2021數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案板塊1命題區(qū)間精講精講18中的數(shù)學(xué)文化題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021新高考數(shù)學(xué)（山東專用）二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：板塊1命題區(qū)間精講精講18高考中的數(shù)學(xué)文化題含解析高考中的數(shù)學(xué)文化題命題點(diǎn)1數(shù)學(xué)名著［高考題型全通關(guān)］1．(2020·菏澤模擬)南北朝時期的數(shù)學(xué)古籍《張丘建算經(jīng)》中有如下一道題：“今有十等人,大官甲等十人官賜金,依等次差（即等差)降之,上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更給．”問：每一等人比下一等人多得幾斤金?（)A．eq\f(4,39）斤B．eq\f（7,78)斤C．eq\f（7,76)斤D．eq\f（5,81）斤B［設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d(d>0),則每一等人比下一等人多得d斤金，由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＋a2＋a3＋a4＝3，，a8＋a9＋a10＝4，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，，3a1＋24d＝4，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(8,13)，，d＝\f(7，78）,）)所以每一等人比下一等人多得eq\f（7,78)斤金．故選B．］2．（2020·衡陽模擬)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提及如下問題：今有銀一秤一斤十兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之．其意思是:現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、丙三人，他們?nèi)嗣恳粋€人所得是前一個人所得的一半．若銀的數(shù)量不變，按此法將銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀(規(guī)定:1秤＝10斤，1斤＝10兩)（)A．eq\f（266,127)兩B．eq\f（889,127）兩C．eq\f（840,31）兩D．eq\f（1111，31）兩C［一秤一斤十兩共120兩，將這5人所得銀的數(shù)量由小到大排列，記為數(shù)列{an｝，則{an｝是公比q＝2的等比數(shù)列，于是得S5＝eq\f（a11－q5，1－q)＝eq\f（a11－25,1－2)＝120，解得a1＝eq\f（120,31）。故得銀最少的3個人一共得銀的數(shù)量為a1＋a2＋a3＝eq\f（120，31)×(1＋2＋22)＝eq\f(840,31）(兩）．故選C．］3．《算法統(tǒng)宗》的全稱是《新編直指算法統(tǒng)宗》,是中國古代數(shù)學(xué)名著,由程大位著．書中有如下表述:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢，戊得五兩六錢，乙、丙、丁次第均之．”意思是:有甲、乙、丙、丁、戊5人按順序分40兩銀子,甲分得10兩4錢，戊分得5兩6錢，且相鄰兩人分得的銀子數(shù)量的差相等．則乙、丙、丁各分得幾兩幾錢?（注：1兩等于10錢)()A．乙分得8兩，丙分得8兩，丁分得8兩B．乙分得8兩2錢，丙分得8兩，丁分得7兩8錢C．乙分得9兩2錢，丙分得8兩，丁分得6兩8錢D．乙分得9兩，丙分得8兩，丁分得7兩C[根據(jù)題意,可得甲、乙、丙、丁、戊所分得的銀子數(shù)量成等差數(shù)列｛an}，設(shè)公差為d，前n項和為Sn，則a1＝10.4，a5＝5.6,S5＝40。所以a5＝a1＋4d＝5。6，即10。4＋4d＝5。6，解得d＝－1.2.可得a2＝a1＋d＝10.4－1.2＝9。2,a3＝a1＋2d＝10.4－1.2×2＝8，a4＝a1＋3d＝10。4－1。2×3＝6。8.所以乙分得9兩2錢、丙分得8兩，丁分得6兩8錢．故選C．］4．（2020·江淮十校第二次聯(lián)考)塹堵、陽馬、鱉臑出自中國古代名著《九章算術(shù)·商功》，其中陽馬、鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱呼．取一長方體，如圖(1）中的長方體ABCD.A1B1C1D1，沿平面ABC1D1斜切，一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵．如圖（2),再沿平面D1BC切開，得四棱錐和三棱錐各一個,其中四棱錐D1。ABCD以矩形ABCD為底,棱DD1與底面垂直，稱為陽馬，余下的三棱錐D1。BCC1是四個面均為直角三角形的四面體，稱為鱉臑．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4,BC＝3，AA1＝2，按以上操作得到陽馬,則該陽馬的最長棱長為()(1）（2)A．2eq\r(5)B．5C．eq\r（29）D．4eq\r（2)C[根據(jù)題意得,該陽馬的最長棱長為D1B＝eq\r（4＋9＋16）＝eq\r（29)。故選C．]5．(2020·吉林長春外國語學(xué)校期中）中國有個名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代用算籌（即幾寸長的小棍）擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式,如圖所示．當(dāng)表示一個多位數(shù)時，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、萬位上的數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式表示，以此類推．例如3266用算籌表示就是,則8771用算籌可表示為（)中國古代的算籌數(shù)碼A． B．C． D．A[根據(jù)題意得，個位、百位、萬位上的數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式表示，所以8771用算籌可表示為.故選A．］6．如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖．現(xiàn)在提供6種不同的顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同，則A,C區(qū)域涂同色的概率為（）A．eq\f（2，7）B．eq\f（5，7)C．eq\f（9，13）D．eq\f（4，13）D［按A,C區(qū)域是否涂同色分兩類．①A,C區(qū)域涂同色．第一步：涂A，C區(qū)域，共有6種不同的方法．第二步：涂B區(qū)域，共有5種不同的方法．第三步:涂E和D區(qū)域,按E，B同色和不同色分兩類．若E與B同色，則E有1種涂法，D有4種涂法，共有4種不同的方法，若E與B不同色，則E有4種涂法,D有3種涂法，共有12種不同的方法．所以A,C區(qū)域涂同色的方法數(shù)為6×5×(4＋12）＝480（種）．②A，C區(qū)域涂不同色．第一步:涂A，C區(qū)域,共有Aeq\o\al(2,6)＝30(種)不同的方法．第二步：涂B區(qū)域，共有4種不同的方法．第三步:涂E和D區(qū)域,按E，B同色和不同色分兩類．若E與B同色，則E有1種涂法，D有3種涂法，共有3種不同的方法．若E與B不同色，則E有3種涂法，D有2種涂法，共有6種不同的方法．所以A，C區(qū)域涂不同色的方法數(shù)為30×4×(3＋6)＝1080（種)．綜上,每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，共有480＋1080＝1560(種)不同的方法．故A,C區(qū)域涂同色的概率P＝eq\f(480，1560）＝eq\f(4,13)。故選D．]7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一道著名的“引葭赴岸"問題：“今有池方一丈，葭生其中央,出水一尺．引葭赴岸,適與岸齊．問水深、葭長各幾何?”其意思為：“今有一個底面為正方形的長方體水池,且底面邊長為1丈（注：1丈＝10尺)，蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水面齊平，如圖所示．問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”設(shè)∠DEF＝θ，則taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(θ,2）＋\f（π，4)））＝(）A．3B．4C．5D．6C［設(shè)水深為x（單位：尺），則蘆葦長為x＋1，故(x＋1）2＝x2＋25,所以x＝12，從而tanθ＝eq\f（12，5)，所以eq\f（2tan\f(θ,2)，1－tan2\f(θ,2））＝eq\f（12，5)，解得taneq\f(θ,2）＝eq\f（2，3）或taneq\f(θ,2)＝－eq\f（3,2）（舍去)，所以taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（θ，2）＋\f(π，4）））＝eq\f（tan\f（θ,2)＋1,1－tan\f（θ,2)）＝eq\f(\f（2，3)＋1,1－\f(2,3））＝5，故選C．]8．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積＝eq\f（1，2）(弦×矢＋矢2),弧周（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π，3),半徑等于4m的弧田,按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（)A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2B［如圖，由題意可得∠AOB＝eq\f（2π，3),OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f（π，3）,∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1，2）AO＝eq\f（1,2)×4＝2，于是矢＝4－2＝2。由AD＝AO·sineq\f（π,3）＝4×eq\f（\r（3)，2）＝2eq\r（3)，可得弦長AB＝2AD＝2×2eq\r（3）＝4eq\r（3）.所以弧田面積＝eq\f(1，2）(弦×矢＋矢2)＝eq\f（1，2)×（4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r（3）＋2≈9(m2)．故選B．]命題點(diǎn)2數(shù)學(xué)名人［高考題型全通關(guān)］1．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．"意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線C:y＝x2，直線為曲線C在點(diǎn)(1,1）處的切線．如圖所示,陰影部分為曲線C、直線以及x軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為T.給出以下四個幾何體：①②③④圖①是底面直徑和高均為1的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長和高均為1的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為2,下底面直徑為1,高為1的圓臺挖掉一個底面直徑為2，高為1的倒置圓錐得到的幾何體．根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與T的體積相等的是()A．①B．②C．③D．④A［∵幾何體T是由陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，所以橫截面為環(huán)形，且等高的時候,拋物線對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，切線對應(yīng)的橫坐標(biāo)為x2，f（x）＝x2,f′(x）＝2x，∴k＝f′（1)＝2,切線方程為y－1＝2（x－1）,即y＝2x－1，∴xeq\o\al(2，1）＝y(tǒng)，x2＝eq\f(y＋1,2），橫截面面積S＝πxeq\o\al（2，2）－πxeq\o\al（2，1）＝πeq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(y＋12,4)－y)）＝πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(y－1,2))）eq\s\up12（2）圖①中的圓錐高為1，底面半徑為eq\f(1,2）,可以看成由直線y＝2x＋1繞y軸旋轉(zhuǎn)得到,橫截面的面積為S＝πx2＝πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（y－1，2）））eq\s\up12（2)。所以幾何體T和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等,所以二者體積相等，故選A．]2．為推導(dǎo)球的體積公式，劉徽制造了一個牟合方蓋（在一個正方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，這兩個圓柱的公共部分叫做牟合方蓋),但沒有得到牟合方蓋的體積。200多年后，祖暅給出牟合方蓋的體積計算方法，其核心過程被后人稱為祖暅原理：冪勢既同，則積不容異．意思是,夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面間的任意平面所截，如果截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積也相等．現(xiàn)在截取牟合方蓋的八分之一，它的外切正方體的棱長為1，如圖(1）所示,圖（2）中的正方體ABCD.A1B1C1D1的棱長為1，兩圖中陰影部分所在平面平行于正方體的下底面,且與下底面之間的距離相等,根據(jù)以上信息，則該牟合方蓋的體積為（)圖(1)圖（2）A．eq\f（8,3)B．eq\f(16，3）C．eq\f(4，3)D．eq\f(4π,3）B[由題意,設(shè)題圖（1)、題圖(2)中陰影部分所在的平面與正方體下底面間的距離為h（0＜h＜1)．記題圖（1）中陰影部分的面積為S1，題圖(2）中陰影部分的面積為S2，易知S1＝h2,S2＝h2，S1＝S2，設(shè)牟合方蓋的八分之一的體積為V1,由祖暅原理知，V1＝Veq\s\do6(正方體ABCD。A1B1C1D1）－Veq\s\do6(四棱錐C1-ABCD），易知Veq\s\do6（正方體ABCD。A1B1C1D1)－Veq\s\do6（四棱錐C1。ABCD）＝1－eq\f(1,3）＝eq\f(2,3），所以牟合方蓋的體積V＝8×eq\f（2,3）＝eq\f(16,3)，故選B．］3．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知e4i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C［由歐拉公式eix＝cosx＋isinx，可得e4i＝cos4＋isin4.∵π＜4＜eq\f（3π，2）,∴cos4＜0,sin4＜0，∴e4i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限．］4．(2020·福建師大附中模擬）17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過:“幾何學(xué)里有兩件寶，一件是勾股定理,另一件是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形）．如圖所示的五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，在其中一個黃金三角形ABC中，eq\f（BC，AC）＝eq\f（\r（5)－1,2）。根據(jù)這些信息，可得sin234°＝()A．eq\f（1－2\r(5），4） B．－eq\f（3＋\r(5），8)C．－eq\f（\r（5）＋1,4) D．－eq\f(4＋\r(5），8)C[由題意可得∠ACB＝72°，且cos72°＝eq\f（\f(1，2)BC，AC)＝eq\f(\r(5)－1，4），所以cos144°＝2cos272°－1＝－eq\f（\r(5）＋1,4），所以sin234°＝sin（144°＋90°）＝cos144°＝－eq\f（\r（5）＋1,4）.故選C．］5．?dāng)?shù)列{an｝：1，1，2，3，5，8，13，21，34,…稱為斐波那契數(shù)列,它是由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例子引入的,故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第3項開始，每項等于其前相鄰兩項之和，即an＋2＝an＋1＋an，記數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，則下列結(jié)論中正確的是(）A．S2019＝a2020＋2 B．S2019＝a2021＋2C．S2019＝a2020－1 D．S2019＝a2021－1D[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a3－a2)＋（a4－a3)＋（a5－a4)＋…＋(an＋2－an＋1）＝an＋2－a2＝an＋2－1，所以S2019＝a2021－1，故選D．］6．最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人是我國西周數(shù)學(xué)家商高，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理．如圖所示,△ABC滿足“勾三股四弦五”,其中股AB＝4，D為弦BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且△ABD滿足勾股定理，則eq\o(AB，\s\up8(→)）·eq\o（AD，\s\up8（→)）＝（）A．eq\f(25，144）B．eq\f（25,169)C．eq\f（169，25)D．eq\f(144,25）D[根據(jù)題意得，AC＝3，AB＝4，BC＝5。因為△ABD滿足勾股定理，所以AD⊥BC．則可得AD＝eq\f（3×4,5）＝eq\f（12，5），所以eq\o（AB，\s\up8（→)）·eq\o（AD,\s\up8（→)）＝|eq\o(AB,\s\up8(→))｜·|eq\o(AD，\s\up8(→））|·cos<eq\o(AB，\s\up8(→）），eq\o(AD，\s\up8(→)）〉＝|eq\o(AB，\s\up8（→)）｜·|eq\o（AD,\s\up8(→））｜·cos∠DAB＝|eq\o(AB，\s\up8(→))|·|eq\o（AD,\s\up8(→)）|·eq\f(|\o(AD,\s\up8（→））|，｜\o（AB，\s\up8(→）)|)＝|eq\o（AD,\s\up8(→))｜2＝eq\f(144，25）。故選D．]7．（2020·江淮十校第二次聯(lián)考)阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家,他與阿基米德、歐幾里得齊名，以他的名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為定值λ（λ＞0,λ≠1）的動點(diǎn)的軌跡．已知在△ABC中，角A,B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為()A．eq\r（2）B．eq\r（3）C．eq\f（4,3）D．eq\f（5，3）C[因為sinA＝2sinB,所以由正弦定理得a＝2b.因為acosB＋bcosA＝2，所以由余弦定理得a·eq\f（a2＋c2－b2，2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2，2bc)＝2，解得c＝2.由題意得，點(diǎn)C的軌跡為一阿波羅尼斯圓，如圖,由題意得，阿波羅尼斯圓的直徑是PQ，O為圓心，且eq\f(PB，PA）＝2,eq\f（QB，QA)＝2.因為c＝2,即AB＝2，所以AQ＝2,PA＝eq\f（1,3）AB＝eq\f（2,3),所以PQ＝eq\f(8，3），PO＝eq\f（1，2）PQ＝eq\f(4，3），故阿波羅尼斯圓的半徑為eq\f（4，3）,即邊AB上的高的最大值