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5.4函數(shù)的奇偶性(第二課時(shí))課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.掌握函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.了解函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足的條件.1.通過(guò)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,熟悉轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)等思考方法,提升邏輯推理素養(yǎng).2.通過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心條件,提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).新知探究被譽(yù)為“上海之鳥(niǎo)”浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的設(shè)計(jì)是一個(gè)碩大無(wú)比展開(kāi)雙翅的海鷗,它的兩翼呈對(duì)稱(chēng)狀,看上去舒展優(yōu)美,它象征著浦東將展翅高飛,一些函數(shù)的圖象也有著如此美妙的對(duì)稱(chēng)性.問(wèn)題這種對(duì)稱(chēng)性體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)?提示函數(shù)的奇偶性.奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于______對(duì)稱(chēng),若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)是奇函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于______對(duì)稱(chēng),若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則該函數(shù)是偶函數(shù).(2)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為_(kāi)_______
(減函數(shù)),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性______.(3)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為_(kāi)_______
(增函數(shù)),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性______.原點(diǎn)y軸增函數(shù)相同減函數(shù)相反基礎(chǔ)自測(cè)[判斷題]1.若f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(|x|).(
)3.若奇函數(shù)f(x)在[a,b]上有最大值M,則f(x)在[-b,-a]上有最大值-M.(
)
提示
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),在[a,b]上有最大值M,則在[-b,-a]上有最小值-M.√√×[基礎(chǔ)訓(xùn)練]1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),則(
) A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(4)<f(-π)<f(3)解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),0<3<π<4,∴f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4).答案C2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=________.解析當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)+1=x+1=-f(x),所以f(x)=-x-1.答案-x-1[思考]若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則f(x),g(x)是偶函數(shù)嗎?提示不是偶函數(shù),因?yàn)橹挥凶陨淼膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)才是偶函數(shù).題型一利用奇偶性求解析式角度1求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的解析式【例1-1】
(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(x-1),則當(dāng)x>0時(shí),f(x)=________. (2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,則f(x)=________.解析(1)設(shè)x>0,則-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù),故當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0時(shí),f(x)=x(x+1).(2)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x2+3x-1.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),故f(0)=0.解∵f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),用-x代替x,規(guī)律方法已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式,求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法如下:(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式,x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間上;(2)把x對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中;(3)利用f(x)的奇偶性將f(-x)用-f(x)或f(x)表示,從而求出f(x).【訓(xùn)練1】
(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-x,求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=x2+2x,求函數(shù)f(x),g(x)的解析式.解(1)設(shè)x>0,則-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函數(shù)定義域?yàn)镽,∴f(0)=0,(2)∵f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=2x+x2.①用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,∴f(x)-g(x)=-2x+x2,②(①+②)÷2,得f(x)=x2;(①-②)÷2,得g(x)=2x.題型二奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用角度1比較大小【例2-1】
(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x總有f(-x)=f(x),且f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是增函數(shù),則(
)(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(
)A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),∴f(2)=f(-2).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).答案(1)B
(2)A角度2利用奇偶性、單調(diào)性解不等式【例2-2】
(1)設(shè)定義在[-3,3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)g(x),當(dāng)x≥0時(shí),g(x)為減函數(shù),若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范圍.解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,3]上是減函數(shù),所以f(x)在[-3,3]上是減函數(shù).(2)∵g(x)在[-2,2]上為偶函數(shù),且x≥0時(shí)為減函數(shù),規(guī)律方法1.比較大小的方法:(1)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?2)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.2.利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反,列出不等式(組),同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.(2)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其定義域?yàn)?-1,1),且在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù).若f(a-2)+f(3-2a)<0,試求a的取值范圍.(1)解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).∴f(3)=f(-3)=0.當(dāng)x>0時(shí),由f(x)<0,解得x>3;當(dāng)x<0時(shí),由f(x)>0,解得-3<x<0.故所求解集為{x|-3<x<0,或x>3}.答案
{x|-3<x<0,或x>3}(2)解因?yàn)閒(a-2)+f(3-2a)<0,所以f(a-2)<-f(3-2a),又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(a-2)<f(2a-3).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù).題型三奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用【例3】若函數(shù)y=f(x)在(0,2)上是增函數(shù),函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(
)解析∵y=f(x+2)是偶函數(shù),∴f(2-x)=f(2+x),故y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),∴f(1)=f(3).又f(x)在(0,2)上為增函數(shù),∴f(x)在(2,4)上為減函數(shù).答案
B規(guī)律方法(1)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=h對(duì)稱(chēng),只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x,滿(mǎn)足f(h-x)=f(h+x).(2)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng),只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x
,滿(mǎn)足f(a+x)+f(a-x)=2b.證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞).任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),即f(-1+x)+f(-1-x)=2×1,∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱(chēng).一、課堂小結(jié)1.結(jié)合圖象的對(duì)稱(chēng)性,通過(guò)奇偶性的應(yīng)用,提升邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.3.如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0;如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).4.利用奇偶性可以簡(jiǎn)化研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程,利用奇偶性求函數(shù)值、解析式、比較大小、解不等式等核心是轉(zhuǎn)化.5.對(duì)于抽象函數(shù)(未給出解析表達(dá)式的函數(shù))可畫(huà)出滿(mǎn)足條件的示意圖來(lái)幫助分析解決問(wèn)題.二、課堂檢測(cè)1.若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),則下列關(guān)系成立的是(
)A.f(-3)>f(0)>f(1) B.f(-3)>f(1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(-3) D.f(1)>f(-3)>f(0)解析∵f(-3)=f(3),且f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(-3)>f(1)>f(0).答案
B2.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式是(
) A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2) C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)解析設(shè)x<0,則-x>0,則f(-x)=x2+2x=-f(x
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