減函數(shù)，若函數(shù)/(x)在［0,句上的圖象與直線>=-2有且僅有一個交點,

則。的最大值為()

431

3432

7.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說.“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔

離分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征已

知函數(shù)/(X)在一不乃的大致圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)的解析式可能為()

A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|-sinx

C./(x)=ln|x|+cosxD.〃x)=ln|x|+sinx

8.函數(shù)/(x)=2sin3x+0)3>>O,O<°<%)的圖象如圖，把函數(shù)/(x)的圖象上所有

的點向右平移:個單位長度，可得到函數(shù)y=g(x)的圖象，下列結(jié)論中：

①夕=亨；②函數(shù)g(x)的最小正周期為萬；

③函數(shù)g(x)在區(qū)間-g氣上單調(diào)遞增；④函數(shù)g(x)關(guān)于點(-中心對稱

其中正確結(jié)論的個數(shù)是().

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下圖是函數(shù)產(chǎn)sin（Gx+g）的部分圖像，則sin（5+p）=（）

7X兀7U3兀

A.sin（x+—）B.sin（--2x）C.cos（2x+y）D.cos（--2x）

10.筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用

（圖1）,明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.

圖1圖2

現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，簡車的軸心距離水面的高度為2

米，設(shè)簡車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛

水筒尸剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過1秒后，下列命題正確的是（）（參考數(shù)據(jù):

cos48°?—)

A.d=2-3sin（*r+eJ,其中sin6=g,且

B.d=2+3sinf—,其中sin0=2,且Oej。,生

k30）3\2

C.當f~38時，盛水筒P再次進入水中

D.當/々22時，盛水筒尸到達最高點

11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到

使用.如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心。距離水面

的高度為2米.設(shè)筒車上的某個盛水筒尸到水面的距離為4（單位：m）（在水面下則〃為

負數(shù)），若以盛水筒尸剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間，（單位：S）之間的關(guān)系

為4=Asin(of+9)+K(A>0,69>0?—■—<(p.則以下說法正確的有()

71

A.K=2B.co=—

20

IT40

C.0=-D.盛水筒出水后到達最高點的最小時間為一S

63

12.定義在實數(shù)集R的函數(shù)/(x)=Acos3x+o)(A>0,ty>0,0<°<乃)的圖象的一個

最高點為(-2,3),與之相鄰的一個對稱中心為《可，將“X)的圖象向右平移;個單

位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.J(x)的振幅為3

B./(X)的頻率為萬

5TT7T

c.g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-J，萬

D.g(x)在0,|上只有一個零點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若點P(cose,sin。)與點Q(cos(0+2),sin(，+9))關(guān)于丁軸對稱，寫出一個符合題意的6=

14.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧

AB所在圓的圓心，4是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線8c的切點，四邊

3

形￡>ErG為矩形，BC1DG,垂足為C,tan/ODC==，BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直線￡>E和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2

15.在AA6c'中，角A,B,C的對邊分別為“，b，c.已知

2(tanA+tanB)=螞4+咽0,則cosC的最小值為

cosBcosA

16.已知函數(shù)/(x)=sin(x+tJ+26+—6在［0,團］上恰有10個零點，則

m的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+cosx(xeR).

(I)求函數(shù)y=+的最小正周期；

jr

H在0,—上的最大值.

18.(2021?重慶高三模擬)已知函數(shù)/(x)=(sinx+cosx)-+6-2Gcos2x(xeR).

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若AABC的外接圓的直徑為28，且銳角A滿足/(A)=l+g,求AABC面積的

最大值.

19.（2021.上海高三三模）如圖，某機械廠要將長6m,寬2m的長方形鐵皮4BCO進行

剪裁，己知點尸為AD的中點，點E在邊上，剪裁時先將四邊形COKE沿直線打翻

折到MNFE處（點C、D分別落在直線BC下方點M、N處,FN交邊BC于點、尸）再沿直

線PE剪裁，若設(shè)NEFP=6.

（1）試用。表示PF的長，并求出。的取值范圍；

（2）若使剪裁得到的四邊形MNPE面積最大，請給出剪裁方案，并說明理由.

20.（2021?重慶高三模擬）如圖，某市一學校H位于該市火車站O北偏東45。方向，且OH

=472km,已知OM,ON是經(jīng)過火車站O的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧

C。都是學校道路，其中CE〃OM,DF//ON,以學校，為圓心，半徑為2km的四分之一圓

弧分別與CE,力尸相切于點C,D當?shù)卣顿Y開發(fā)AAOB區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟，其中A,B分

別在公路OM,ON上,且AB與圓弧CD相切，設(shè)△AOB的面積為Skm?.

TVF

oAM

(1)求S關(guān)于6的函數(shù)解析式；

(2)當。為何值時，AAOB面積S為最小，政府投資最低？

21.(2021.浙江高三模擬)已知函數(shù)〃x)=2sin((yx+3)-1<0<3,附<色的圖象經(jīng)

過點

(1)求/(x)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移。個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖

象,若g(x)為奇函數(shù)，且/'(a-。)=三,外，求cos2a的值.

22.已知。￡（0,耳）且滿足：sin+sin（^4-^-）=~~~~,

TF

⑴求cos（26+一）的值;

3

/(x)=sinxcos(^+—)+cosxsin(^+—)\_[0,—]

(2)已知函數(shù)66，若方程,I刃—a在區(qū)間2內(nèi)

有兩個不同的解，求實數(shù)”的取值范圍.

答案及解析

1.【答案】C

2P

【解析】由題，/(A：)=V2sinf|+^L所以的最小正周期為，=T=6P,最大

值為0.

2.【答案】B

【解析】解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的g■倍，縱坐標不變,

77

得到y(tǒng)=/(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移;個單位長度，應當?shù)玫?/p>

y=f的圖象，

根據(jù)己知得到了函數(shù)y=sin[x-()的圖象，所以—=sinx-^-

t兀ret7t

，則x=一+—,%——=—+—,

234212

所以/?)=sin.所以/(x)=sin：+工

解法二:由已知的函數(shù)y=sin

第一步：向左平移g個單位長度，得到y(tǒng)=sin[x+2_7j=sin[x+i^j的圖象,

第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到，=5皿（楙+1）的

圖象，

即為y=/（x）的圖象，所以/（x）=sin]＞總.

3.【答案】D

【解析】由題意，/（一%）=85（—%）-以九（一2%）=85%一852刀=1/'（工），所以該函數(shù)為

偶函數(shù)，

1V9

乂/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2COSX——+一，

4J8

19

所以當cosx=—時?，f（x）取最大值"

48

4.【答案】C

【解析】將式子進行齊次化處理得:

sin^(1+sin2^)sin6僅in*6+cos?6+2sin8cose)

=sine(sin6+cos。)

sinS+cos。sin6+cos6

_sin6>(sin6>+cos6,)_tai?6+tan6_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

5.【答案】A

f7171\/\

【解析】因為函數(shù)丁=5皿》的單調(diào)遞增區(qū)間為2匕r—萬,2而'+5962）,

71,_.7C7C--7C/.—\

對于函數(shù)/(x)=7sinX--,由2%萬—~<cx—v2攵乃+,(左￡Z),

解得2攵萬一(<x<2ATT+^(ZeZ),

取攵=0,

,A選項滿足條件，B不滿足條件;

取攵=1,

率2+5TT84

T5T,CD選項均不

滿足條件.

6.【答案】B

TT

【解析】/（X）=2COS3>X+8）（0〉O,O<0<;T）的圖象關(guān)于原點對稱，，夕=1,

冗

即/（x）=2cos（69x+—）=-2sineyx,

42兀j［27r

因為/'（X）區(qū)間一,，7上是減函數(shù)，所以y=2sinox在一,，一三是增函數(shù)，

,—,7C.7C.—..2k兀7T2kjvTC.—

令2Zzr--VcoxW2k兀H—,keZ,解倚----------<xW-----1---,kGZ>

2269269CD260

7124

又一萬■，一三足y=2sin&x含原點的增區(qū)間，所以令z=0，

兀71

則—所以|?2°,又勿>0,則解得0<@，3,

2（o2<v2萬萬4

.T"2co

???/（X）在［0,句上的圖象與直線y=-2有且僅有一個交點，

即f（x）在［0,4］上僅有一個最小值，所以y=2sins在［0,7t\僅有一個最大值,

JTJT2k.冗

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令Sx=—+?k冗,keZ,即五二一+——、keZ,

22coea

JTI

所以有Oil}—乃，解得④..一,

2G2

i33

綜上可得一效必一，即&的最大值為一.

244

7.【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可得其對應的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而A,C中的函數(shù)為偶函數(shù)，故

排除A,C.

設(shè)題干中函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標分別為冷吃,且為＜0(尤2,且歸|＜馬.

對于B,令/(x)=ln|x|—sinx=o,即ln|x|=sinx,作出y=ln|x|和y=sinx的函數(shù)圖

象，如圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=ln|x|—sinx的圖象與％軸交點的橫坐標滿足藥＜0＜x2,目」即＜%,

符合題意；

對D,令/(x)=ln|x|+sinx=0,即In|x|=-sinx,作出y=ln國和y=-sinx的函數(shù)

圖象，如圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=ln|x|+sinx的圖象與x軸交點的橫坐標滿足再＜0＜々，且岡＞%2,

故D不符合題意.

8.【答案】C

【解析】解：由圖可知：3聲’

124

117T2乃11萬

「?---<—<----，

1209

,1824

即--<69<----，

1111

乂?//⑼=2sin0=百,0<°<"，

271

由圖可知：9=—,

3

又...據(jù)"=2s嗯萬啰+“=2,

11萬,

/.71(0+°=7+2k兀,kGZ,

「11}

且祇°$-，萬，

71T2I—2z2)

??倍吁)哈"

故人=1,

,2K,1111萬，解得：0=2,滿足條件,

\(P=---時，---7VC0=-

312(5

/./(x)=2sin(2x+1),

故g(無)=2sin2卜一看V—>l=2sinf2%+-\

)3)13)

對①，由上述可知①錯誤;

對②，?.?g(x)=2sin(2小-0

??.g(x)的最小正周期為彳=萬,故②正確:

')I

對③，令2k兀-----<2x+-<2k7r+—,keZ,

232

37rTC

即kTi-----<x<k7i-\-----,keZ,

1212

5兀jr7Tjr57r7T

令人=(),此時單調(diào)遞增區(qū)間為一不7,不'且一W‘lT~一"有"，77'故③正確;

L4JL乙J,1乙L4JL乙

一2,()不是對稱中心，故④錯誤;

9.【答案】BC

T27t7T27r27r

【解析】由函數(shù)圖像可知：一=一左一一=-則。=一二一=2,所以不選A,

2362T71

271

—7t-\---1c5萬37r

當T_36_5%時,y-—12x]2+cp=j-+2Z;r(ZeZ),

212

2/、

解得：9=2攵乃+eZ),

即函數(shù)的解析式為:

(2

y=sin2x+一乃+2攵?

I3

(八乃)>5冗乃八、

injcos2x4———cos(------2x)

l6J6

10.【答案】BD

【解析】

由題意知，如上圖，若。為筒乍的軸心的位置，AC為水面，P為筒車經(jīng)過f秒后的位置,

筒車的角速度0=22—71Is,令sin?OACsinq=^2且。e(o,5J,

60303

sinP=sin0--=器，故OB=0P?sin(q

,而1=2-OB，

：.d=2-3sin(q-4)=2+3sin(々-q),故A錯誤，B正確;

當X8時，翳180?48?,且sin48”避cas6=^~，

33

!,故盛水筒沒有進入

：.d=2-3sin(48?q)=2-3(sin48?cosqcos48?sinq)P

水中，C錯誤;

當fa22時，過

90?42?,asin42!=cos480?-,即。a42°,

303

：.d=2+3cos(42?q)=2+3cos0?5,故盛水筒尸到達最高點，D正確.

II.【答案】ABD

【解析】解：???筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，，丁二色二縱),

1.5

則(0=—=—,故B正確;

4020

4+2+2-4

振幅A為筒車的半徑，即4=4,K=--------------=2,故A正確;

2

由題意，/=0時，d=0,：.0=4sin(p+2,即s山*=-萬

冗冗冗

—＜(P＜一,?,*(p——,故C錯誤：

226

d=4sin—t----+2,

(206)

L四,人.(九).(717ry

由d=6,得6=4sin——t——+2".sin~—t——=1t,

(2()6J(2()6)

7171Tl40

:,—t一一=一+2%〃，ZEZ,得￡=一+40匕keZ.

20623

40

.?.當k=0時，/取最小值為不(s),故D正確.

12.【答案】AD

TTTTTTV27r

【解析】由題意，可得一=2—(一乙)=々，所以T=萬，可得w=2=2,

46124T

所以/(x)=3cos(2x+0),所以函數(shù)Ax)的振幅為3,故A正確；

111

函數(shù)/(x)的頻率為了=互=彳，故B錯誤；

T

TTJiTT

因為/(—上)=3cos[2x(—&)+如=3,所以＜p—%=2k兀,keZ,

TT7T

因為0＜夕＜乃，所以°二一,即/(x)=3cos(2x+—),

66

所以g(%)=3cos[2(以一令+自=3cos(2x--),

Ji57r7t

令一4+2攵4421WZkTjkcZ,可得----＜x＜一+k兀,kGZ,

61212

5TT7T

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-五+6?，/+hr]次eZ,而選項C只是其中一個單調(diào)遞

增區(qū)間，故C錯誤；

由2x-代=2+女%,，4eZ,解得x=1+wZ,

623

所以函數(shù)g(x)在0,y上只有一個零點.

故選：AD

13.【答案】2(滿足即可)

1212

【解析】：P(cos6,sin。)與Qcos0+—,sin0+—|關(guān)于y軸對稱,

I16JI6〃

TT

即ae+二關(guān)于y軸對稱，

6

TT

。+—+。="+2ki,keZ,

6

57r

則0=k"-----,kGZ,

12

57r

當我二0時，可取。的一個值為一.

12

故答案為：—（滿足6=A:乃+2/eZ即可）.

1212

14.【答案】4H—71

2

【解析】設(shè)O8=OA=r,由題意AM=AN=7,防=12,所以NF=5,

因為AP=5,所以ZAGP=45°，

因為BH//DG,所以乙4”。=45°，

因為AG與圓弧A6相切于A點，所以。AJ_AG,

即△Q4”為等腰直角一角形；

在直角△。?！?gt;中，。。=5—當廠，D0=7-—r.

因為tanNOOC=盥=：,所以21_述r=25_域「，

DQ522

解得r=2V2：

等腰直角△OAH的面積為H=L20x2遮=4：

2

扇形408的面積52=9言乂倒a)2=3萬，

157r

所以陰影部分的面積為E+52—萬乃=4+萬.

故答案為：4H-----.

2

6【答案】1

JsinAsinBsinAsinB

【解析】解:由題意可知,2-------+--------

\cosAcosBcosAcosBcosAcosB

化簡得2sin(A+3)=sinA+sin5,

所以2sinC=sinA+sinB.

b

根據(jù)正弦定理：三士，可得2。=。+〃①.

sinAsin4smC

coscJ+'ic，,由①可得/=J_(a+b)2,

lab4'7

3232ab

所％。上「=|￡M.2磊

H一15

當q=2時，等號成立.所以cos。的最小值為L.

ba2

故答案為：—?

2

X兀)石.兀

273sin2—I-----5/3=sinxH—十-y/3

1212；I6j

/(x)=0<=>2sin0,

???/(x)在［0,〃H上恰有10個零點,

=0在［0,m］上恰有10個解,

.八兀1八A7JZR557c61兀

??9JI?m—<1OTI,解得---加<----，

66996

故答案為:

17.【答案】(1)乃；(2)1+立

2

7C\

【解析】(1)由輔助角公式得/(x)=sinx+cosx=J5sinX+1J，則

V2sinx+—=2sin2x+——=l-cos2x+--二1-sin2x

<4>I4JI2)

2萬

所以該函數(shù)的最小正周期7-M

(乃、

(2)由題意,y=f(x)f尤一=V2sinx+—■V2sinx=2sinx+—sinx

I4；I4J

=2sinx-——sinx+--cosx=V2sin2x+V2sinxcosx

I22J

rrl-cos2xV2._V2.A/2吟夜

—>/2------------1-----sin2x——sin2x-------cos2xH-------sin2x----d-------,

22222<4j2

八乃一c兀冗37c

由0,--可得--,

2J4[_44」

所以當即》=藝時，函數(shù)取最大值1+也.

4282

18.【答案】⑴\--Jr-kTC,—+kK|,kwZ；(2)最大值為2G.

<1212)4

【解析】解：(1)

/(x)=l+sin2x+V3-2^3x1+>入=sin2x-y/3cos2x+1=2sin—+1，令

--+2kn<2x--<-+2kn,解得單調(diào)遞增區(qū)間為(一二+%肛棄+匕],ZwZ：

232I1212J

(2)/(A)=2sin(2A-()+l=6+l,解得4=?.

又令外接圓半徑為R，則2/?=26，所以R=石.

所以6c=(2/?sin8)(2RsinC)=12sinBsinC=12x；[cos(8-C)-cos(B+0],又

2

因為3+C=—71,

3

（27r、17T

所以Z?c=6cos2B----d■—V9（當且僅當B=—）

LI3J2」3

所以SA>1/jc=1人csinA=-^-bc<—y/3，所以面積最大值為2G.

△ABC24474

19.【答案】（1）PF=-4；7（（）<e<W］；（2）當NEEP=工時，沿直線PE剪裁,

sin2外2）2

四邊形跖VPE面積最大，最大值為6-26m2,理由見解析.

【解析】（1）因為NEEP=8,凡翻折的對稱性可知NEED="

又根據(jù)4D//8C,所以NEEP=6,則PF=PE.

故NFPE=?！?6,

又因為NFi/ME,所以NFPE=NPEM=兀-26，

22

又M7V=2,所以刊——=—7^，

sin（4一2，）sin26^

TT

又點C、O分別落在直線BC下方點M、N處，所以0＜。＜一，

2

所以"焉［j<3

2

（2）由（1）知，PF=.—Q<0<^\,則PN=3———

sin2〃sin20

ME=PN+———=3——-------=3—2Q+C°S20）

tan（i-2。）sin20tan20sin20

c4cos20_2cos。

=3------------3--------,

2sin。cos。sin。

所以四邊形MNPE面積為S=6-4+220

sin20

令」=4+2c°s2"=」§山26一2（；0§2夕=4=＞J7+4sin（26一0）=4,

sin2。

所以4￡[-V『+4,J『+4],解得（舍負），

當且僅當。=?時；四邊形MNPE面積有最大值6-26m2.

20.【答案】（1）s=2[2（smd+cose）—l]，，.。二]；（2）6=三.

sinOcos。v2J4

【解析】解：（1）以點O為坐標原點建立如圖直角坐標系，則“（4,4）,

在府AABO中，設(shè)AB=/,又乙OAB=e，故04=/cos9,OB=/sine,

X

所以直線A3的方程為+」=1,即xsin^+ycos^-/sin^cos^=0,

/cos。/sin。

因為直線43與圓〃相切，所以〃到直線的距離等于半徑2,即

14sin+4cos0-l^mOcos6\

二2①,

7sin2^+cos26

又點H在直線AB的上方,故4sin在+4cose-/sm68s6>0,

所以①式可化簡為4sin6+4cos8—/sin夕cos9=2,即/=4(sin"+c°s")2

sincos

MOA4(sin^+cos^)-24(sine+cos6)-2

,0B

sin。cos。

14(sin6+cos6)-24(sin^+cos^)-2

所以△A08的面積為S=-OAOB=-X-----------------------X-----------------------

22sin。cos。

2[2(sin6+cos。)-1了

sincosa"f;

2[2(sin3+cos一1]

即S關(guān)于。的函數(shù)解析式為s，匹!0,3

singcosB

(e+沙iw(i,2痣-1],

(2)令/=2(sin8+cose)-l,0&0,1,則f=2夜sin

n?八八廠+2t—3i、]S=—=J，—,te(l,2V2-ll

且sin6cose=------------,所以/+2/-33^2^/V」,

8------------------7H----r1

8rt

\

令機逑里，13i

.分母2;+g,其中

J+—+1=-3m+2m+1=-3m--

77I3

述把>1,所以帆=