函數(shù)的奇偶性（第二課時(shí)） （知識精講+備課精研） 高一數(shù)學(xué) 課件（蘇教版2019必修第一冊）

5.4函數(shù)的奇偶性（第二課時(shí)）課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.掌握函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用.2.了解函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件.1.通過函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，熟悉轉(zhuǎn)化、對稱等思考方法，提升邏輯推理素養(yǎng).2.通過函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心條件，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).新知探究被譽(yù)為“上海之鳥”浦東國際機(jī)場的設(shè)計(jì)是一個(gè)碩大無比展開雙翅的海鷗，它的兩翼呈對稱狀，看上去舒展優(yōu)美，它象征著浦東將展翅高飛，一些函數(shù)的圖象也有著如此美妙的對稱性.問題這種對稱性體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)？提示函數(shù)的奇偶性.奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)是奇函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱，若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則該函數(shù)是偶函數(shù).(2)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為________

(減函數(shù))，即在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性______.(3)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為________

(增函數(shù))，即在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性______.原點(diǎn)y軸增函數(shù)相同減函數(shù)相反基礎(chǔ)自測[判斷題]1.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(

)3.若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(

)

提示

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在[a，b]上有最大值M，則在[－b，－a]上有最小值－M.√√×[基礎(chǔ)訓(xùn)練]1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則(

) A.f(3)<f(－4)<f(－π) B.f(－π)<f(－4)<f(3) C.f(3)<f(－π)<f(－4) D.f(4)<f(－π)<f(3)解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，0＜3＜π<4，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4).答案C2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________.解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1.答案－x－1[思考]若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)，g(x)是偶函數(shù)嗎？提示不是偶函數(shù)，因?yàn)橹挥凶陨淼膱D象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)才是偶函數(shù).題型一利用奇偶性求解析式角度1求對稱區(qū)間上的解析式【例1－1】

(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝________. (2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝________.解析(1)設(shè)x>0，則－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0時(shí)，f(x)＝x(x＋1).(2)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x2＋3x－1.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.解∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，規(guī)律方法已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法如下：(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間上；(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).【訓(xùn)練1】

(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－x，求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式.解(1)設(shè)x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函數(shù)定義域?yàn)镽，∴f(0)＝0，(2)∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.題型二奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用角度1比較大小【例2－1】

(1)若對于任意實(shí)數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(

)(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(－3)>f(－2)

B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2)

D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析(1)∵對任意實(shí)數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴f(2)＝f(－2).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).答案(1)B

(2)A角度2利用奇偶性、單調(diào)性解不等式【例2－2】

(1)設(shè)定義在[－3，3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)為減函數(shù)，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范圍.解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0，3]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上是減函數(shù).(2)∵g(x)在[－2，2]上為偶函數(shù)，且x≥0時(shí)為減函數(shù)，規(guī)律方法1.比較大小的方法：(1)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(2)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.2.利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式解決此類問題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，列出不等式(組)，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.(2)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?－1，1)，且在區(qū)間[0，1)上為增函數(shù).若f(a－2)＋f(3－2a)<0，試求a的取值范圍.(1)解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).∴f(3)＝f(－3)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)<0，解得x>3；當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集為{x|－3<x<0，或x>3}.答案

{x|－3<x<0，或x>3}(2)解因?yàn)閒(a－2)＋f(3－2a)<0，所以f(a－2)<－f(3－2a)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(a－2)<f(2a－3).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，1)上為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(－1，1)上為增函數(shù).題型三奇偶性與對稱性的應(yīng)用【例3】若函數(shù)y＝f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)解析∵y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，∴f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(1)＝f(3).又f(x)在(0，2)上為增函數(shù)，∴f(x)在(2，4)上為減函數(shù).答案

B規(guī)律方法(1)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝h對稱，只需證明對定義域內(nèi)的任意x，滿足f(h－x)＝f(h＋x).(2)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱，只需證明對定義域內(nèi)的任意x

，滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞).任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對稱.一、課堂小結(jié)1.結(jié)合圖象的對稱性，通過奇偶性的應(yīng)用，提升邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.3.如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).4.利用奇偶性可以簡化研究函數(shù)性質(zhì)的過程，利用奇偶性求函數(shù)值、解析式、比較大小、解不等式等核心是轉(zhuǎn)化.5.對于抽象函數(shù)(未給出解析表達(dá)式的函數(shù))可畫出滿足條件的示意圖來幫助分析解決問題.二、課堂檢測1.若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則下列關(guān)系成立的是(

)A.f(－3)>f(0)>f(1) B.f(－3)>f(1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(－3) D.f(1)>f(－3)>f(0)解析∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(－3)>f(1)>f(0).答案

B2.已知函數(shù)y＝f(x)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式是(

) A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2) C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2)解析設(shè)x<0，則－x>0，則f(－x)＝x2＋2x＝－f(x