2019高考數(shù)學考點突破-函數(shù)的應用函數(shù)與方程學案

函數(shù)與方程【考點梳理】1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0建立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．函數(shù)零點與方程根的關系：方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．零點存在性定理：假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不停的一條曲線，而且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關系＝b2－4ac＞0＝0＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210【考點打破】考點一、函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例1】設f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[答案]B[分析]法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的圖象是連續(xù)的，∴函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1，2)．法二：函數(shù)f( )的零點所在的區(qū)間轉變?yōu)楹瘮?shù)(x)＝lnx，()＝－x＋2圖象交點的xghx橫坐標所在的范圍，如下圖，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)．1【類題通法】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：判斷函數(shù)在某個區(qū)間上能否存在零點，要依據(jù)詳細題目靈巧辦理，當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不可以直接求出時，可依據(jù)零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也沒法判斷時，可畫出圖象判斷．【對點訓練】11函數(shù)f(x)＝2lnx＋x－x－2的零點所在的區(qū)間是()1A．e，1B．(1，2)C．(2，e)D．(e，3)[答案]C111[分析]易知f(x)在(0，＋∞)上是單一增函數(shù)，且f(2)＝2ln2－2<0，f(e)＝2＋e1－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零點在區(qū)間(2，e)內(nèi).e考點二、判斷函數(shù)零點的個數(shù)【例2】函數(shù)f(x)＝lnxx22x,x0的零點個數(shù)是________．4x1,x0[答案]3[分析]當x＞0時，作函數(shù)y＝lnx和y＝x2－2x的圖象，由圖知，當x＞0時，f(x)有2個零點；當x≤0時，由f(x)＝0得x＝－1，4綜上，f(x)有3個零點．【類題通法】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：解方程法：所對應方程f(x)＝0有幾個不一樣的實數(shù)解就有幾個零點．零點存在性定理法：利用零點存在性定理并聯(lián)合函數(shù)的性質進行判斷．數(shù)形聯(lián)合法：轉變?yōu)閮蓚€函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看2其交點的個數(shù)，此中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)．【對點訓練】2，x>0，1．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)f(x)＋x的零點個數(shù)為________．[答案]3[分析]c＝－2，b＝－4，依題意得解得－1－b＋c＝1，c＝－2.令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，x>0，x≤0，該方程等價于①－2＋x＝0，或②－x2－4x－2＋x＝0，解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，所以，函數(shù)( )＝(x)＋x的零點個數(shù)為3.gxf2．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4[答案]B[分析]令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，1x可得|log0.5x|＝2.1x設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝2，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象必定有2個交點，所以函數(shù)f(x)有2個零點．考點三、函數(shù)零點的應用x＋2【例3】(1)已知函數(shù)f(x)＝log3x－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )A．(－1，－log32)B．(0，log52)C．(log32,1)D．(1，log34)32x－a，x≤0，(2)若函數(shù)f(x)＝lnx，x>0有兩個不一樣的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.(3)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)知足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0，2]上f(x)＝x，若對于x的方程f(x)＝logax有三個不一樣的實根，則a的取值范圍是．[答案](1)C(2)(0，1](3)(6，10)x＋2[分析](1)∵單一函數(shù)f(x)＝log3x－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，應選C.(2)當x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.由于函數(shù)f(x)有兩個不一樣的零點，則當x≤0xf(x)＝0得a＝2x，由于0<2x0時，函數(shù)f(x)＝2－a有一個零點，令≤2＝1，所以0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1].(3)由f(x－4)＝f(x)知，函數(shù)的周期為4，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函數(shù)圖象對于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有a＞1，a＞1，三個不一樣的根，則知足f＜2，如圖，即loga6＜2，解得6＜a＜10.f＞2，loga10＞2，故a的取值范圍是(6，10).【類題通法】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接依據(jù)題設條件建立對于參數(shù)的不等式，再經(jīng)過解不等式確立參數(shù)范圍；分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉變成求函數(shù)值域問題加以解決；數(shù)形聯(lián)合法：先對分析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，而后數(shù)形聯(lián)合求解．【對點訓練】1．函數(shù)f(x)＝2x－2－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是( )xA．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)[答案]C4x2x2[分析]∵函數(shù)f(x)＝2－x－a在區(qū)間(1，2)上單一遞加，又函數(shù)f(x)＝2－x－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)＜0，∴(－)(4－1－)＜0，即(－3)＜0，aaaa0＜a＜3.x－a，x≥1，2．已知函數(shù)f(x)＝有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．－x，x<1[答案][1，＋∞)[分析]當x<1時，f(x)＝ln(1－x)單一遞減，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1個零點，∴f(x)在[1，＋∞)上有1個零點．當x≥1時，令x－a＝0，得a＝x≥1.∴實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．|x|，x≤m，3．已知函數(shù)f(x)＝此中>0.若存在實數(shù)，使得對于x的方x2－2mx＋4m，x