優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學選擇性必修第三冊511數(shù)列的概念

5.1.1數(shù)列的概念1.數(shù)列及其相關(guān)概念(1)定義:按照_________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.(2)項:數(shù)列中的_________都稱為這個數(shù)列的項.項數(shù):組成數(shù)列的數(shù)的_____稱為數(shù)列的項數(shù).(3)通項:a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中an表示數(shù)列的第__項(也稱n為an的序號,其中n為正整數(shù),即n∈N+),稱為數(shù)列的通項.一定次序每一個數(shù)個數(shù)n【思考】(1)如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們是相同的數(shù)列嗎?提示:從數(shù)列的定義可以看出,組成數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列.(2)同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)嗎?提示:在數(shù)列的定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….2.數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)_____的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)_____的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起,每一項都_____它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起,每一項都_____它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都_____的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列有限無限大于小于相等3.數(shù)列的通項公式:如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用_______來表示,其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達式,則稱上述關(guān)系式為這個數(shù)列的一個通項公式.4.函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}可以看成定義域為_______________的函數(shù),數(shù)列中的數(shù)就是自變量從小到大依次取正整數(shù)值時對應的_______,而數(shù)列的通項公式就是相應函數(shù)的解析式.an=f(n)正整數(shù)集的子集函數(shù)值【思考】函數(shù)y=2x與數(shù)列{an}的通項公式an=2n有什么區(qū)別?提示:函數(shù)y=2x的自變量是連續(xù)變化的,圖象是連續(xù)的直線.an=2n的自變量是離散的,圖象是由離散的點構(gòu)成.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列. (

)(2){an}與an是一樣的,都表示數(shù)列. (

)(3)所有數(shù)列都能寫出其通項公式且一個數(shù)列的通項公式是唯一的. (

)(4)數(shù)列3,1,-1,-3,-5,-10的通項公式為an=5-2n.(

)提示:(1)×.兩個數(shù)列相同,每一項都必須相同,而且數(shù)列具有順序性.(2)×.因為{an}代表一個數(shù)列,而an只是這個數(shù)列中的第n項,故{an}與an是不一樣的.(3)×.有的數(shù)列就沒有通項公式,而且有的數(shù)列的通項公式不唯一.(4)×.第六項為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數(shù)列的通項公式.2.數(shù)列3,4,5,6,…的一個通項公式為 (

)

A.an=n,n∈N+

B.an=n+1,n∈N+C.an=n+2,n∈N+

D.an=2n,n∈N+【解析】選C.這個數(shù)列的前4項都比序號大2,所以,它的一個通項公式為an=n+2,n∈N+.3.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+1,則122是該數(shù)列的 (

)A.第9項 B.第10項 C.第11項 D.第12項【解析】選C.令n2+1=122,則n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n-1,則a8=________.

【解析】a8=2×8-1=15.答案:15類型一數(shù)列的概念以及分類【典例】1.下列說法錯誤的是 (

)A.數(shù)列4,7,3,4的首項是4B.數(shù)列{an}中,若a1=3,則從第2項起,各項均不等于3C.數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列{n}D.數(shù)列中的項不能是三角形2.已知下列數(shù)列:①2011,2012,2013,2014,2015,2016;②1,,,…,,…;③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動數(shù)列是________(填序號).

【思維·引】1.依據(jù)數(shù)列的定義逐項判斷.2.依據(jù)數(shù)列分類中有關(guān)數(shù)列的定義,逐個判斷.【解析】1.選B.由數(shù)列的相關(guān)概念可知,數(shù)列4,7,3,4的首項是4,故A正確.同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn),故B錯誤.按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,所以數(shù)列1,2,3,…就是數(shù)列{n},故C正確.數(shù)列中的項必須是數(shù),不能是其他形式,故D正確.2.①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;②為無窮數(shù)列、遞減數(shù)列;③為無窮數(shù)列、擺動數(shù)列;④是擺動數(shù)列,也是無窮數(shù)列;⑤為遞增數(shù)列,也是無窮數(shù)列;⑥為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列.答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④【內(nèi)化·悟】1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項的性質(zhì)具有哪些特點?提示:(1)確定性:一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的,集合中的元素也具有確定性;(2)可重復性:數(shù)列中的數(shù)可以重復,而集合中的元素不能重復出現(xiàn)(即互異性);(3)有序性:一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),而集合中的元素沒有順序(即無序性);(4)數(shù)列中的每一項都是數(shù),而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.2.如何判斷兩個數(shù)列是相同數(shù)列?提示:組成數(shù)列的數(shù)相同,且排列次序也相同的兩個數(shù)列才是相同的數(shù)列.【類題·通】數(shù)列概念的三個注意點(1)數(shù)列{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一個集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.(2)從數(shù)列的定義可以看出,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).(3)數(shù)列中各項的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵.【習練·破】下列數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是 (

)A.1,,,,…B.sin,sin,sin,sin,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】選C.數(shù)列1,,,,…是無窮數(shù)列,但它不是遞增數(shù)列,而是遞減數(shù)列;數(shù)列sin,sin,sin,sin,…是無窮數(shù)列,但它既不是遞增數(shù)列,又不是遞減數(shù)列;數(shù)列-1,-,-,-,…是無窮數(shù)列,也是遞增數(shù)列;數(shù)列1,2,3,4,…,30是遞增數(shù)列,但不是無窮數(shù)列.【加練·固】下列數(shù)列(1)1,2,22,23,…,263;(2)0,10,20,30,…,1000;(3)2,4,6,8,10,…;(4)-1,1,-1,1,-1,…;(5)7,7,7,7,…;(6),,,,….其中有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,擺動數(shù)列是________,常數(shù)列是________.(填序號)

【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無窮數(shù)列是(3)(4)(5)(6),遞增數(shù)列是(1)(2)(3),遞減數(shù)列是(6),擺動數(shù)列是(4),常數(shù)列是(5).答案:(1)(2)

(3)(4)(5)(6)

(1)(2)(3)

(6)

(4)

(5)類型二觀察法寫出數(shù)列的通項公式【典例】1.(2020·徐州高一檢測)數(shù)列3,6,11,20,…的一個通項公式為 (

)

A.an=3n B.an=n(n+2)C.an=n+2n D.an=2n+12.寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1),2,,8,,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4),,,,…;(5),,,,…;(6)4,0,4,0,4,0,….【思維·引】1.根據(jù)特點,觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項與其所在項的序號之間的關(guān)系,歸納出一個通項公式即可.2.首先要熟悉一些常見數(shù)列的通項公式,然后對于復雜數(shù)列的通項公式,其項與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項的結(jié)構(gòu)形式加以變形,將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納.【解析】1.選C.依題意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,所以an=n+2n.2.(1)數(shù)列的項有的是分數(shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察:,,,,,…,所以,它的一個通項公式為an=.(2)數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1000,10000,…此數(shù)列的通項公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,分子的后一部分是減去一個從1開始的自然數(shù),綜合得原數(shù)列的一個通項公式為an=.(5)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n·.(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項公式,即又因為數(shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.【素養(yǎng)·探】在與觀察法寫出數(shù)列的通項公式有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過研究數(shù)列的前幾項與項的序號之間的關(guān)系,歸納出數(shù)列的通項公式.將本例2(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,…”,如何寫出其通項公式?【解析】此數(shù)列的奇數(shù)項為3,偶數(shù)項為5,故通項公式可寫為an=此數(shù)列兩項3與5的平均數(shù)為=4,奇數(shù)項為4-1,偶數(shù)項為4+1,故通項公式還可寫為an=4+(-1)n.【類題·通】

(1)用觀察法求數(shù)列通項公式的策略(2)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號問題.(3)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.【習練·破】寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2),,,,…;(3)1,11,111,1111,….【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個通項公式是an=n2-1(n∈N+).(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號n,分數(shù)部分與序號n的關(guān)系為

,故所求的數(shù)列的一個通項公式為an=(n∈N+).(3)原數(shù)列的各項可變?yōu)椤?,×99,×999,×9999,…,易知數(shù)列9,99,999,9999,…的一個通項公式為an=10n-1,所以原數(shù)列的一個通項公式為an=(10n-1)(n∈N+).【加練·固】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:(1)3,5,7,9,11,13,…;(2),,,,,…;(3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(5)2,-6,12,-20,30,-42,….【解析】(1)從3開始的奇數(shù)列,an=2n+1.(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積an=;(3)an=或an=;(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,所以an=;(5)將數(shù)列變形為1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,所以an=(-1)n+1n(n+1).

類型三數(shù)列通項公式的簡單應用【典例】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=.(1)求a10.(2)判斷是否為該數(shù)列中的項.若是,它為第幾項?若不是,請說明理由.(3)求證:0<an<1.【思維·引】(1)將n=10代入{an}的通項公式即可求a10.(2)令an=,若n為正整數(shù),則是{an}的項,否則,不是{an}的項.(3)分離常數(shù)后可證.【解析】(1)根據(jù)題意可得a10=.(2)令an=,即,解得n=3,所以為數(shù)列{an}中的項,為第3項.(3)由題知an=,因為n∈N+,所以3n+1>3,所以0<<1,所以0<1-<1,即0<an<1.【類題·通】1.利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系,只要用序號代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應項.2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項,然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項;若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項.【習練·破】數(shù)列{an}的通項公式為an=30+n-n2.(1)-60是否是{an}中的一項?(2)當n分別取何值時,an=0,an>0,an<0?【解析】(1)假設(shè)-60是{an}中的一項,則-60=30+n-n2.解得n=10或n=-9(舍去).所以-60是{an}的第10項.(2)分別令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0<n<6;n>6,即n=6時,an=0;當0<n<6且n∈N+時,an>0;當n>6且n∈N+時,an<0.【加練·固】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=.(1)寫出數(shù)列的第4項和第6項.(2)試問是該數(shù)列的項嗎?若是,是第幾項?若不是,請說明理由.【解析】(1)因為an=,所以a4=,a6=(2)令,則n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N+,故將n=-8舍去,所以是該數(shù)列的第5項.1.有下列命題:①數(shù)列,,,,…的一個通項公式是an=;②數(shù)列的圖象是一群孤立的點;③數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列;④數(shù)列,,…,是遞增數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)為 (

)A.1 B.2 C.3 D.0【解析】選A.由通項公式知a1=

,故①不正確;易知②正確;由于兩數(shù)列中數(shù)的排列次序不同,因此不是同一數(shù)列,故③不正確;④中的數(shù)列為遞減數(shù)列,所以④不正確.2.數(shù)列,,,,…的一個通項公式是 (

)

【解析】選B.因為數(shù)列

,,,,…的第三項可寫成

,這樣,每一項都是含根號的數(shù),且每一個被開方數(shù)比前一項的被開方數(shù)多3,所以an=.3.在數(shù)列{an}中,an=51-n,則a3等于________.

【解析】由已知得a3=51-3=.答案:

4.(2020·南通高一檢測)在數(shù)列{an}中,已知an=,n∈N+,則是數(shù)列中的第________項.

【解析】根據(jù)題意,數(shù)列{an}中,已知an=,若

,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).答案:4【新情境·新思維】大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題,該數(shù)列從第一項起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求該數(shù)列的第18項.【解析】由題意得,偶數(shù)項分別為2,8,18,32,50,…可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為:2=2×1=2×12=2×,8=2×4=2×22=2×,18=2×9=2×32=2×,32=2×16=2×42=2×,50=2×25=2×52=2×,…則該數(shù)列第18項為2×=2×92=2×81=162.

一數(shù)列的概念【基礎(chǔ)練】(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.下列敘述正確的是 (

)A.數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列B.數(shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n}C.數(shù)列0,1,0,1,…是常數(shù)列D.數(shù)列是遞增數(shù)列【解析】選D.對于A,數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1不是相同的數(shù)列,故A錯誤;對于B,數(shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n-1},n∈N+,故B錯誤;對于C,數(shù)列0,1,0,1,…是擺動數(shù)列,故C錯誤;對于D,數(shù)列,>0,故數(shù)列是遞增數(shù)列,故D正確.2.數(shù)列…的一個通項公式是 (

)【解析】選C.因為所以推斷an=【加練·固】數(shù)列0,…的一個通項公式是 (

)【解析】選C.已知數(shù)列可化為:0,…,故an=.3.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=則a2·a3等于 (

)A.70 B.28 C.20 D.8【解析】選C.因為a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.4.(多選題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-8n+15,則 (

)A.3不是數(shù)列{an}中的項B.3是數(shù)列{an}的第2項C.3是數(shù)列{an}的第6項D.a3<0【解析】選BC.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是該數(shù)列的第2項,也可以是該數(shù)列的第6項.a3=9-24+15=0.【加練·固】在數(shù)列-1,0,…,,…中,0.08是它的 (

)A.第100項B.第12項C.第10項 D.第8項【解析】選C.因為an=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).二、填空題(每小題5分,共10分)5.數(shù)列…的第10項是________.

【解析】由數(shù)列的前4項可知,數(shù)列的一個通項公式為an=,當n=10時,a10=

答案:

6.已知數(shù)列{an}的通項公式an=19-2n,則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________.

【解析】由an=19-2n>0,得n<.因為n∈N+,所以n≤9.答案:9三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知數(shù)列{an}的通項公式an=n∈N+.(1)寫出它的第10項.(2)判斷是不是該數(shù)列中的項.【解析】(1)a10=(2)①當n為偶數(shù)時,an=令化簡得8n2-33n-35=0,解得n=5而n=5為奇數(shù),所以不是該數(shù)列中的偶數(shù)項.②當n為奇數(shù)時,an=令化簡得8n2+33n+31=0,解得n=不是整數(shù),所以不是該數(shù)列中的奇數(shù)項.綜上,不是該數(shù)列中的項.8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項.(2)-49是否是該數(shù)列的一項?如果是,應是哪一項?68是否是該數(shù)列的一項呢?如果是,應是哪一項?【解析】(1)a4=3×42-28×4=-64;a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49得n=7或n=

(舍去),所以-49是該數(shù)列的第7項;由3n2-28n=68得n=-2或n=

,均不合題意,所以68不是該數(shù)列的項.【能力練】(15分鐘·30分)1.(5分)對任意的an∈(0,1),由關(guān)系式an+1=f(an)得到的數(shù)列滿足an+1>an(n∈N+),則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是 (

)【解析】選A.據(jù)題意,由關(guān)系式an+1=f(an)得到的數(shù)列滿足an+1>an,即該函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(x,y)都滿足y>x,結(jié)合圖象,只有A滿足.2.(5分)已知數(shù)列{an},an=kn-5,且a8=11,則an=________,a17=________.

【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,所以an=2n-5,所以a17=2×17-5=29.答案:2n-5

293.(5分)數(shù)列-1,1,-2,2,-3,3,…的一個通項公式為________.

【解析】注意到數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點即可得an=答案:an=

【加練·固】數(shù)列…的一個通項公式為________.

【解析】此數(shù)列各項都是分式,且分母都減去1為1,4,9,16,25,…故分母可用n2+1表示,若分子各項都加1為:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通項公式可為an=答案:an=

4.(5分)如圖所示的圖案中,白色正六邊形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項,則這個數(shù)列的一個通項公式為________.

【解析】我們把圖案按如下規(guī)律分解:這三個圖案中白色正六邊形的個數(shù)依次為6,6+4,6+4×2,