小波變換編碼

小波變換編碼第一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日2第二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日3Wavesondeletre第三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日4傅立葉變換用三角函數(shù)(正弦波/余弦波）作為正交基函數(shù).第四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日5第五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日6符號(hào)解釋：：一維的平方可積函數(shù)空間，：二維的平方可積函數(shù)空間。平方可積的數(shù)學(xué)定義：，物理含義=能量有限。結(jié)論：能量有限的函數(shù)的全體。

：復(fù)數(shù)空間；：n維內(nèi)積空間，n維歐氏空間（有限維、實(shí)的內(nèi)積空間）。希爾伯特空間（HibertSpace）：完備的內(nèi)積空間（無限維內(nèi)積空間）。設(shè)則u可由uk線性展開，uk為基函數(shù)。當(dāng)使u=1時(shí)，則稱為歸一化（normalization）。

第六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日7LoG算子第七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日86.1.1傅里葉變換的不足引言：平穩(wěn)信號(hào)可以通過傅里葉變換，將復(fù)雜的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，用頻譜特性去表示和分析時(shí)域信號(hào)的特性；非平穩(wěn)信號(hào)，例如語音信號(hào)、圖像信號(hào)等的頻域特性隨時(shí)間而變。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，經(jīng)常需要了解它的某些局部時(shí)間段的主要頻率特性，或者某些頻率信息所出現(xiàn)的時(shí)間段，即需要了解短時(shí)域信號(hào)的局部頻域特性：時(shí)-頻局部化特性.

第5章小波變換編碼

5.1時(shí)頻局部化第八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日9傅里葉變換對(duì)時(shí)-頻局部化分析（表示）無能為力，因?yàn)椋簩?duì)于一個(gè)能量有限的時(shí)域信號(hào)f（t），其傅里葉變換定義為由式（）可以看出，為了得到信號(hào)f（t）的頻譜特性F（ω），需要用f（t）在整個(gè)定義域內(nèi)的全部信息。第九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日10另一方面，若信號(hào)f（t）只在某個(gè)時(shí)刻的較小鄰域內(nèi)發(fā)生變化，則整個(gè)頻譜特性F（ω）就要受到影響。例如：δ函數(shù)，它定義為δ函數(shù)時(shí)域只有一個(gè)點(diǎn)t0的支撐，而它的傅里葉變換(ω)=e-jωt0，即其頻譜覆蓋整個(gè)頻域。第十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日11結(jié)論：對(duì)傅里葉變換來說，信號(hào)在時(shí)域的瞬時(shí)變化會(huì)影響到整個(gè)頻譜，頻譜不能反映信號(hào)時(shí)域的局部變化，無法解決信號(hào)某一時(shí)刻的變化對(duì)某一點(diǎn)的頻域變化的影響。因此，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析與處理，只靠傅里葉變換是不夠的，或者說傅里葉變換對(duì)于信號(hào)時(shí)-頻局部特性的描述（表示）無能為力，需要新的方法來解決這一問題。第十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日121.定義為了克服傅里葉變換的不足，D.Gabor于1946年提出一種加窗傅里葉變換，又稱Gabor變換。在Gabor變換中引入一個(gè)局部化窗函數(shù)g(t-b)，其中，用參數(shù)b在時(shí)域上移動(dòng)窗口，設(shè)g（t）滿足條件

定義Gabor變換為5.2Gabor變換第十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日13窗函數(shù)的選取：一般選擇窗函數(shù)g（t）為在|t|＞b時(shí)快速衰減為零的所謂“鐘形”函數(shù)（例如，Gabor用的窗函數(shù)是高斯函數(shù)），這樣，信號(hào)f(t）在乘以滑動(dòng)窗g（t-b）后，便可有效地抑制t=b的領(lǐng)域以外的信號(hào)，所以式（）對(duì)f（t）g（t-b）進(jìn)行的傅里葉變換所得到的結(jié)果反映的是t=b時(shí)刻附近的局部信號(hào)的頻譜信息，從而達(dá)到時(shí)域局部化的目的。第十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日14加窗傅里葉變換在頻域局部化方面的作用：設(shè)根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可得：式（）、（）表明，Gf(ω，b)實(shí)際上描述的是頻譜F（ω）經(jīng)過G（ω）卷積平滑的結(jié)果（相差一個(gè)相位因子）。若G（ω）在ω附近有局部化作用（使得g（t）滿足此條件），則頻域信息F（ω）就在ω附近被局部化。第十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日15結(jié)論：通過加窗傅里葉變換Gf（ω，b）可在t=b附近觀察時(shí)域信號(hào)f(t),在ωb附近觀察頻域信號(hào)F(ωb)，即只要合理選擇窗函數(shù)g（t），就可同時(shí)達(dá)到時(shí)-頻局部化的要求。第十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日162.時(shí)窗、頻窗和時(shí)-頻窗時(shí)窗的定義：設(shè)g（t）是窗函數(shù)，稱為時(shí)窗中心，稱為時(shí)窗半徑。則時(shí)窗函數(shù)g（t）的窗口為[t*-△t,t*+△t]（），窗口寬度為2△t。同理可定義窗函數(shù)g（t-b）的時(shí)窗中心為t*+b，時(shí)窗半徑仍為△t.第十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日17頻窗中心和頻窗半徑定義如下：定義：設(shè)g（t）是時(shí)窗函數(shù)，則稱其傅里葉變換G（ω）為頻窗函數(shù)，稱為頻窗中心，稱頻窗半徑。第十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日18則頻窗函數(shù)G（ω）的窗口為窗口寬度為2△ω。由上述定義可知，g（t）和G（ω）分別起時(shí)窗和頻窗作用。頻窗平移η后，即頻窗函數(shù)G（ω-η）的頻窗中心和頻窗半徑分別為ω*+η,△ω。時(shí)-頻平面，時(shí)窗和頻窗共同作用的結(jié)果就形成了時(shí)-頻窗或稱分辨率單元，時(shí)-頻局部化的幾何直觀描述，如下圖所示。時(shí)-頻平面又稱相平面，在非平穩(wěn)信號(hào)、突發(fā)信號(hào)的分析和處理中它有著重要作用.第十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日19圖第十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日203.窗函數(shù)條件：若g（t）是滿足局部化要求的時(shí)窗函數(shù)，則要求t*和△t均為有限值，即要求或只需同理，若G（ω）是滿足要求的頻窗函數(shù)，則要求第二十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日21示意說明第二十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日22結(jié)論：若選一個(gè)函數(shù)g（t）作為時(shí)窗，其頻譜函數(shù)G（ω）作為頻窗，則g（t）和G（ω）應(yīng)同時(shí)有較強(qiáng)的衰減特性，應(yīng)滿足式（）和（）的要求。根據(jù)局部化要求，為了提高時(shí)間分辨率和頻率分辨率，希望△t，△ω越小越好，但它們之間存在著相互制約的關(guān)系，必須服從信號(hào)的海森堡測(cè)不準(zhǔn)原則（HeisenburgUncertainityPrinciple）,即

,這意味著只能以時(shí)間分辨率交換頻率分辨率，或者以頻率分辨率交換時(shí)間分辨率。第二十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日23

引起測(cè)不準(zhǔn)原理的最初問題是愛因斯坦提出的。海森伯發(fā)現(xiàn)要知道粒子現(xiàn)在之位置,必須利用光射上這個(gè)粒子令它繞射而指出其位置。

補(bǔ)充第二十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日24測(cè)不準(zhǔn)原理表明：同時(shí)嚴(yán)格確定兩個(gè)共軛變量（例如，位置和速度）的數(shù)值是不可能的，它們的數(shù)值的準(zhǔn)確度有個(gè)下限。這是一條自然定律。它說明，在原子層次上，同時(shí)得到一個(gè)粒子的位置和速度的嚴(yán)格準(zhǔn)確的測(cè)量在原則上是不可能的。如果以△p表示粒子位置的測(cè)量誤差，以△x表示粒子動(dòng)量的測(cè)量誤差，則同時(shí)測(cè)定二者時(shí)，精確度極限為：式中h為Planck常數(shù)，6.626×10-34J·s補(bǔ)充第二十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日254.Gabor變換的局限性由式（）、（）和圖可以看出，對(duì)于給定的窗函數(shù)g（t），Gabor變換的時(shí)-頻窗在時(shí)-頻相平面上的大小是不變的。對(duì)于任意時(shí)刻b和任意頻率ω，Gabor變換的時(shí)-頻窗以（b，ω）為中心，窗寬為2△t，窗高為2△ω。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于信號(hào)的頻率與其持續(xù)時(shí)間成反比，故對(duì)高頻信號(hào)檢測(cè)時(shí)，因其持續(xù)時(shí)間較短，需要較窄的時(shí)間窗，以保證一定的精度；而對(duì)低頻信號(hào)檢測(cè)時(shí)，由于其持續(xù)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，因而要求有較寬的時(shí)間窗，以便獲得充分的信息。[t*-△t,t*+△t]（）第二十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日26圖第二十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日27結(jié)論：即需要一個(gè)靈活可變的分辨率單元，使其面對(duì)高頻成分（以較高的頻率值為分辨率中心）時(shí)自動(dòng)變窄，空間局部化程度相對(duì)減弱，具有”變焦“功能。這種較理想的分辨率單元（時(shí)-頻窗）在時(shí)間-頻率相平面上的分布如圖所示。顯然，Gabor變換不能滿足這種實(shí)際問題的要求，從而引出了滿足上述要求的小波變換。第二十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日28圖第二十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日295.3小波變換的引出引言：小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)界一個(gè)迅速發(fā)展新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用廣泛的雙重意義。小波變換的概念是由法國(guó)地球物理學(xué)家J.Molet

1974年首先提出，并通過物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。正如1807年法國(guó)的熱工學(xué)工程師提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家，以及的認(rèn)可一樣。第二十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日30幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作創(chuàng)建了構(gòu)造小波基的方法及其多尺度分析方法，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來。其中，比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講》（TenLecturesonWavelets），A.Cohen，I.Daubechies,構(gòu)造了緊支撐雙正交小波基，是圖像編碼領(lǐng)域最常用的小波內(nèi)核。Antonini，Daubechies對(duì)小波的推廣應(yīng)用起了重要作用。第三十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日31小波分析與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，它是一個(gè)時(shí)間和頻率的局部變換，因而能有效的從信號(hào)中提取信息（有效地表示信號(hào)），通過伸縮和平移等運(yùn)算對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，因而小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的發(fā)展（貢獻(xiàn)）。第三十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日32小波分析的應(yīng)用，是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的一個(gè)重要分支是圖象和信號(hào)處理?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷（特征提取與識(shí)別）、編碼壓縮和量化、快速傳遞和存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)角度來看，信號(hào)和圖象處理可統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（圖象可以看作二維信號(hào)），小波分析的許多應(yīng)用，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題?，F(xiàn)在，對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)的處理，理想工具仍然是傅立葉分析。但實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非平穩(wěn)的，適用于非穩(wěn)定信號(hào)處理的有效工具就是小波變換。第三十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日33小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析與圖象處理；量子力學(xué)與理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器智能化；模式分類與識(shí)別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等。例如在數(shù)學(xué)方面，用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值計(jì)算方法、曲線與曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等；信號(hào)處理方面的濾波、去噪、壓縮、傳輸?shù)?；圖象處理方面的壓縮、分類、識(shí)別，特征提取，去噪，增強(qiáng)，分割等；醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，以提高分辨率等。第三十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日34小波變換用于信號(hào)與圖象壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是：①壓縮比高②壓縮速度快③壓縮后能保持信號(hào)與圖象的特征不變④傳輸中抗干擾?；谛〔ㄗ儞Q的數(shù)據(jù)壓縮方法很多，較為成功的有小波包，小波域紋理模型，小波變換向量壓縮。小波編碼有EZW，SPIHT，EBCOT，基于小波的可伸縮編碼和視頻壓縮等。第三十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日35小波發(fā)展的歷史：1910年，Haar就是用方波構(gòu)建了小波，對(duì)不同的尺度，構(gòu)成一個(gè)正交系(當(dāng)時(shí)未稱為小波)。1982年德國(guó)數(shù)學(xué)家Str?mberg第一個(gè)建立出小波，是用樣條函數(shù)來構(gòu)造小波函數(shù)。1993年，Y.Meyer在《Waveletalgorithms》SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，一書中對(duì)小波的形成歷史有詳細(xì)的歸納。1996年，Daubechies在《Wheredowaveletscomefrom-Apersonalpointofview》中，從工程應(yīng)用角度歸納了小波的發(fā)展歷史。tψ(t)-1+11/21Haar函數(shù)第三十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日36小波變換的含義：利用基小波[母小波：motherwavelet]ψ(t)作平移τ后，再在不同尺度a下與待分析信號(hào)f(t)作內(nèi)積：其頻域表示為：其中，F(xiàn)(ω),

Ψ

(ω)為信號(hào)f(t)和小波函數(shù)ψ(t)的Fourier變換。第三十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日37小波變換的粗略解釋：用鏡頭觀察目標(biāo)x（t）[待分析信號(hào)]，ψ(t)代表鏡頭所起的作用（濾波或卷積）。相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)，a的作用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。a越大相當(dāng)于頻率越低。小波被譽(yù)為分析信號(hào)的數(shù)學(xué)顯微鏡。小波變換的特點(diǎn)：（1）多分辨率特性：具有多分辨率（multi-resolution）[多尺度（multi-scale）]的特點(diǎn)，可以由粗到精地逐級(jí)觀察（表示）信號(hào)；可看成采用基頻為Ψ(ω)的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)作濾波。第三十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日38+0-小大a值ψ(t)由粗到精地逐級(jí)觀察（表示）信號(hào)；可看成采用基頻為Ψ(ω)的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)作濾波圖第三十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日39小波變換的特點(diǎn)（續(xù)）：(2)恒Q性：由Fourier變換的尺度特性可知，若ψ(t)的Fourier變換為Ψ(ω),

則ψ(t/a)的Fourier變換為|a|Ψ(aω)。因此這組濾波器具有品質(zhì)因數(shù)恒定[帶寬與中心頻率之比恒定]的特點(diǎn)。如下圖所示。（3）時(shí)頻局部化特性：基小波ψ(t)在時(shí)域上為有限支撐(緊支),Ψ(ω)在頻域上較為集中，這樣可使WT在時(shí)、頻兩域都具有表征信號(hào)局部特性的能力，因此有利于檢測(cè)信號(hào)的瞬態(tài)或奇異點(diǎn)。(4)與人類感知機(jī)理的相似性：人類感知過程（視覺，聽覺）的生理過程機(jī)制與小波分析極為類似，因此小波同時(shí)也引起生物醫(yī)學(xué)，神經(jīng)生理學(xué)工程界的關(guān)注。第三十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日40第四十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日41紅藍(lán)綠紅藍(lán)綠第四十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日42第四十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日43圖像多尺度分解，(a)一層分解，(b)二層分解第四十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日44Forexample:FourierBasisTheoriginalsignalhasN=1024samples.TheapproximatedsignalsarereconstructedfromM=64Fouriercoefficientsthatarethelinearapproximationorthenon-linearapproximation.Notethatthepeakinthemiddleoftheoriginalsignaliscompletelymissedinbothschemes.第四十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日45Continue:WaveletBasisWaveletbasiswithtwovanishingmomentsandsixlevelsofdecomposition.Thesignalisalmostperfectlyrecoveredinthenon-linearapproximationscheme.第四十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日46小波變換的硬件上實(shí)現(xiàn)：基于小波壓縮技術(shù)的良好性能，美國(guó)生產(chǎn)DSP的著名廠商AnalogDevices公司，已開始提供支持小波壓縮的編碼/解碼芯片。Intel公司更是利用小波壓縮算法重新設(shè)計(jì)了它的Indeo視頻交互系統(tǒng)。在新的Indeo視頻交互系統(tǒng)中，舍棄了原來的壓縮技術(shù)，而采用了性能更加良好的小波壓縮的算法。第四十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日47希爾伯特變換第四十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日48希爾伯特變換(續(xù))第四十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日49注釋：內(nèi)積可表示為：，*：代表共軛5.4連續(xù)小波變換5.4.1連續(xù)小波變換的定義1.定義：設(shè)f(t)是平方可積函數(shù)[f(t)∈L2(R)]，ψ(t)是基小波或稱為母小波函數(shù)（motherwavelet），則小波變換的時(shí)域表示：稱為f(t)的小波變換。式中a>0是尺度因子，反映位移，其值可正可負(fù)，即

∈R。CWT：continuouswavelettransform

第四十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日502.連續(xù)小波變換的物理意義：Fourier變換可表示為物理意義：任意一個(gè)信號(hào)可表示為不同頻率的正弦波的線性疊加，積分核(核函數(shù)/變換核)為ejωt，如圖所示。小波變換表示為：物理意義：任意一個(gè)信號(hào)可表示為不同頻率的小波的線性疊加，積分核（核函數(shù)/變換核）為小波基(t)。第五十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日51圖

不同頻率的正弦波的線性疊加第五十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日523.尺度因子a的作用：①將基小波ψ(t)作伸縮，a越大ψ(t/a)越寬。對(duì)一個(gè)持續(xù)時(shí)間有限的小波，ψ(t)與ψa(t)間的關(guān)系如圖所示。不同尺度下小波的支撐區(qū)間a加大而變寬，幅度則與圖成反比減小，但波形不變。圖表示不同a值下小波分析區(qū)間的變化。圖圖第五十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日53②小波

前的尺度因子使不同a值下ψa(t)的能量守恒。簡(jiǎn)單證明如下：設(shè)是基小波的能量，則ψa(t)的能量為令：，則有證畢第五十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日544.小波變換的頻率特性：小波變換的頻域表示為①若()是幅頻特性較為集中的帶通函數(shù)，則小波變換具有描述信號(hào)f(t)在頻域上F()局部特性的能力。證明（略）例如，Morlet小波的頻譜它是中心頻率在0的高斯型函數(shù)，如圖所示，只要改變0，小波就可描述F()在0附近的局部特性。第五十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日55圖5.4.4不同尺度下的小波頻率特性第五十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日56②不同a值的(a)，雖然中心頻率和帶寬都不同，但品質(zhì)因數(shù)不變（小波函數(shù)具有恒Q性），圖表示不同a值下小波變換的頻率范圍。從頻率上看，用不同尺度a作小波變換等同于用一組帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。舉例說明：Morlet小波，當(dāng)a=2時(shí)，(t/2)的傅里葉變換是可見，中心頻率由0降到0/2，帶寬由降到。第五十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日57圖5.4.5不同a值下小波的頻率范圍小大小大第五十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日58紅（高頻）藍(lán)（中頻）綠（低頻）紅藍(lán)綠第五十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日59+0-小大a值ψ(t)由粗到精地逐級(jí)觀察（表示）信號(hào)；可看成采用基頻為Ψ(ω)的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)作濾波圖補(bǔ)充對(duì)信號(hào)進(jìn)行細(xì)節(jié)分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行全貌分析大小值鏡頭的濾波或卷積第五十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日60第六十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日61實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：①?gòu)念l域來看，用不同尺度作小波變換等同于用一組帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。②結(jié)合上述分析，小波變換在時(shí)-頻平面上的基本分析單元如圖所示，當(dāng)a值小時(shí)，時(shí)軸上觀察范圍小，而在頻域上相當(dāng)于用高頻作分辨率較高的分析，即用高頻小波作細(xì)節(jié)觀察。③當(dāng)a值大時(shí)，時(shí)軸上觀察范圍大，而在頻域上相當(dāng)于用低頻作分辨率較低的分析，即用低頻小波作概貌觀察。④雖然分析頻率有高有低，但在各頻段內(nèi)分析的品質(zhì)因數(shù)Q保持不變。第六十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日62圖5.4.6典型小波函數(shù)分析特點(diǎn)(a)尺度變化的影響(b)基本分析單元的特點(diǎn)a小a大高頻小波作細(xì)節(jié)觀察低頻小波作概貌觀察分析頻率有高有低，但在各頻段內(nèi)的品質(zhì)因數(shù)Q不變。第六十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日63第六十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日641Q2=50Q3=100Q1=20Q越大，諧振曲線越尖銳1諧振曲線Q3=100Q2=50Q1=20Q越大，相頻曲線越陡峭。諧振頻率附近，相頻特性曲線近似為直線。1第六十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日65結(jié)論（1）：小波這一特性正好符合很多實(shí)際工程的需要。若需要在時(shí)域上觀察的越細(xì)致，就越要縮短觀察范圍，以提高分析頻率，這一點(diǎn)與人類視覺特點(diǎn)一致。結(jié)論（2）：生理學(xué)研究表明，聽覺起關(guān)鍵作用的耳蝸基底膜，其作用相當(dāng)于一組具有恒Q特性的帶通濾波器。結(jié)論（3）：人類生理信號(hào)的高頻分量持續(xù)時(shí)間較短，低頻分量持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，這一特性與小波變換完全吻合。第六十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日665.4.2連續(xù)小波變換的數(shù)學(xué)特性小波變換是以(t)為核函數(shù)對(duì)f(t)的線性變換。其基本特性為：1.疊加性：若x(t)的CWT為WTx(a,)，y(t)的CWT為WTy(a,)，則有z(t)=k1x(t)+k2y(t)的CWT是k1WTx(a,)+k2WTy(a,)。2.時(shí)移性：若f(t)的CWT是WTf(a,)，則f(t-t0)的CWT是WTf(a,-t0)。3.尺度轉(zhuǎn)換：若f(t)的CWT是WTf(a,)，則f(t/)的CWT為物理意義：當(dāng)信號(hào)f(t)作某一倍數(shù)伸縮時(shí)，則小波變換在a，兩軸上也作同一比例的伸縮，不發(fā)生形狀失真。這是使小波變換成為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的重要依據(jù)。第六十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日674.無交叉項(xiàng)：由于CWT是線性變換，滿足疊加性，因此不存在交叉項(xiàng)。但它的能量分布函數(shù)|WTx(a,)|2仍有交叉項(xiàng)，設(shè)x(t)=x1(t)+x2(t)，則有|WTx(a,)|2=|WTx1(a,)|2+|WTx2(a,)|2+2|WTx1(a,)||WTx2(a,)|cos(x1-x2)式中，x1，x2為WTx1（a，），WTx2（a，）的幅角。說明：小波變換的交叉項(xiàng)只出現(xiàn)在WTx1和WTx2同時(shí)不為零的（a，）處，即兩者互相交疊的區(qū)域，小波有抑制交叉項(xiàng)的作用。第六十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日685.小波變換的內(nèi)積定理：以基本小波(t)分別對(duì)x(t),y(t)作小波變換。設(shè)x(t)的CWT是：WTx(a,)=<x(t),a(t)>；設(shè)y(t)的CWT是：

WTy(a,)=<y(t),a(t)>其中第六十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日69則有其中這就是小波變換的內(nèi)積定理，也叫Moyal定理。上式也可寫成：第2個(gè)內(nèi)積次序?qū)φ{(diào)反映了取共軛。第六十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日70證明：首先根據(jù)巴塞瓦爾定理的廣義形式：則有另外的FT為其共軛為：第七十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日71將（iii）和（iv）代入（i）和（ii），再把式（i）、（ii）代入式（）的左邊，并考慮可得設(shè)中括號(hào)內(nèi)的積分存在，即第七十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日72則上式最后成為由證明可知，內(nèi)積定理成立是以c存在為條件。又由于＇=a，而a值非負(fù)，因此存在條件可以用精確的數(shù)學(xué)語言寫為第七十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日73引言：小波變換與其他常用變換（傅立葉變換，拉氏變換）的主要區(qū)別是，沒有固定的核函數(shù)，且不是任何函數(shù)都可作小波變換的基小波ψ。在工程應(yīng)用中，任何變換都必須在存在反變換才有意義，但反變換不一定都存在。對(duì)小波變換而言，必須滿足“容許條件”,反變換才存在。5.5小波變換的反演及小波的基本條件第七十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日745.5.1容許條件（admissibilitycondition）當(dāng)時(shí)，才能使小波變換WTf(a,τ)反演出源函數(shù)f(t)。此時(shí)第七十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日75由容許條件導(dǎo)出的結(jié)論：基小波必須滿足“零特性”，即(=0)=0，也就是說()必須具有帶通特性，且(t)必須是正負(fù)交替的振蕩波形，使得其平均值為零，因此稱為小波（wavelet）。證明：()第七十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日765.5.2能量的比例性（isometryenergy）由Moyal公式能引出類似于巴塞瓦爾定理的關(guān)系，即小波變換幅度平方的積分和信號(hào)的能量成正比。證明略第七十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日775.5.3正則性條件（regularitycondition）一般來講，滿足容許條件的ψ就可作為基小波，但實(shí)際應(yīng)用中，還需要附加更強(qiáng)的條件，即正則性條件，以使()在頻域上具有更好的局部特性，因此要求|WTf（a，τ）|隨a的減小而迅速減小。這就要求ψ(t)的前n階原點(diǎn)矩=0，且n值越大越好，數(shù)學(xué)表示為這個(gè)要求在頻域表示為()在=0處有高階零點(diǎn)，且階次越高越好，其一階零點(diǎn)就是容許條件，即n又稱為消失矩（vanishingmoments）

。

第七十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日78式（）和（）為正則性條件（時(shí)域和頻域的兩種表示）。證明：由于將f(t)在t=處作泰勒級(jí)數(shù)展開，有僅取上式的前n項(xiàng)可得第七十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日79即式中，若p=0為容許條件M0=0；進(jìn)一步p=1~n,Mp=0，則WTf(a,)將隨著a的減小以不低于的速度減小。命題得證。第七十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日80(5.5.1)和(5.5.2)的等效性的示意性說明：由于第八十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日81因此，等效于即：結(jié)論：正則性條件消除了f(t)多項(xiàng)式展開中tp（pn）各項(xiàng)在小波變換中的貢獻(xiàn)，以便突出信號(hào)的高階起伏和高階導(dǎo)數(shù)中可能存在的奇異點(diǎn)，即小波變換可描述信號(hào)的高階變化。第八十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日825.5.4重建核（reproducingkernel）與重建核方程重建核方程是小波變換的另一個(gè)重要性質(zhì)，它說明小波變換的冗余性。即：在a-τ半平面上各點(diǎn)小波變換的值是相關(guān)的。半平面某點(diǎn)（a0,τ0）處的小波變換WTf(a0,τ0)可以表示成半平面（a∈R+，τ∈R）上其他各點(diǎn)處WT值的總貢獻(xiàn)（contribution）：第八十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日83Kψ是小波ψaτψa0τ0的內(nèi)積，它反映了兩者的相關(guān)程度，稱為重建核，式（5.5.4）稱為重建核方程。式中，第八十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日84證明：由小波變換和反變換的定義式可得將下式代入上式得則它為式（5.5.4）和（5.5.5），證畢。重建核第八十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日85DWT變換WTf(a0,0)第八十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日86例如K=（-0，a-a0），此時(shí)a-半平面內(nèi)各點(diǎn)的小波變換互不相關(guān)，小波變換所含信息無冗余，此時(shí)不同尺度和不同位移的小波互相正交。結(jié)論：K反映了a(t)和a00(t)的相關(guān)性。若a=a0，=0時(shí)K取得最大值，即相關(guān)性最大；若（a，）偏離（a0，0）時(shí)WTf(a,)衰減較快，兩者的相關(guān)區(qū)域較小。第八十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日871.Morlet小波：它是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)：如圖所示（0=6）。實(shí)線代表實(shí)部，虛線代表虛部。由于它的時(shí)、頻兩域的局部性能都較好，是一個(gè)常用小波。另外，Morlet小波不滿足容許條件（(=0)≠0）（嚴(yán)格講它也不是緊支撐），但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)只要取0≥5時(shí)近似滿足容許條件。此時(shí)，由于()在=0處斜率較小，故()在=0處的一階、二階導(dǎo)數(shù)近似為零。5.6常見的基本小波第八十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日88圖5.6.2Morlet小波第八十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日89圖5.6.1Morlet小波第八十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日902.Marr小波（墨西哥草帽小波）：它是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（但差一個(gè)負(fù)號(hào)），即但為滿足(t)歸一，即，也可使用下面的歸一化形式：在=0時(shí)()有二階零點(diǎn)，故滿足容許條件，且隨增大而迅速衰。另外，Marr小波比較接近人類視覺特性。第九十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日91圖5.6.3Marr小波第九十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日923.DOG(differenceofgaussian)小波：是兩個(gè)差一倍的高斯函數(shù)之差：DOG小波滿足容許條件，，即DOG小波在=0處有二階零點(diǎn)。第九十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日93圖5.6.4DOG小波第九十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日944.Haar小波：Haar函數(shù)是一組相互正交歸一的函數(shù)集。Harr小波是由它衍生而得的。Haar小波是支撐域[0，1]內(nèi)的單個(gè)矩形波。即由于，因此()在=0處只有一階零點(diǎn).分析：Haar小波時(shí)域不連續(xù)，因此作為基小波性能并不理想，但它主要的優(yōu)點(diǎn)有，計(jì)算簡(jiǎn)單；(t)不但與(2jt)[jZ]正交[

],而且也與自己的整數(shù)位移[]正交。因此，在a=2j的多分辨系統(tǒng)中構(gòu)成一組最簡(jiǎn)單的正交歸一小波族。第九十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日955.樣條小波（splinewavelet）:樣條函數(shù)在曲線擬合中不僅使擬合出的曲線本身平滑且其導(dǎo)數(shù)也平滑。樣條函數(shù)是低通函數(shù)，不是帶通函數(shù)，不能用作小波。但由樣條函數(shù)卻能導(dǎo)出一組具有帶通性質(zhì)的小波變換。三次樣條函數(shù)在任意兩整數(shù)k和k+1之間可用一個(gè)三次多項(xiàng)式表示，整個(gè)曲線一次連續(xù)可微。三次樣條小波的時(shí)域表示較為復(fù)雜，其頻域表示式為：∑8（）是的6階導(dǎo)數(shù)，三次樣條小波在=0處有三階零點(diǎn)。第九十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日96圖5.6.5三次樣條小波第九十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日976.Daubechies小波:尺度為2的整數(shù)冪（a=2j,j∈Z+）的小波變換，具有以下特點(diǎn)。①時(shí)域上有限支撐，即ψ(t)長(zhǎng)度有限，且其高階原點(diǎn)距tpψ(t)dt=0,p=0~N,N值越大，ψ(t)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)。②在頻域上()在=0處有N階零點(diǎn)。③ψ(t)和它的整數(shù)位移正交歸一，即ψ(t)ψ(t-k)dt=δk。第九十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日98小波函數(shù)的主要性質(zhì)：①小波函數(shù)ψ(t)可以由尺度函數(shù)（scalingfunction）(t)求得。(t)長(zhǎng)度有限，支撐區(qū)間在t=0（2N-1）范圍內(nèi)，例如N=2，(t)在0

3。圖給出了不同N值下的(t)的波形。②(t)是φ(2t)的移位加權(quán)和，K值從（2-2N）1。N值不同權(quán)值gk也不同。由于(t)是有限支撐，故由式（）得到的ψ(t)也是有限支撐，且它的長(zhǎng)度與(t)相同，是2N-1，始于1-N，終于N.③尺度函數(shù)(t)是低通函數(shù)，求法后述。圖為N=2，3，5，7，9時(shí)的(t)和(t)的波形圖，它們很難用解析表示。第九十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日99t=0（2N-1）(1-N，N)第九十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日100圖6.5.6各階Daubechies小波(t)和相應(yīng)尺度函數(shù)φ(t)t=0（2N-1）(1-N，N)第一百頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日101Daubechies16階Daubechies11階雙正交6.8Meyer第一百零一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日102一維信號(hào)f(t)作小波變換成為二維的WTf(a,)后，其信息是有冗余的。根據(jù)數(shù)據(jù)壓縮（去冗余）和降低計(jì)算復(fù)雜度的要求，期望只在一些離散的尺度a和位移處計(jì)算小波變換，且又不丟失信息。為此，下面討論離散柵格的取法及其正反變換。5.7離散小波變換第一百零二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日1031.尺度離散化：一般是對(duì)尺度按冪級(jí)數(shù)離散化。即令則小波函數(shù)為2.位移離散化：當(dāng)a=a00=1（j=0）時(shí)，可以某一基本間隔0作均勻采樣。0應(yīng)適當(dāng)選擇以使信息覆蓋全軸而不丟失（例如：不低于Nyquist頻率）。在其他各尺度下,由于的寬度是(t)的a0j倍，相當(dāng)于其頻率降低了a0j倍。第一百零三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日104即：在某一j值下沿軸以為間隔作均勻采樣仍可保證信息不丟失，這樣小波函數(shù)a(t)便可寫成：記為。在a-半平面的這些離散點(diǎn)的小波變換為式（）一般稱為離散小波變換（discretewavelettransform,DWT）。其實(shí)，此時(shí)的待分析信號(hào)f(t)和分析小波中的時(shí)間變量t并沒有離散化，因此嚴(yán)格講是離散柵格下的小波變換。第一百零四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日105工程應(yīng)用：最常見的情況是取a0=2,因此a為20,21,22,…,2j.若采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并以ln2為坐標(biāo)單位，則尺度因子和位移因子如圖所示。在a=2j時(shí),沿τ軸的采樣間隔為2jτ0，即j每增加1，則采樣間隔擴(kuò)大1倍。a-平面內(nèi)的采樣點(diǎn)如上圖所示。此時(shí)ψaτ(t)為：當(dāng)τ軸用τ0加以歸一時(shí)，即令τ0=1，則ψaτ(t)為則小波變換為：第一百零五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日106圖-1-2-3-4-5-6a圖第一百零六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日107

離散小波變換的定義待處理的信號(hào)基底，“濾波鏡片”共軛第一百零七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日108小波基底的基本運(yùn)算縮放(Scaling)分析高頻成分分析低頻成分不同的j第一百零八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日109小波基底的基本運(yùn)算平移(shifting)相同的j，不同的kF(j,k1)=0.0001F(j,k2)=3.5000時(shí)刻k1時(shí)刻k2原始信號(hào)第一百零九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日110小波變換舉例時(shí)間k尺度j(頻率)第一百一十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日111小波變換舉例第一百一十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日112小波框架的引出：①能否完整地表征f(t)?即：能否由的數(shù)值穩(wěn)定地重建信號(hào)f(t)？②任意函數(shù)f(t)都可以表示成以為基本單元的加權(quán)和？如果答案是肯定的，權(quán)值cjk如何求？這兩個(gè)問題的答案是統(tǒng)一的，它們將建立在數(shù)學(xué)上所謂的“框架理論”（frametheory）基礎(chǔ)上的。第一百一十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日113霍金教授的辦公室（劍橋大學(xué)）“我的書每增加一個(gè)公式，讀者就減少一半”——霍金教授第一百一十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日114

Who’swhoinWavelet!I.DaubechiesS.MallatWimSwelden第一百一十四頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日115Daubechies介紹IngridDaubechies是普林斯頓大學(xué)(PrincetonUniversity)數(shù)學(xué)系和應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)研究中心教授。她曾在布魯塞爾(Brussels)的佛雷大學(xué)(FreeUniversity)理論物理系工作，后任著名的AT&T貝爾實(shí)驗(yàn)室高級(jí)研究員，是盧特格大學(xué)(RutgersUniversity)數(shù)學(xué)系的教授(FullProfessor)。她曾獲得1997年RuthLyttleSatter數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。她頻繁應(yīng)邀到世界各地作學(xué)術(shù)報(bào)告，發(fā)表了大量學(xué)術(shù)論文，出版了許多學(xué)術(shù)著作。第一百一十五頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日116小波分析的參考書榮獲1994年LeroyP．Steele獎(jiǎng)。該書印數(shù)超過15000冊(cè)，這在學(xué)術(shù)著作中是極為罕見的。ISBN：7-118-03381-2作者：Daubechies,李建平，楊萬年譯

第一百一十六頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日117小波分析的參考書信號(hào)處理的小波導(dǎo)引（英文版·第2版）

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ISBN：7-111-12768作者：S.Mallat

第一百一十七頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日118小波分析的參考書信號(hào)處理的小波導(dǎo)引（原書第2版）AWaveletTourofSignalProcessing

ISBN：7-111-10159-6作者：S.Mallat

譯者：楊力華第一百一十八頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日119Frame：Grossman,Morlet5.8.1框架的概念先定義一個(gè)線性變換[Tf]j=<f(t),j(t)>,簡(jiǎn)記作<f,j>,j∈Z.當(dāng)時(shí)，則此時(shí)的變換為小波變換。若能用Tf表征f，則此變換至少需滿足以下兩個(gè)條件：①變換的唯一性：若f1=f2,則Tf1=Tf2②

正變換的連續(xù)性：若f1與f2很接近，則Tf1=<f1,j>(j∈Z)與Tf2=<f2,j>(j∈Z)也很接近。5.8框架理論第一百一十九頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日120令f=f1-f2代入上式可得當(dāng)f1與f2很接近時(shí)，將任意小，因此任意小，即Tf1與Tf2很接近。③反變換的連續(xù)性若要求上述變換的反變換也連續(xù)，則需要滿足：當(dāng)<f1,j>(j∈Z)與<f2,j>(j∈Z)十分接近時(shí)，f1與f2也十分接近，則要求：數(shù)學(xué)描述為：第一百二十頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日121由（i）（ii）兩式可得：合理的變換Tf滿足以上三個(gè)條件。由式（）要求的[j|j∈Z]便稱為一個(gè)框架（frame）?？蚣艿牡暮x：①范數(shù)║f║0的任意函數(shù)，其在框架上的投影<f,j>至少有一個(gè)不等于零。②范數(shù)║f║的函數(shù)，其在框架上各投影的平方和有界。第一百二十一頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日122當(dāng)A=B時(shí)稱為緊框架(tightframe)：當(dāng)A=B=1時(shí)：式（）是正交變換的能量守恒特性，且此時(shí)的j組成一組正交基注意：滿足式（）的框架[j，j∈Z]不一定滿足正交條件。第一百二十二頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日123舉例：設(shè),如圖所示，并設(shè)f=[f1,f2],則有：可見1,2,3構(gòu)成一個(gè)緊框架，但由于它們不是線性無關(guān)，故不構(gòu)成正交基，即：1+2+3=0。不過還是可以由<f,j>,j=1,2,3重建f，即：框架不正交，故重建關(guān)系式（iii）不具有唯一性。第一百二十三頁(yè)，共一百三十九頁(yè)，2022年，8月28日124例如，上例中由于，故下式也成立k是任意常數(shù)。又由于，故有結(jié)論：把f按式（iii）作分解，分解系數(shù)的