整式的運(yùn)算小結(jié)與復(fù)習(xí)

第一章整式小結(jié)與復(fù)習(xí)顧躍進(jìn)考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1整式有關(guān)概念例1（2022年佛山市）多項(xiàng)式1+xy-xy2的次數(shù)及最高次項(xiàng)的系數(shù)分別是（）A．2，1B．2，-1C．3，-1D．5，-1分析：此多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)是-xy2，它的系數(shù)是-1，次數(shù)是3，所以此多項(xiàng)式次數(shù)也是3.解：選C.點(diǎn)評(píng):要理清多項(xiàng)式的次數(shù)的含義，且注意每一項(xiàng)的系數(shù)包括前面的符號(hào).考點(diǎn)2同類(lèi)項(xiàng)例2（2022年株洲市）在2x2y，-2xy2，3x2y，-xy四個(gè)代數(shù)式中，找出兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)，并合并這兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)．分析：同類(lèi)項(xiàng)的識(shí)別關(guān)鍵是抓好兩相同：一是字母相同，二是相同字母的指數(shù)相同.合并同類(lèi)項(xiàng)的方法是：相同的字母及相同字母上的指數(shù)不變，只把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加減.解析：同類(lèi)項(xiàng)是：2x2y，3x2y，合并同類(lèi)項(xiàng)得：5x2y.考點(diǎn)3去括號(hào)法則例3（2022年廣州市）下列運(yùn)算正確的是（）A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3分析：去括號(hào)時(shí)，要按照去括號(hào)法則，將括號(hào)前的－3與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)分別相乘.尤其需要注意，－3與－1相乘時(shí)，應(yīng)該是＋3而不是-3．解：選D.考點(diǎn)4冪的運(yùn)算例4（2022年濱州市)下列各式運(yùn)算正確的是( )+3a2=5a4 B.(2ab2)2=4a2b4 ÷a3=2a2 D.(a2)3=a5分析:A為合并同類(lèi)項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)字母及其指數(shù)不變，系數(shù)相加，結(jié)果應(yīng)為5a2；B為積的乘方，結(jié)果為各因式乘方的積，B正確；C為同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是2a3；D為冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，結(jié)果應(yīng)為a6.故只有B正確.解：選B.考點(diǎn)5整式的加減例5（2022年鄂爾多斯市）把3+[3a－2(a－1)]化簡(jiǎn)得．分析：本題中有多重括號(hào)，處理這類(lèi)問(wèn)題的一般思路是先去小括號(hào)，再去中括號(hào).去括號(hào)時(shí)要注意，括號(hào)前面如果是“－”，去括號(hào)后的各項(xiàng)與原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)相反．解：3+[3a－2(a－1)]=3＋(3a－2a＋2)=a+5.考點(diǎn)6整式的乘法例6（2022年寧德市）化簡(jiǎn)：（a+2）（a-2）-a（a-1）.分析:（a+2）（a-2）滿(mǎn)足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可按照平方差公式進(jìn)行計(jì)算，-a（a＋1）可按照單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算．解：（a+2）（a-2）-a（a-1）=a2-4-a2+a=a-4．點(diǎn)評(píng):整式的運(yùn)算要按照先乘除，再加減的運(yùn)算順序進(jìn)行．兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，先考慮是否能用乘法公式，再考慮利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行．考點(diǎn)7整式的乘除混合運(yùn)算例7（2022年南寧市）先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a=2，b＝1．分析：（a＋b）（a－b）滿(mǎn)足平方差公式，可按照平方差公式進(jìn)行計(jì)算，(4ab3－8a2b2)÷4ab可按照多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算．解：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab＝a2－b2＋b2－2ab＝a2－2ab.當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，原式＝22－2×2×1＝4－4＝0．考點(diǎn)8閱讀理解例8（2022年佛山市）新知識(shí)一般有兩類(lèi)：第一類(lèi)是不依賴(lài)于其他知識(shí)的新知識(shí)，如“數(shù)”、“字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識(shí)；第二類(lèi)是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的知識(shí)，大多數(shù)知識(shí)是這樣的知識(shí).（1）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，是第幾類(lèi)知識(shí)？（2）在多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式之前，你已擁有的有關(guān)知識(shí)是哪些？（寫(xiě)出三條即可）（3）請(qǐng)你用已擁有的有關(guān)知識(shí)，通過(guò)數(shù)和形兩個(gè)方面說(shuō)明多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是如何獲得的.(用（a+b）（c+d）來(lái)說(shuō)明)解析：（1）因?yàn)槎囗?xiàng)式乘以多項(xiàng)式是在字母表示數(shù)和數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的，所以是第二類(lèi)知識(shí).（2）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（分配律），字母表示數(shù)，數(shù)可以表示線(xiàn)段的長(zhǎng)或圖形的面積，等.（3）用數(shù)來(lái)說(shuō)明：（a+b）（c+d）=（a+b）c+（a+b）d=ac+bc+ad+bd.用圖形來(lái)說(shuō)明：如右圖，邊長(zhǎng)為a+b和c+d的矩形，分割前后的面積相等，即（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd.誤區(qū)點(diǎn)撥一、概念不清致錯(cuò)例1分別指出單項(xiàng)式，-x2，b，-ab2c3的系數(shù)和次數(shù)．錯(cuò)解：的系數(shù)是1，次數(shù)是1；的系數(shù)是，次數(shù)是2；b的系數(shù)是0，次數(shù)是0；的系數(shù)是“”號(hào)，次數(shù)是3．剖析：解答錯(cuò)誤的原因是不理解什么是單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).單項(xiàng)式的系數(shù)是字母前面的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是字母的指數(shù)之和.當(dāng)系數(shù)和字母指數(shù)為1時(shí)，在代數(shù)式中常省略不寫(xiě)，因而誤認(rèn)為這時(shí)的系數(shù)和指數(shù)為0，同時(shí)要注意單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號(hào)．正解：的系數(shù)是，次數(shù)是2；的系數(shù)是，次數(shù)是2；b的系數(shù)是1，次數(shù)是1；-ab2c3的系數(shù)是-1，次數(shù)是6．二、逆用冪的運(yùn)算法則致錯(cuò)例2已知am=3，an=4，則a3m-2n的值為（）A．B．C．或D．不能確定錯(cuò)解：選D．剖析：錯(cuò)選D的實(shí)質(zhì)是不會(huì)靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)．本題可逆用同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則求解．正解：a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=33÷42=，故選A．三、錯(cuò)用多項(xiàng)式乘法法則例3計(jì)算：(1)(3a＋5b)(2a－4b)；(2)(x+3)(x－錯(cuò)解：(1)原式=6a2－20b2.(2)原式=x2－(3+6)x－18=x2－9x－18.剖析：(1)由于沒(méi)有掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，所以在兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘時(shí)，僅將第一個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)相乘，第二項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式的第二項(xiàng)相乘，這樣就漏掉了一些項(xiàng)．(2)含有一個(gè)相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，如果因式中一次項(xiàng)的系數(shù)都是1，則積的一次項(xiàng)系數(shù)等于兩因式中常數(shù)項(xiàng)的代數(shù)和．正解：(1)原式=6a2－12ab+10ab－20b2＝6a2－2ab－20b2.(2)原式=x2+（3-6）x－18=x2－3x－18.四、錯(cuò)用平方差公式例4運(yùn)用公式計(jì)算（-x-3y）（x-3y）．錯(cuò)解：原式=（-x）2-（3y）2=x2-9y2．剖析：利用公式（a+b）（a-b）=a2-b2計(jì)算一定要“對(duì)號(hào)入座”，即找準(zhǔn)公式中的a、b，這里的-3y相當(dāng)于公式中的a，而x則相當(dāng)于公式中的b．錯(cuò)解把a(bǔ)、b的位置顛倒了．正解：原式=（-3y-x）（-3y+x）=（-3y）2-x2=9y2-x2．五、錯(cuò)用完全平方公式例5利用乘法公式計(jì)算.錯(cuò)解：=2=102-2×10×+2=100++=.剖析：錯(cuò)誤原因是混淆了性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào).要知道乘法公式中的“+”與“－”號(hào)都是運(yùn)算符號(hào)，運(yùn)用公式(a-b)2=a2-2ab+b2計(jì)算時(shí)，b等于而不是－.正解：=2=102-2×10×+=+=.六、整式的除法常見(jiàn)錯(cuò)誤例6計(jì)算：(2a5－3a4－5a3)÷(－5a3)．錯(cuò)解：原式=．剖析：錯(cuò)解漏掉了被除式中的(－5a3)這一項(xiàng)．正解：原式=+1.同步復(fù)習(xí)方案基礎(chǔ)盤(pán)點(diǎn)1.下列說(shuō)法中正確的是（）A．不是整式的次數(shù)是4C．4ab與4xy是同類(lèi)項(xiàng)D.是單項(xiàng)式2.若0.5a2by與axb的和仍是單項(xiàng)式，則正確的是()=2，y=0 =－2，y=0=－2，y=1 =2，y=13.(3x+5y)·（）=9x2－25y2.4.若(2x－5)2=4x2＋kx＋25，那么k的值是.5.若a2＋b2＝5，ab＝2，則(a＋b)2＝．6.已知6am+5bm÷(-2abn)=-3a7b，求m、n的值.課堂檢測(cè)1.計(jì)算(-a)2·(a2)3·(-a)3，結(jié)果正確的是（）2.利用乘法公式計(jì)算正確的是（）A.(2x-3)2=4x2+12x-9B.(4x+1)2=16x2+8x+1C.(a+b)(a+b)=a2+b2D.(2m+3)(2m-3)=4m2-33.若(x-a)(x+b)=x2+Mx+N，則M、N分別為（）=b-a，N=-ab=b-a，N=ab=a-b，N=-ab=a+b，N=-ab4.觀察下列順序排列的等式（其中x≠0）：（1）計(jì)算：2x3÷x=______，4x4÷x2=______，6x5÷x3=________，8x6÷x4=_____；（2）試猜想第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）應(yīng)為_(kāi)_______.5.若a2＋a＝1，則-4a2-4a-5＝________．6.對(duì)于任意有理數(shù)a、b、c、d，我們規(guī)定a△b=（a+1）（1-b），計(jì)算（x-y）△（x+y）的值.7.數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：當(dāng)x=－時(shí)，求[（x+2）2+2（x+2）（x－2）－3（x+2）（x－3）]÷（x+2）的值.題目出完后，小敏說(shuō)老師給的條件x=－是多余的，你認(rèn)為小敏說(shuō)得正確嗎？為什么？8.已知x≠1，計(jì)算（1－x）（1+x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4.（1）觀察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______.（n為正整數(shù)）（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）.②2+22+23+…+2n（n為正整數(shù)）.③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）.（3）通過(guò)以上規(guī)律請(qǐng)你進(jìn)行計(jì)算下面的式子：①（a－b）（a+b）=_______.②（a－b）（a2+ab+b2）=______.③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______.跟蹤訓(xùn)練1.x是任意實(shí)數(shù)，則2|x|+x的值()A．大于零B．不大于零C．小于零D．不小于零2.如圖1，在天平的左盤(pán)里放著一個(gè)整式，請(qǐng)你在天平的右盤(pán)上放上一個(gè)整式，使天平保持平衡，右盤(pán)應(yīng)放（）D.4m+4n[（[（2m-n）2-（2m+n）2]÷2mn圖13.已知20222022－20222022＝2022x×2022×2022，那么x的值是()A．2022 B．2009 C．2022 D．20224.某同學(xué)到集貿(mào)市場(chǎng)買(mǎi)蘋(píng)果，買(mǎi)每公斤3元的蘋(píng)果用去所帶錢(qián)數(shù)的一半，而其余的錢(qián)都買(mǎi)了每公斤2元的蘋(píng)果，則該同學(xué)所買(mǎi)的蘋(píng)果的平均價(jià)格是每公斤_____元．5.已知(a＋b)2＝8，(a－b)2＝12，則ab的值為