二次根式復(fù)習(xí)專題講義補(bǔ)課用

aba、11aba、11二次根式習(xí)專題講義一、二次式的概念：二次根式形如（a≥0的式子叫做次根式稱為二次號(hào)。①式子中，被開(kāi)方數(shù)式)必須大于等于零

”②

（0是一個(gè)負(fù)數(shù)。③（）a（a≥；

a

（a）2.二根式的乘：①一般的，有

a·b≥，b≥）②反過(guò)來(lái)，有

＝×

b

(≥0，b≥0)二次根式的：①般地，對(duì)次根式的除法定：

=

（a≥，b>0，②反過(guò)來(lái)，

=

（≥0，4.二次根式的加減法則：二次根式減時(shí)，可以將二次根式化最簡(jiǎn)二次根式，再將開(kāi)方數(shù)相同二次根式進(jìn)行并。典型例題析：例1.下列子哪些是二次式哪些不是次根式：3

、、（、42-、、x（x0，y≥．111312x111312x分析次根式應(yīng)足兩個(gè)條件第一二次根；第二，被方數(shù)是正數(shù)。解：二次根式有：

、x（、-2、

（≥0，≥不是二次根的有：

3

、、

2

、。x例當(dāng)x是多少時(shí)，

x

+

1

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有意義？分析：要使

x

+

1

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有意義，須同時(shí)滿足

x

中的≥和中x+1．解：依題意，得3由①得：x-2由②得：x-1

2x0x當(dāng)

x-且2

x-1，

x

+

1

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有意義。變式題1：當(dāng)x是多少時(shí)，

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有意義？分析：由二根式的定義可，被開(kāi)方數(shù)定要大于或等于，所以≥，

才能有意．解：由≥0得：x

13當(dāng)≥時(shí)3

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有意義．變式題2：①當(dāng)是少時(shí)，意義？

2xx

在實(shí)數(shù)范內(nèi)有解：依題意得：，x

3233）=(733）=(7∴當(dāng)且≠時(shí)，2

2xx

＋x在實(shí)數(shù)范圍沒(méi)有意義。②若

3+有意義，則

=_______③使式子

有意義的知數(shù)

x有（）個(gè)。例①已知

2+x+5，求

的值．(案

25

)②若+=0，求a+b的值．答案:2)③已知

xx，求的答案81例計(jì)算1（

32

）

2（3

）

3（

5

）

4（

7

）

62分析：們可以直接利（

）=a（a≥）的結(jié)論解題．解

32

）=5）2

（

）

·，（

5562

）=．2例計(jì)算1（

）

（≥）

2（

a

）

3（

aa

）

4（

4xx

）

分析因?yàn)閤0所以x+1>0（）≥03a+2a+1=）≥0；（）-12x+9=（2x··=）0．2222所以上面4題都可運(yùn)用（論解題．

）（a）的重要結(jié)解1因?yàn)閤≥，所以x+1>0（

）

（）∵≥，∴（a）（）∵a+1）

又（a+1）≥∴+2a+1≥0∴

a

2

a

（）∵4x-12x+9=2x-2·（2x-3）又∵（2x-3）

∴-12x+9，∴（

4

2

x

）

=4x-12x+9變式題：計(jì)算（3

）

(232)(2例在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（）（）x-4例7.化簡(jiǎn)

(3)-3（）

9

（）

(

（3）

25

（）

(

分析：為（1（）=43），（4-3），所都可運(yùn)用

a≥）?化簡(jiǎn)。解1

9

=

（）

(

=

（）

25

=

（）

(

=

例8.填空當(dāng)≥0，

；當(dāng)a<0時(shí)

=_______并據(jù)這一性質(zhì)回答列問(wèn)題．若若

，則a可以是什么數(shù)？=-a則a可是什么數(shù)（）

則以是什數(shù)？分析：∵

（a0，∴要第一個(gè)空格可根據(jù)這個(gè)結(jié)論，二空格就不，應(yīng)變形，使（）中的數(shù)是正數(shù)，因，當(dāng)≤時(shí)，

=

()

，那么-a≥0．（1）據(jù)結(jié)論求條（）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想）根據(jù)（1（2）可知

=a│，而││要大于a只有什么時(shí)候能保證呢？a<0．解）因?yàn)?/p>

，所以a；（2）因?yàn)?/p>

=-a所以a≤；（3）因?yàn)楫?dāng)a0

=a，使

>a，即使所以不存在；a<0，

=-a，使

>a，即使-a>aa<0綜上，a<0例當(dāng)x>2化簡(jiǎn)

(

-

x)

．例10．先化簡(jiǎn)再求值當(dāng)a=9時(shí)，求a+

的值，甲乙兩人解答如下：甲的解答：原式=

(1

=a+（）=1；乙的解答：原式=

(1

=a+（）=2a-1=1．兩種解答，的答是錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因__________．變式題1若│995-a│+

a

，求

a1995的值．（提示：由a-200≥0判斷5-a?值是正數(shù)還負(fù)數(shù)，去絕對(duì)值）變式題2若-3≤x≤2時(shí)試化簡(jiǎn)│x-2│

(3)

+

2

。（答案：10-x)例．計(jì)算（）

5

×

7

（）

×

9

（3）×

27

（）

×

6分析：直利用

a

·＝ab（a≥0≥）計(jì)算即可．解1

5

×

35（）

×9=（）

9

×27=

2793（）

×

6

=

例12.化簡(jiǎn)（）

9

（）

（）

81（）

x

（）

54分析：利用

ab

=·（ab≥）直接化簡(jiǎn)即．解1

99

×=3×4=12（）

16=×=4×9=36（）

81=81

×

×（）

x

=

×

=

2

×

x

×

=3xy（）

54=

3

×

6

6例13.判斷下列各式是否確不正確的請(qǐng)予改正：（）

(（）

×

25

×

1225

×25=4

1225

×25=4=83解1不正確改正：

(=4×9=2×3=6（）不正確．改正：

×

25

=

×25===16＝7變式題1直角三角形兩條角邊的邊長(zhǎng)分為

15

cm和

，?那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是（．變式題化簡(jiǎn)

的結(jié)果是變式題3：

1014

=_______

√169×6變式題4一個(gè)底面為×長(zhǎng)方體玻容器中裝滿水，?現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為鐵桶中，鐵桶裝滿水，容器中的水下降了20cm，桶的底面長(zhǎng)是多少厘？設(shè)：底面方形鐵桶的面邊長(zhǎng)為x則××20，x×30×，======

30×=30．變式題5：探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．（）

=

驗(yàn)證：2

=

2

×

=

23

=

23(233=

23

2)222121

=

（）

=

驗(yàn)證：3

=

×=

8

=

332=

23(333323328同理可得

5

52424

，……通過(guò)上述究你能猜測(cè)：并驗(yàn)證你結(jié)論．

2

（a>0）,解：

=

驗(yàn)證：

2

=

a

2

aa3a=

a

3a22

2

2a2aa例14．計(jì)：====（）

123

（）

（3）

1

（4）

648分析：面4小題利用

a

=

（≥，便可直接b

得出答案解1

123

=

=（）

=

18

=

3

×

3（）

=

14164

（）

64648

=

8=22例15．化：（）

64

（）

292

（）

964

2

（）

5y

2分析：接利用

=

（a≥，就可以達(dá)到化之目的．解）

64

=

33648（）

292

=

292

（）

964y

2

=

9xy

2

38y（）

5y

2

=

5x169

2

5x13y例16知

9xx

為偶數(shù)（1+x）

2

x2，即，，即，的值．分析：子

=

a

，只有≥，時(shí)才能成立．

b因此得到9-x且x-6>0即6<x≤9又因?yàn)閤為偶數(shù)所以．解：由題意得∴6<x9∵為偶數(shù)∴x=8

xx∴原式=1+x）

((x=）=）

x(x

=

x4)∴當(dāng)，原式的值=

4

．變式題計(jì)算

221

的結(jié)果是

變式題閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：12533數(shù)學(xué)上將種把分母的號(hào)去掉的過(guò)程作“分母有理化那么，化簡(jiǎn)

26

的結(jié)果是變式題已知，y=4那么

yzxy

的最后結(jié)2=-2=-是．變式題有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比

3

：1，?現(xiàn)用直徑為

3

cm

的一種圓做原料加工這種梁，那么加后的房染的最截面積是多？解：設(shè)：矩形房的寬為xcm則長(zhǎng)為意，

3

xcm，依題得

3

x）

（3

）

2，4x=9×15

32

15

（cm，3

xx=

3

x

1354

3

（變式題計(jì)算（1）

1

3

）÷

（，）m2m

3

3

m

3（2）-3

3

2

2

÷（

m

）×

a

2

（a>0）2a

2

解）原式＝

nm

n42m

5

÷

m

3

=-

n2m22

3=-

nnnnn222m2m

n（2）原式=-2

3(m)a222mnm

=-2

32

2

=-

6

a例17.把它們化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)

;(2)

y4

;(3)

x2y點(diǎn)評(píng)：二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：1．被方數(shù)不含分；1+1+2．被方數(shù)中不含能得盡方的因或因式．我們把滿上述兩個(gè)條的二次根式，叫做簡(jiǎn)二次根式．例18.如圖，在△ABC中∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長(zhǎng)．AB解：因?yàn)锳B

C所以AB=

2.5

=

516916913()362

=6.5cm）因此AB的長(zhǎng)為6.5cm．例19.觀察下列各式，通過(guò)分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的成最簡(jiǎn)二次式：

=

12(2

=

-1，13

=

32)3(32)(32)

=

3

-

，同理可得=4

-，……從計(jì)算結(jié)中找出規(guī)律并利用這一規(guī)計(jì)算（

112

+

14

+……

120022001

2002

+1）的值．分析：由題意知，本題所的是一組分母理化的式20022001200222002200120022子，因此分母有理化就可以達(dá)到化的目的．（

解：原式（+1）2002

-1+-+-+…+-）×=（

2002

-1）=2002-1=2001練習(xí)：一、選擇1．如果

（是二次根式，么，化為最簡(jiǎn)次根式是（．A．

（y>0B．

xy

（C．

xy

（）D．以都不對(duì)2（a-1）

中根號(hào)外（移入根號(hào)內(nèi)（．A．

a

B．

1

C．-

a

D．-

13在下列各式中化簡(jiǎn)正確的（）A．

15

．

=

C．

b

b

．

x4化簡(jiǎn)

27

的結(jié)果是）A．-

B．C．3

63

D．-

二、填空a22a221．化

422

=_________x≥0）2．a(chǎn)

2

化簡(jiǎn)二次式號(hào)后的結(jié)是．三、綜合高題1．已a(bǔ)實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)

3

-a

，閱讀下的解答過(guò)程，請(qǐng)斷是否正確若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出確的解答過(guò)程：解：

3

-a

=a

-a·

=（a-1

2．若、y為數(shù)，且y=

x

x

，求

xy

x的值．答案:一、1．C2．D二、1．x

2

2．-

三、1．不正確，正確解：因?yàn)?/p>

1a

，所以a<0，原

式＝

-a·

aa2

=·-a·

a2

=-a

+=(1-a)

2．∵

∴x-4=0∴2，但∵x+2≠∴x=2，y=

∴

yxx

2

.++28xx點(diǎn)評(píng)：5333205482053531++28xx點(diǎn)評(píng)：5333205482053531例20.計(jì)（1）

8

（2）

分析：第一步將不是最簡(jiǎn)次根式的項(xiàng)化最簡(jiǎn)二次根式；第步，將相同最簡(jiǎn)二次根式行合并．解）

+=2=2+3）=5（2）

+

64

=4+8

=（4+8

x二次根式減時(shí)，可以將二次根式化最簡(jiǎn)二次根式，?再將被開(kāi)方數(shù)同的二次根進(jìn)行合并．例21．計(jì)算（1）3

48

-9

+3

（2

48

+

20

）+（-）解）3

48

-9

+3

=12-3+6=（）3

=15

3（2+）+（-）=++-=4

3

+2+2-=6+例22．已知

4x+y，求（

9x

）-（x

-5x

）的值．

分析：本題首將已知等式行變形，把它成完全平方式，得2x-1）+（）=0，即x=y=3．其次，根據(jù)2二次根式加減運(yùn)算，把各項(xiàng)化成最二次根式，?合1+x11262、a0.21+x11262、a0.2并同類二根式，最后入求值．解：∵4x+y-4x-6y+10=0∵4-4x+1+y-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=32原式=

+y

-x

1

+5x

=2x

xxy

-x+5

xy=x

x

+6

xy當(dāng)x=，2

時(shí)，原式=×2

+6

=

24

+3

6練習(xí)：一、選擇1．以二次根式：①

；②；③

；④

27

中，與3

是同類二根式的是（．A．①②B．②和③C①和D．③和④2下列各式

3

+3=6

3

；②

17

7

=1；③

+==2；④

243

=2

，其中錯(cuò)的有（．A．3B．2個(gè)C．D．0二、填空1．在

875

、

、、

a

、、

中，803b35555xyxy803b35555xyxy與

3a

是同類二根式的有________．2．計(jì)算二次根式5

a

-3

b

-7

a

+9

b

的最后結(jié)是________．三、綜合高題1．已知

5

≈2.236，（-

）-（

+

45

）的值結(jié)果精確到0.01）2．先簡(jiǎn)，再求值．（6x

+

3

xy

）-（

+

xy

其中x=，y=27．2答案:一、1．C2．A二、1．

13

75

2a

2．6-2三、1．原式4

5

---=≈×2.236≈5550.452．原=6

xy

+3-4+6

√xy(3-4x/y)=12.5例．圖所示的Rt△ABC中，B=90，點(diǎn)點(diǎn)B始沿BA以米/?秒的速度向點(diǎn)A動(dòng)；同時(shí)，也從點(diǎn)B始BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移．問(wèn)：幾秒eq\o\ac(△,后)eq\o\ac(△,)PBQ面積為平方厘米？PQ的離是多少米？（結(jié)用最簡(jiǎn)二次式表示）11

分析設(shè)x后△的積為35平方厘米那么PB=x，BQ=2x?根據(jù)三角形面公式就可以出值．解：設(shè)x后△PBQ的面為35平厘米．則有PB=x，BQ=2x依題意，：x·2x=352xx=35所以

35

秒后△PBQ

的面積為35平方厘米．PQ=

PB

BQ

x

x

=5

7答：

35

秒后△PBQ

的面積為35平方厘米，PQ的距離為5

7

厘米．例23焊接如圖所示的架大約需要多少米鋼精確到）？分析：此框架是由ABBCBDAC成，所以要求鋼架的鋼材只需知道這四段的度．2m

4m

1m

54a54a解：由股定理，得AB=

22

=2

5BC=

2

2

2

=

5所需鋼材度為AB+BC+AC+BD=2=3

5

++7≈3×13.7（m）答：要焊一個(gè)如圖所的鋼架，大約要13.7m的鋼材．例．若最簡(jiǎn)根式3與根式

ab232

是同類二次根式求a、的值同類二次根式就是開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)次根式）分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被方數(shù)相同；事實(shí)上，根

ab232

不是最簡(jiǎn)二次根式因此把

2

3

2

化簡(jiǎn)成|b|

2

，才由同類二次式的定義得3a-?b=．解：首把根式

ab23b

化為最簡(jiǎn)次根式：ab

2

3

2

=

a6)

=|b|

2由題意得

b∴

3a∴，b=1練習(xí)：一、選擇1．已知直角角形的兩條直邊的長(zhǎng)分別5那么斜邊的應(yīng)為（?結(jié)用最簡(jiǎn)二次根）A．5

B．

50

C．2

5

D．以上都不對(duì)2．小想自己釘一個(gè)與寬分別為30cm長(zhǎng)方形的木，?為了增加其穩(wěn)性，他沿長(zhǎng)形的對(duì)角線又釘上了一木條，木條長(zhǎng)應(yīng)為（）米結(jié)果同最簡(jiǎn)二次根式表）A13

B．

1300

C10

D5

13二、填空1．某有一長(zhǎng)方形魚(yú)，已知魚(yú)塘長(zhǎng)是寬的2，它的面積16，魚(yú)塘的寬是_______m結(jié)果用最簡(jiǎn)二根式）2．已知等直角三角形的角邊的邊長(zhǎng)

?那么這個(gè)等腰直三角形的周是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根）三、綜合高題1．最簡(jiǎn)二次根式

與

2

是同類二根式，求m值．，22=，22=2同學(xué)們我們以前學(xué)過(guò)全平方公式2ab（a±b2你一定熟練掌了吧現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有正數(shù)（包括0都可以看作是一個(gè)的平方，如3=（

3

）

，5=（

5

）

，你知道誰(shuí)的二次根呢？下面我們觀察：（

-1）

=（

）

-2·1·

+

=2-2

+1=3-2

反之，

=2-2（-1）

∴

=（-1）∴

3

=

2

-1求

3

；（2）3（3）你會(huì)

；4

嗎？(

-（4）若

b

=

m

，則m、

與b關(guān)系是什么？并說(shuō)理由．答案:一、1．A2．C二、1．

2．2+2

三、1．題意，得

2

，

m2n3所以

2

或

m2n3

或

2

或

m2n21）

32

=

(

2

=

2

+1（2）

3(3

2

=

3

+1+）×6+）×=×+×246622575571077=2-+）×6+）×=×+×246622575571077=2-（3）

4

=

3)

=

3

-1（4）

mmn

理由：兩平方得a2

b

=m+n±2

所以

mbmn例25．計(jì)算:（1

6

（24

-3）÷

分析：剛才已分析，二次式仍然滿足整的運(yùn)算規(guī)律，?所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．解（

633=

+=3+2解3=2-32

6

-3

）÷2=4÷2-3÷2例26．計(jì)算（1

5

+63-）（2（

+（-）分析：剛才已分析，二次式的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法式運(yùn)算中仍成立．解1

5

+6）=3

5

-（）

+18-6

5=13-35（2=10-7=3

+（-）=（2

-（）例27．已知

xxab

，其中a、

是實(shí)數(shù)，a+b，+xx33030+xx33030化簡(jiǎn)

xx

+

xx

，并求值xx分析：由（

xxxx

-

），因此代數(shù)式的化簡(jiǎn)，先將分母有化，再通過(guò)解有字母系數(shù)一元一次方程到x的值，代入化得結(jié)果即可．解：原式=

(xx)

+

(xx)

(xx)(xx)(x)(xx)=

(xx)

2

+

(xx

2(x(x=（x+1+x-2

x(x

+x+2

x(x=4x+2∵

xa

=2-

xb∴b（）=2ab-ax-a∴bx-b=2ab-ax+a

∴（a+bx=a

∴（a+bx=a+b）

∵≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b）+2練習(xí)：一、選擇1

-3+2

）×

的值是（．A．

203

-3B．3-

3-x332與-x332與C．2

30

-

3

D．

203

32．計(jì)（

+（-）的值是A．2B3CD．1二、填空1（-+________．

32

）計(jì)算結(jié)果（最簡(jiǎn)根式表）是21-2

3

）-2-1

的計(jì)算結(jié)（用最簡(jiǎn)二次根式示）是_．3．若x=

-1，則

x2x+1=________．4．已a(bǔ)=3+2，，三、綜合高題

ab-ab．1．化

571415212．當(dāng)x=

1

時(shí)，求

x