第17部分推理與證明

第17部分：推理與證明一、選擇題:1．（2022年高考山東卷文科10）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=（A）(B)(C)(D)【答案】D【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函數(shù)是偶函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，即函數(shù)是偶函數(shù)，所以它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，即有=，故選D。【命題意圖】本題考查函數(shù)、歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們類比歸納的能力。二、填空題：1．（2022年高考福建卷文科16）觀察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推測(cè)，m–n+p=.【答案】962【解析】因?yàn)樗裕挥^察可得，，所以m–n+p=962?！久}意圖】本小題考查三角變換、類比推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的推理能力等。2．（2022年高考福建卷文科15）對(duì)于平面上的點(diǎn)集，如果連接中任意兩點(diǎn)的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）：其中為凸集的是（寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào)）?！敬鸢浮竣冖?．（2022年高考陜西卷文科11）觀察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為.【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.【解析】∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為；；，右邊的底數(shù)依次分別為（注意：這里），∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個(gè)等式左邊的底數(shù)為，右邊的底數(shù)為.又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第四個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.三、解答題：1．(2022年高考北京卷文科20)（本小題共13分）已知集合對(duì)于，，定義A與B的差為A與B之間的距離為（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，；（Ⅱ）證明：，且;(Ⅲ)證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）=3(Ⅱ)證明：設(shè)因?yàn)?，所以從而由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以(Ⅲ)證明：設(shè)記由（Ⅱ）可知所以中1的個(gè)數(shù)為k,中1的個(gè)數(shù)為設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)。則由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。2．(2022年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）正實(shí)數(shù)數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和．【答案】證明：（1）由已知有：，從而，方法一：取，則．用反證法證明這些都是無(wú)理數(shù)．假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，故．，與矛盾，所以都是無(wú)理數(shù)，即數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù)；方法二：因?yàn)?，?dāng)?shù)媚┪粩?shù)字是3,4,8,9時(shí)，的末位數(shù)字是3和7，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時(shí)不是有理數(shù)，因這種有無(wú)窮多，故這種無(wú)理項(xiàng)也有無(wú)窮多．（2）要使為整數(shù)，由可知：同為偶數(shù)，且其中一個(gè)必為3的倍數(shù)，所以有或當(dāng)時(shí)，有又必為偶數(shù)，所以滿足即時(shí)，為整數(shù)；同理有也滿足即時(shí)，為整數(shù)；顯然和是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)和時(shí)，為整數(shù)；由有，由有．設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為，則．3．（2022年高考上海卷文科22）（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。若實(shí)數(shù)、、滿足，則稱比接近.（1）若比3接近0，求的取值范圍；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比接近；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）.解析：(1)x(2,2)；

(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，，

因?yàn)椋?/p>

所以，即a2bab2比a3b3接近；

(3),kZ，

f(x)是偶函數(shù)，f(x)是周期函數(shù)，最小正周期T，函數(shù)f(x)的最小值為0，

函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kZ．4．（2022年高考廣東卷文科21）（本小題滿分14分）已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)（n=1,2,…）.（1）試寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求試點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，證明：（2022年高考湖北卷文科21）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線在點(diǎn)P（0，）處的切線方程為y=1（Ⅰ）確定b、c的值（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)（）及（）處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng)時(shí)，（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。6．（2022年高考湖南卷文科20）（本小題滿分13分）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。（I）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（II）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為求和：