2022年浙江各地中考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編專題10 四邊形（含詳解）

專題10四邊形

一、單選題

1.（2022?浙江嘉興）如圖，在AABC中，A8=AC=8,點(diǎn)E,尸,G分別在邊A8,BC,AC上，EF//AC,GF//AB,

則四邊形A￡FG的周長(zhǎng)是（）

B.24C.16D.8

2.（2022?浙江麗水）如圖，在AABC中，D,E,尸分別是8C,AC,A8的中點(diǎn).若AB=6,BC=8,則四邊形BDEF

的周長(zhǎng)是（）

3.（2022?浙江麗水）如圖，已知菱形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,E是8c的中點(diǎn)，AF平分NE4D交CD于點(diǎn)凡FG"AD交

C半D.|

4.（2022?浙江紹興）如圖，在平行四邊形43CO中，4）=243=2,ZABC=6O。，E,尸是對(duì)角線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，

且尸，M,N分別是邊A。，邊BC上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說法：①存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；②存在無(wú)

數(shù)個(gè)矩形MENF；③存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形MENF；④存在無(wú)數(shù)個(gè)正方形MENF.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

5.（2022?浙江紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一

條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片438,其中4=90。，

AB=9,BC=7,CD=6,45=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）

35

C.10D.

B禧T

6.（2022?浙江湖州）如圖，已知3。是矩形A3C。的對(duì)角線，AB=6,BC=8,點(diǎn)￡尸分別在邊AO,3c上，連

結(jié)BE,DF.將沿8E翻折，將△DCT沿。尸翻折，若翻折后，點(diǎn)A,。分別落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)G,H處,

連結(jié)G立則下列結(jié)論不至哪的是（）

A.BO=10B.HG=2C.EG//FHD.GFIBC

7.（2022.浙江嘉興）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥.如

圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形A9CD,形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D,

3'之間的距離為（）

B.2cmC.(0—l)cmD.(2V2-l)cm

8.（2022?浙江溫州）如圖，在^aABC中,ZACB=90°以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)。尸，作GMLC尸于

點(diǎn)M,BJ上GM于點(diǎn)J,AK上BJ于點(diǎn)、K,交CF于點(diǎn)L.若正方形ABG尸與正方形JKLM的面積之比為5,

CE=M+?,則CH的長(zhǎng)為（）

3+小

C.272D.回

2

9.（2022?浙江寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形A8CO內(nèi),

其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積C.AB砂的面積

D.的面積

10.（2022?浙江金華）如圖是一張矩形紙片A8C。，點(diǎn)E為AO中點(diǎn)，點(diǎn)廠在8c上，把該紙片沿EF折疊，點(diǎn)A,

RF?AD

8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',AE與8c相交于點(diǎn)G,5'A'的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C.若熬=：，則籌的值為（）

GC3AD

AE上

8

CA-204Vio

3

B'

二、填空題

11.（2022?浙江臺(tái)州）如圖,AABC的邊3c長(zhǎng)為4cm.將MBC平移2cm得到“EC,且則陰影部分

的面積為cm2.

12.（2022?浙江溫州）如圖，在菱形ABCD中，AB==60。.在其內(nèi)部作形狀、大小都

相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點(diǎn)，尸,G,"分別在邊AB,BC,CD,DA上，點(diǎn)、M,N在對(duì)角線4c上.若AE=38E,

則MN的長(zhǎng)為.

,c13.（2022.浙江臺(tái)州）如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折疊該菱形，使點(diǎn)A落

在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB,AO交于點(diǎn)E,F.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為:當(dāng)點(diǎn)M

的位置變化時(shí)，。尸長(zhǎng)的最大值為.

14.（2022?浙江嘉興）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCC中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,ACVBD,OB=OD.求

證：四邊形A8C。是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠:

證明：'：ACLBD,OB=OD,小潔:

垂直平分BD.這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才

：.AB=AD,CB=CD,能證明.

二四邊形A8C力是菱形.

AD

若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打T“；若贊成小潔的說法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明.

15.(2022?浙江溫州)如圖，在AABC中，于點(diǎn)。，E,F分別是AC,AB的中點(diǎn)，。是。尸的中點(diǎn)，EO的

延長(zhǎng)線交線段8。于點(diǎn)G,連結(jié)。E,EF,FG.

(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形.

時(shí)，求尸G的長(zhǎng).

16.(2022?浙江麗水)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為EF.

(1)求證：APDE咨ACDF；

(2)若C￡>=4cm,EF=5cm,求BC的長(zhǎng).

17.(2022.浙江臺(tái)州)圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖2,在正方形A8C。各邊上

4

分別取點(diǎn)用，G,2,A,使AB}=8cLe2==gA8,依次連接它們，得到四邊形461GA；再在四邊形4瓦G。

4

各邊上分別取點(diǎn)c2fa，A2,使=依次連接它們，得到四邊形A232G2；…

如此繼續(xù)下去，得到四條螺旋折線.

⑴求證：四邊形44G。是正方形;

圖1圖2

(2)求裝的值;

AB

(3)請(qǐng)研究螺旋折線8A與鳥…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明.

18.（2022?浙江寧波）

AA

圖2圖3

1,在AABC中，D,E,F分別為A8,AC,BC上的點(diǎn)，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)、G,求證：DG=EG.

DF

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C2CG.若CG工DE,CD=6,AE=3,求器的值.

（3）如圖3,在QABCO中，NAOC=45。,AC與8。交于點(diǎn)0,E為40上一點(diǎn)，EG〃BD交AD于點(diǎn)、G,EFLEG交

BC于點(diǎn)、F.若NEGF=40°,FG平分NEFC,FG=1。,求班'的長(zhǎng).

19.（2022?浙江杭州）在正方形ABC。中，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)尸在邊

2C上，且AE=28F,連接EF,以EF為邊在正方形ABCC內(nèi)作正方形EFG”.

⑴如圖1,若AB=4,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)例重合時(shí)，求正方形EFGH

的面積，（2）如圖2,已知直線HG分別與邊AO,8c交于點(diǎn)/,J,射線EH與射線A。交于點(diǎn)K.

①求證：EK=2EH；

②設(shè)ZAEK=a,AFGZ和四邊形4E”/的面積分別為a，邑.求證：y=4sin:?-l

專題10四邊形

一、單選題

1.(2022?浙江嘉興)如圖，在AABC中，A8=AC=8,點(diǎn)E,尸,G分別在邊A8,BC,AC上，EF//AC,GF//AB,

則四邊形A￡FG的周長(zhǎng)是()

【答案】C

【解析】

解：；EF//AC,GF//AB,

四邊形4EFG是平行四邊形，

：.FG=AE,AG=EF,

'：EF//AC,

：.NBFE=NC,

"：AB=AC,

：.ZB=ZC,

:.NB=NBFE,

:.BE=EF,

四邊形AEFG的周長(zhǎng)是2(AE+EF)=2(AE+BE)=248=2x8=16.

故選：C

2.(2022?浙江麗水)如圖，在AABC中，D,E,尸分別是BC,AC,AB的中點(diǎn).若A8=6,BC=8,則四邊形3?！晔?/p>

的周長(zhǎng)是()

【解析】

解：：力，E,尸分別是BC,AC,AB的中點(diǎn)，.ED分別是ZVWC的中位線,

/.EF//BC,ED/AB且EF--BC=—x8=4,ED=—AB=—x6=3,

2222

四邊形5DE尸是平行四邊形,

:.BD=EF=4,BF=ED=3,

，四邊形瓦底尸的周長(zhǎng)為：

BF+BD+ED+EF=3+4+3+4=14,

故選:B.

3.（2022?浙江麗水）如圖，已知菱形4B8的邊長(zhǎng)為4,E是BC的中點(diǎn)，AF平分NE4O交C。于點(diǎn)F,FG〃4）交

AE于點(diǎn)G,若cosB=J,則尸G的長(zhǎng)是（）

【答案】B

【解析】

：.BE=2,

又VcosB=—,

4

：.BH=\,即”是8E的中點(diǎn)，

：.AB=AE=4,

又尸是ND4E的角平分線，AD//FG,

：.ZFAG=ZAFG,BPAG^FG,

5L'：PF//AD,AP//DF,

：.PF=AD=4,設(shè)FG=x,貝ljAG=x,EG=PG=4-x,

?：PF//BC,

：.NAGP=NAEB=NB,

.,,—PG2——1

..cosZAGP=2___=2=—>

AGx4

解得若Q；

故選B.

4.（2022?浙江紹興）如圖，在平行四邊形A8C。中，AD=2AB=2,ZABC=60。，E,F是對(duì)角線60上的動(dòng)點(diǎn),

且尸，M,N分別是邊A。，邊BC上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說法：①存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形MENE；②存在無(wú)

數(shù)個(gè)矩形AffiNF；③存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形M￡NF；④存在無(wú)數(shù)個(gè)正方形MENF.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

【答案】C

【解析】

如圖，連接AC、與30交于點(diǎn)O,連接ME,MF,NF,EN,MN,

；四邊形A8CO是平行四邊形

：.0A=0C,0B=0D

,:BE=DF

：.OE=OF

?.?點(diǎn)日尸時(shí)BZ）上的點(diǎn)，

...只要何，N過點(diǎn)。,

那么四邊形MENF就是平行四邊形

二存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形MENF,故①正確；

只要MN=EF,MN過點(diǎn)0,則四邊形MEN尸是矩形，

:點(diǎn)、E、尸是8□上的動(dòng)點(diǎn),

.?.存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形MENF,故②正確；

只要MN1EF,MN過點(diǎn)、0,則四邊形MENF是菱形；?.?點(diǎn)E、尸是8。上的動(dòng)點(diǎn)，

工存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形MENF,故③正確；

只要MN=EF,MNLEF,MN過點(diǎn)。，

則四邊形例ENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；

故選：C

5.（2022?浙江紹興）將一張以48為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一

條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片A8CD,其中NA=90。，

AB=9,BC=1,8=6,AD=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可熊是（）

c

A,”禧35

BC.10D.

2T

【答案】A

【解析】

解；當(dāng)ADFEs^ECB時(shí),如圖,

.DFFEDE

ECCBEB

設(shè)DF=x,CE=y,

27

x=一

x_9_6+y4

解得：

y-7-2+x?21

y=7

2145

A￡>E=CD+CE=6+—=—,故3選項(xiàng)不符合題意；

44

2735

：.EB=DF+AD=--+2=--故選項(xiàng)。不符合題意;

44f

FEEBFB

設(shè)FC=mfFD=n9

???\=弋=七，解得：.

9n+2m+7=10ln

：.FD=\0,故選項(xiàng)C不符合題意；

BF=FC+BC=8+6=\4,故選項(xiàng)4符合題意;

故選：A

6.（2022?浙江湖州）如圖，已知8。是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=6,BC=8,點(diǎn)E,尸分別在邊AD,BC上，連

結(jié)BE,DF.將MBE沿BE翻折，將ADCF沿。尸翻折，若翻折后，點(diǎn)A,C分別落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)G,H處,

連結(jié)GF.則下列結(jié)論不無(wú)聊的是（）

BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GFIBC

【答案】D

【解析】

8。是矩形ABC。的對(duì)角線，AB=6,BC=8,

BC=AD=8,AB=CD=6...BD=\IBC2+CD2=10故A選項(xiàng)正確,

?.?將△43E沿8E翻折，將△￡>(7/沿OF翻折，

:.BG=AB^6,DH=CD=6

：.DG=4,BH=BD—HD=4

.?.”G=10-8〃-DG=10-4-4=2故B選項(xiàng)正確，

,;EGLBD,HFLDB,

:.EG〃HF,

故C正確

設(shè)AE=a,則EG=a,

ED=AD—AE=S—ci,

4D￡3

?.?NEDG=ZAL?「.tanN￡；Z)G=tanZA￡)5即——=—=-=-

DGADS4

:.^=-:.AE=3,同理可得CF=3

44

若FG〃CD

CFGD

貝nilIj—=—

BFBG

CF_3GD_4_2

.CFGD

?.------w-------,

BFBG

r.FG不平行CO,

即GF不垂直BC,

故D不正確.

故選D

7.（2022?浙江嘉興）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥.如

圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABC。沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形460,形成一個(gè)“方勝”圖案,則點(diǎn)D,

夕之間的距離為（）

AA1

Icn-1B.2cmC.(5/2—l)cmD.(272—l)cm

CO

【答案】D

【解析】

解：由題意，8￡>=20cm,

由平移性質(zhì)得5匠=lcm,.?.點(diǎn)￡）,夕之間的距離為￡>9二5。一班'=(272-1)cm,

故選：D.

8.（2022?浙江溫州）如圖,在中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CF,作GM_LCF于

點(diǎn)M,BJLGM于點(diǎn)J,AKLB7于點(diǎn)K,交C尸于點(diǎn)L.若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,

CE=VlO+y/2,則CH的長(zhǎng)為（）

以瓜B浮

C.272D.M

【答案】c

【解析】

解：設(shè)CF交AB于P,過C作CNLA8于M如圖：

W:

\^p/\設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m,

正方形JKLM面積為m2,

:正方形A8G尸與正方形JKLM的面積之比為5,

???正方形ABGF的面積為5m2,

.\AF=AB=y/5fn,

由已知可得：NAFL=900-NMFG=NMGF,NALF=90°=NFMG,AF=GF,

AAAFL^AFGM(AAS),

：.AL=FMf

igAL=FM=X9則fZ=FM+ML=;v+m,

222222

在心△Afi中，AL+FL=AFfJ.x+(x+/n)=(75/n),

解得x=m或x=-2m（舍去）,

：.AL=FM=mfFL=2m,

/iAPALtn

tanZAFL=-----=——

AFFL2m

???明^哼）*鬲）2亭加“八扇一亭=亭.?皿尸，即—中點(diǎn),

???ZACB=90°f

:.CP=AP=BP=^

2

?：4CPN=/APF,/CNP=900=/FAP,

AACP/V^AFBA,

也m

.2一/="即二=里=也

FPAFAP'5m島45m

2F

:.CN=m,PN=三m,

：.AN=AP+PN=叵壯m

2

BCCN2

?'?tanZBAC---T=—z---f=—,

ACANV5+1

,/^AEC和△SC”是等腰直角三角形，

AAECSABCH,

BCCHf—2CHl…

二就==.+五r??歷7=標(biāo)正???CH=2①故選：C.

9.（2022?浙江寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形A8C。內(nèi),

其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積C.砂的面積D./XAE”的面積

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意可知，四邊形EFG”是正方形，設(shè)正方形紙片邊長(zhǎng)為x,正方形EFGH邊長(zhǎng)為y,則長(zhǎng)方形的寬為x-y,

所以圖中陰影部分的面積=S,E,，，：EFGH+2s屈EH+2SADHG

=y2+2x；y(x-y)+2x,ry

=2xy,

所以根據(jù)題意，已知條件為孫的值，

A.正方形紙片的面積=/,根據(jù)條件無(wú)法求出，不符合題意；

B.四邊形E尸GH的面積=)2,根據(jù)條件無(wú)法求出，不符合題意；

C.ABEF的面積=gw，根據(jù)條件可以求出，符合題意；

口.△MH的面積=gy(x-y)=?/,根據(jù)條件無(wú)法求出，不符合題意；

故選C.

10.(2022?浙江金華)如圖是一張矩形紙片ABC。，點(diǎn)E為4。中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，把該紙片沿E尸折疊，點(diǎn)A,

RF9AD

B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為AlB',AE與BC相交于點(diǎn)G,BW的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C.若==則二區(qū)的值為()

GC3AD

【答案】A

【解析】

解：過點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)、H,

又四邊形ABCO為矩形，

AZA=ZB=ZD=ZBCD=90°,AD=BC,

二四邊形ABHE和四邊形CDEH為矩形,

BF2

:.AB=EH,ED=CH,'：—=-

GC3

:.令BF=2x,CG=3x,FG=y,則CF=3x+y,B'F=2x,A'G=^^-

山題意，得/C4'G=/C?尸=90。，

又/GC4'為公共角，

△CGA's/\CF8,，

.CGA'G

"CF"BT'

5x-y

則3x_2，

3x+y2x

整理，得(x+y)(3x—y)=0,

解得4-y（舍去），產(chǎn)=3x,

AD=BC=5x+y=Sx,EG=3x,HG=x,

在Rt^EGH中EH2+HG2=EG2,

則E，2+f=(3x)2,

解得EH=2必,EH=-2收M舍）,

.\AB=2\/2xf

AD8xM

故選：A.

11.（2022?浙江臺(tái)州）如圖，“BC的邊BC長(zhǎng)為4cm.將△ABC平移2cm得到△AbC,S.BB'LBC,則陰影部分

的面積為cm2.

解：由平移的性質(zhì)SAABC=S4ABC,BC=B'C',BC//B'C,

四邊形B'C'CB為平行四邊形，

...四邊形9C'C8為矩形，

；陰影部分的面積=SMAC+SMBCCB-SAABC

=S斑彤B'CCB

=4x2

=8(cm2).

故答案為：8.

12.（2022?浙江溫州）如圖，在菱形ABCO中，AB=1,ZBAD=60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形A&VH和

菱形CGMF,使點(diǎn)￡,F,G,H分別在邊AB,8C,CD,D4上，點(diǎn)M,N在對(duì)角線AC上.若AE=3BE,則MN的長(zhǎng)

為.

【解析】

解：連接08交AC于點(diǎn)。，作于點(diǎn)/，作交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,如圖所示,

???△A8。是等邊三角形，

AO￡>=y,AO=ylAD2-DO2=Jl2-(^)2=

：.AC=2AO=^3f

,:AE=3BE,

31

'?AE——1BE——，

44

,:菱形AENH和菱形CGM廠大小相同，

.\BE=BF=~,ZFBJ=60°

4f

：.FJ=BFsin60°=lx^=—^

428

n

AM/=FJ=—,

8

B

....MI石6

..AM=-----7=-T-=——,

sin3014

2

同理可得，CN=立，

4

AMN=AC-AM-CN=4=B

442

故答案為：4

13.（2022?浙江臺(tái)州）如圖，在菱形ABCO中，ZA=60°,AB=6.折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊8C上的點(diǎn)M處，折

痕分別與邊AB,AD交于點(diǎn)E,F.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合時(shí)，E尸的長(zhǎng)為;當(dāng)點(diǎn)朋的位置變化時(shí)，。尸長(zhǎng)的

最大值為

【答案】3g6-3百

解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分A8,

：.AE=EB=^AB=3),

在RQAEF中，ZA=60°,AE=3,

EF

tan60°=----,

AH

EF=36；

當(dāng)AF長(zhǎng)取得最小值時(shí)，。廠長(zhǎng)取得最大值,

由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM,則.?.尸MLBC時(shí)，F(xiàn)M氏取得最小值，此時(shí)。廠長(zhǎng)取得最大值,

過點(diǎn)。作。G,8c于點(diǎn)C,則四邊形。GMF為矩形,

:.FM=DG,

在放AOGC中，ZC=ZA=60°,DC=AB=6,

：.DG=DCsin60o=3y/i,

。廠長(zhǎng)的最大值為AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-36，

故答案為：3G；6-36.

14.（2022?浙江嘉興）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCZ）中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，ACLBD,OB=OD.求

證：四邊形A8C。是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠：

證明："."ACLBD,OB=OD,小潔：

；.AC垂直平分BD這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才

：.AB=AD,CB=CD,能證明.

二四邊形488是菱形.

若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“??；若贊成小潔的說法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明.

【答案】贊成小潔的說法，補(bǔ)充OA=OC證明見解析

【解析】

解：贊成小潔的說法，補(bǔ)充。4=OC

證明：-：OB=OD,OA=OC,

四邊形是平行四邊形，

???AC±BD,

四邊形A8CD是菱形.

15.（2022?浙江溫州）如圖，在IBC中，AD_LBC于點(diǎn)。，E,F分別是AC,AB的中點(diǎn)，。是的中點(diǎn)，EO的

延長(zhǎng)線交線段5。于點(diǎn)G,連結(jié)DE,EF,FG.

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形.

⑵當(dāng)AD=5,tanNE￡>C=|時(shí)，求FG的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）叵

2

【解析】

（1）解：（1）?:E,尸分別是AC,A8的中點(diǎn)，

??.EF〃BC,

：.ZFEO=ZDGO9ZEFO=ZGDOt

???。是。F的中點(diǎn)，

:.FO=DO.

：.A￡FC^AGZX）（A45）,

?,.EF=GD,

???四邊形DEFG是平行四邊形.

（2）VADA.BC,E是AC中點(diǎn);，

:.DE=-AC=EC

2f

：.ZEDC=ZC,

tanC=tanZ.EDC=—,

2

.AD5

??=,

DC2

AD=5,

:.8=2,

DE=-AC=-\lAD2+CD2=-X>/52+22=

2222

?；四邊形DEFG為平行四邊形，

.?A/29

??FCr=DNE=------.

2

16.（2022?浙江麗水）如圖，將矩形紙片A8CQ折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，折痕為

EF.

（1）求證：APDE%ACDF；

⑵若CD=4cm,族=5cm,求BC的長(zhǎng).

【答案】（D證明見解析；（2）與cm

【解析】

(I)：四邊形A8CD是矩形,

：.AB=CDfZA=ZB=ZADC=ZC=90°,

由折疊知，AB=PD,NA=NP,ZB=ZPDF=90°,

:.PD=CD,NP=NC,ZPDF=ZADCf

:./PDF-NEDF=NADC?NEDF,

???NPDE=NCDF,

在△POE和△C￡>“中，

ZP=ZC

<PD=CD,

NPDE=/CDF

：.^PDE^/XCDF(ASA)；

（2）如圖，過點(diǎn)上作EGJ_8C交于點(diǎn)G,

?.?四邊形A3CO是矩形,

.\AB=CD=EG=4cm,

又VE尸=5cm,GF=dEF?-EG?=3，

設(shè)AE=xf

:.EP=x,由知，EP=CF=x,

：.D￡=GC=GF+FC=3+X,

在RIPPED中，PE2+PD2=DE2.

222

g|Jx+4=（3+x）,

7

解得，x=-,

6

7716

BC—BG~^GC——F3H—=—cm.

663

17.（2022.浙江臺(tái)州）圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖2,在正方形ABC。各邊上

4

分別取點(diǎn)用，CR,使=BC.=CD.=D\,依次連接它們，得到四邊形A￡G4；再在四邊形A4CQ

4

；

各邊上分別取點(diǎn)與，c2,D2,A2,使4與=4。2=。。2=。田2=14旦，依次連接它們，得到四邊形A/zGA…

如此繼續(xù)下去，得到四條螺旋折線.

（1）求證：四邊形A/CR是正方形；

C】

DDjC

圖1圖2

⑵求箋的值；

AB

（3）請(qǐng)研究螺旋折線由…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明.

【答案】（1）見解析；（2）姮；（3）螺旋折線B448….中相鄰線段的比均為生叵或近

見解析

5175

【解析】

⑴在正方形ABC。中，AB=BC,ZA=ZB=90°,

4

又＜AB}=BC]=CD]=D\,

：.AA,=BB].

AAB,A,也△BCI31.

A4=B[C[,NAAA=NBC圈.

又NBC￡+NBB?=90°,

ZBB,C,+ZA44=90°.:.幺3?=90°.

同理可證：B?=C,D,=。出=AB,.

...四邊形是正方形.

4

(2),/AB,=BC,^CD,=DA,=-AB,設(shè)A8=5a,則A4=4a.

B、B=朋=a.

由勾股定理得：44=百。.

.A4后a布

"~AB~5a~~5~'

(3)結(jié)論1：螺旋折線3片打見…中相鄰線段的比均為亞或姮.

175

4

證明：???4月=145,

BBi=-AB.

'5

同理，.…

.B.BAB55/17

17

同理可得普=噌，…

17

??.螺旋折線84以反…中相鄰線段的比均為血或姮.

175

結(jié)論2：螺旋折線8用打員…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變.

證明：：第=卷=；,NABG=NABC=90。,

Z5G|Z5|Cz24

/.△BAG2c2,

NBBG=ZB,B2C2.

同理得：NB]BG=NB遇G，

VZC.B.B2=ZC2B2B3=90°,

/.NBBC+NC禺B]=N8182G+^C252B3,即ZBB,B,=N81&B,.

同理可證以避遇=ZB2B,B4=--.

...螺旋折線88出2鳥…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變.

18.（2022?浙江寧波）

⑴如圖1,在AABC中，￡>,E,F分別為A3,AC,BC上的點(diǎn)，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)、G,求證：DG=EG.

DF

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接C2CG.若CG