2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)第6講 立體幾何(含詳解)

第6講立體幾何

ー、單選題

1.（2022?全國?高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和46,其頂點都在同一球

面上,則該球的表面積為（）

A.100πB.128πC.144πD.192π

2.（2022.全國.高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.

已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0kn?;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為

180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，

增加的水量約為（√7≈2.65）（）

939,9393

A.1.0×10mB.l.2×10mC.1.4×10mD.1.6×10m

3.（2022?全國?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬,且

3≤∕≤3√し則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

^811「2781IヘΓ2764^],0,

A.1o8,—B.—C.——D.[r1o8,27]

L4JL44JL43J

4.（2022?全國?高考真題（文））在正方體ABCQーん4CQ中，E,ド分別為AB,BC的中點，則（）

A.平面4Eド丄平面8。。B.平面片E「丄平面ん8。

C.平面B∣EF∕/平面A∣4CD.平面BIEド〃平面んCQ

5.（2022.全國.高考真題（文））已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為〇,底面的四個頂點均在球。的球

面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,其高為（）

A.-B.IC.@D.立

3232

6.（2022.全國.高考真題（理））甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分

別為％和シ,體積分別為%和と.若新=2,則ド=（

）

3乙V乙

5√10

A.√5B.2√2C.√10n

4

7.（2022?全國?高考真題（理））在長方體ABC。ー4BCQ中,已知耳。與平面A5C。和平面AA所成的

角均為30。,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面A8∣G。所成的角為30。

C.AC=CBtD.B刀與平面BgGC所成的角為45°

8.（2021?全國?高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地

球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為3600OknI（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距

離）.將地球看作是一個球心為。，半徑r為64（X）km的球，其上點A的緯度是指。A與赤道平面所成角的度

數(shù).地球表面上能直接觀測到ー顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面

的表面積為S=2Q2（1-cosa）（單位:km2）?則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

9.（2021.全國.高考真題（理））已如4,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點,且AC丄8C,AC=BC=1,

則三棱錐O-ABC的體積為（）

A.正B.且C.絲D.@

121244

10.（2021?全國?高考真題（理））在正方體ABCo-ABCa中,P為Ba的中點,則直線尸B與Aり所成的

角為（）

A.-B.—C.-D.一

2346

11.（2022.全國.高考真題）如圖,四邊形ん38為正方形,EZ）丄平面ABe〇,FB〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-Ae0,F-ABC?尸—ACE的體積分別為匕,匕,匕，則（）

C.K=匕+匕D.2匕=3匕

12.（2022?全國?高考真題）已知正方體ABC。-ABCQ,則（）

A,直線BG與。A所成的角為90°B.直線Ba與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面BBセハ所成的角為45°D.直線BG與平面んBCハ所成的角為45°

13.（2021?全國?高考真題）如圖，在正方體中,。為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂

14.(2021?全國?高考真題)在正三棱柱ABC-A4G中,AB=AA1=1,點尸滿足加=28C+M明?,其中

2∈[0,l],;∕∈[0,l]?則()

A,當(dāng)ス=1時,Z?AB』的周長為定值

B.當(dāng)”=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)え=g時,有且僅有一個點P,使得A尸丄8P

D,當(dāng)〃=g時，有且僅有一個點尸,使得AB丄平面A87

三、解答題

15.(2022?全國?高考真題)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,ABLAC,E是PB的中點.

(1)證明:OE//平面PAC；

(2)若/ABO=NCeo=30。，Po=3,PA=5,求二面角C—A￡—B的正弦值.

16.(2022?全國,高考真題)如圖，直三棱柱48C-ABIG的體積為4,AA∣8C的面積為

2√2.

(1)求A到平面ABC的距離;

(2)設(shè)ハ為AC的中點，AAi=AB,平面ABe丄平面ABqA,求二面角4—3。ーC的正弦值.

17.(2022?全國?高考真題(文))如圖,四面體A3CZ?中,AD?CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的

中點.

（1）證明:平面3E￡）丄平面ACハ;

（2）設(shè)AB=8D=2,ZACB=60。,點F在8。上,當(dāng)ふAFC的面積最小時,求三棱錐ドーABC的體積.

18.（2022?全國?高考真題（理））如圖,四面體ABCル中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ABDC,E為AC的

中占

（2）設(shè)AB=Br）=2,NACB=60。,點ド在8。上,當(dāng)ふAfC的面積最小時，求C尸與平面ABい所成的角的正

弦值.

19.（2022?全國?高考真題（文））小明同學(xué)參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖所示:

底面ABer）是邊長為8（單位:Cm）的正方形,AE4B,AFBC,AG8,WzM均為正三角形,月.它們所在的平

面都與平面ABCf）垂直.

⑴證明:EF//平面ABCハ;

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

20.(2022.上海.高考真題)如圖,在圓柱。ɑ中,底面半徑為1,Aん為圓柱。O∣的母線

(1)若んAI=4,"為AA的中點,求直線Ma與底面的夾角大小;

(2)若圓柱的軸截面為正方形,求該圓柱的側(cè)面積和體積.

21.(2021?湖南?高考真題)如圖,四棱錐P-ABeO中,底面ABs是矩形,抬丄平面ABCE為P。的

中點.

(I)證明:「8〃平面ACE；

(2)設(shè)F4=l,AD=B直線尸B與平面ん3C。所成的角為45。,求四棱錐尸-ABeD的體積.

22.(2021.天津.高考真題)如圖,在棱長為2的正方體A8CハーABCa中，E為棱BC的中點,F為棱CD

的中點.

(I)求證:。///平面AEcI；

(II)求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-AG-E的正弦值.

23.(2021?全國?高考真題)在四棱錐Q-ABS中,底面ABc短是正方形,若んル=2,。ハ=。A=6。C=3.

(I)證明:平面QAハ丄平面ABCz);

(2)求二面角B-Qo-A的平面角的余弦值.

24.(2021?北京?高考真題)如圖:在正方體ABCQ-ABCA中,E為A"中點,Be與平面COE交于點

(1)求證:ド為BC的中點;

(2)點M是棱A片上一點,且二面角M-FC-E的余弦值為好,求纜的值.

3A4

25.(2021?浙江?高考真題)如圖,在四棱錐P-AfiCD中,底面A8CZ?是平行四邊形,

NABC=I20。,4B=1,BC=4,PA=店,M,N分別為8C,PC的中點,PDLDC,PM^MD.

(1)證明:

(2)求直線AN與平面H)M所成角的正弦值.

26.(2021?全國?高考真題(理))如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,P。丄底面ABCr>,PD=DC=I,

R

M為Be的中點,且尸3丄AM.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

27.(2021?全國?高考真題)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面Afiハ丄平面BC0,AB=AD,。為3O的中

點.

(1)證明:OAlCDi

(2)若△08是邊長為1的等邊三角形，點E在棱仙上,DE=IEA,且二面角后ーBC-E?的大小為45。,

求三棱錐A-BCル的體積.

第6講立體幾何

ー、單選題

1.(2022?全國?高考真題)己知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和46,其頂點都在同一球

面上,則該球的表面積為()

A.100πB.128πC.144πD.192π

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑Z;,り,再根據(jù)球心距,圓面半徑,以及球的半徑之間的關(guān)

系,即可解出球的半徑,從而得出球的表面積.

【詳解】

設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑不明所以ス=ユぬ一,2ム=セ且-,即，i=3,り=4,設(shè)球心到上下底

1sin60=2sin60。

面的距離分別為44,球的半徑為R,所以4=JR2-9,4=ノだー16,故∣4-4∣=ι或4+4=1,即

|?し9-√R2-16卜1或病二ξ+病二而=1,解得7?2=25符合題意，所以球的表面積為5=4成2=10071.

故選:A.

2.(2022.全國.高考真題)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.

已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0kn√;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為

180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升至リ157.5m時，

增加的水量約為(√7=2.65)()

A.1.0×109m,B.1.2×109m,C.I.4×109m3D.1.6×109m,

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意只要求出棱臺的高,即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】

依題意可知棱臺的高為MN=I57.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積S=I40.0kn√=140χl()6m2,下底面積S'=180.0kn√=180xl06m?,

ΛV=∣A(5+5,+√5y)=∣×9×(140×106+180×106+√140×180×1012j

=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3).

//

G

M

故選:C.

3.(2022.全國?高考真題)已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36乃,且

3<∕≤3√3,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

27812764

A.B.C.D.[18,27]

時4'44'3

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)正四棱錐的高為刀,山球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,由此確定正四棱錐體枳

的取值范圍.

【詳解】

球的體積為36萬,所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2〃，高為ん,

則，2=2巒+〃2,32=2a2+(3-h)2,

所以6〃=『，2a2=l2-h2

112∕4J2↑(Z6A

所以正四棱錐的體積ド=WS6=wx4∕χ%=wχ(∕2-^)x"=χI4

所以にと爲(wèi)=赳ヨ4

當(dāng)3≤∕≤2#時，V,>0,當(dāng)2√^<∕≤3G時，V,<0,

所以當(dāng)/=2述時,正四棱錐的體積V取最大值,最大值為牛,

又，=3時，レ=上,∕=3√3B?t,V=—,

44

所以正四棱錐的體積y的最小值為ア,

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是τ.τ.故選:C.

4.(2022?全國?高考真題(文))在正方體ABC。ーABCa中,E,ド分別為AB,BC的中點,則()

A,平面4Eド丄平面BDりB.平面片Eド丄平面A80

C.平面旦所//平面A14CD,平面4EF//平面AGo

【答案】A

【解析】

【分析】

證明印丄平面BDR,即可判斷A;如圖,以點。為原點,建立空間直角坐標系,設(shè)AB=2,分別求出平

面用EF,A1SD,ACフ的法向量,根據(jù)法向量的位置關(guān)系,即可判斷BCD.

【詳解】

解:在正方體48C。ーAMGワ中,

AC丄3。且DD1丄平面ABCD,

又E尸U平面ABCハ,所以Eド丄ハ?,

因為E,ド分別為A8,BC的中點，

所以￡7”IAC,所以Eド丄%),

又BDCDDl=D,

所以瓦?丄平面BOR,

又EFU平面AEF,

所以平面4EF丄平面BDD1,故A正確;

如圖,以點D為原點,建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2,

則4(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C,(0,2,2),

則EF=(TLO),函=(0,l,2),DB=(2,2,0),DA=(2,0,2),

福=(0,0,2),恁=(-2,2,0),而"=(-2,2,0),設(shè)平面片"的法向量為兩=(;η,y,zj,

in-EF=-x∣+y=0

則有，可取〃7=(2,2,—1),

m`EB1=%+2Z[=0

同理可得平面ABD的法向量為4=(1,T,T),

平面AAC的法向量為后=(1,1,0)，

平面ACハ的法向量為E=(I/,一1),

則詠，=2-2+1=1H0,所以平面與Eド與平面ABo不垂直,故B錯誤;

UU

因為而與り不平行,

所以平面B1EF與平面AAC不平行,故C錯誤:

因為正與ね不平行,

所以平面B1EF與平面AGo不平行,故D錯誤,

（2022?全國?高考真題（文））已知球。的半徑為1,四棱錐

的頂點為〇,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,其高為（）

「√3D.受

?-1bし.----

??3

【答案】C

【解析】

【分析】

先證明當(dāng)四棱錐的頂點。到底面A8C。所在小圓距離?定時,底面A8C。面積最大值為2ノ,進而得到四棱

錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值,從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值.

【詳解】

設(shè)該四棱錐底面為四邊形A8Cハ,四邊形んBC。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對角線夾角為α,

則SABCZ）=J?AC?BD?sinα≤g?AC?J^≤L2r?2r=2r2

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABC。為正方形時等號成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點。到底面A8C。所在小圓距離一定時,底面んBC。面積最大值為レユ

又ド+ガ=∕則V…《2尸普戶れ≤*戸寸耳=曉

當(dāng)且僅當(dāng)，=2ガ即h=當(dāng)時等號成立,

故選:C

6.（2022.全國.高考真題（理））甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀,側(cè)面積分

別為S甲和S乙,體積分別為%和ら.若薩=2,則ポ=（）

?乙ッ乙

A.√5B.2√2C.√10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為片,乙圓錐底面圓半徑為ろ,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得り=2セ，再結(jié)合

圓心角之和可將4,り分別用，表示,再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,再根據(jù)圓錐的體枳公式即可得解.

【詳解】

解:設(shè)母線長為ハ甲圓錐底面半徑為ス,乙圓錐底面圓半徑為り,

?=≡i=2?

所以｛=2ち,

又華+等=2萬,

則牛=1,

所以4=§"=§/，

所以甲圓錐的髙自=，'-1F=並

乙圓錐的高ノ?2=/2-!尸=ヰ√,

所以さ=キ——=T~?=√iθ?

%;喈厶ラX述/

393

故選:C.

7.（2022?全國?高考真題（理））在長方體ABCo-A8GA中,已知與平面ABC。和平面AAB田所成的

角均為30。，則（）

A.AB^2ADB.AB與平面AB￡。所成的角為30°

C.AC=CB1D.用。與平面8月GC所成的角為45°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】

如圖所示:

不妨設(shè)んB=",A。=んAA=C,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知,BQ與

cb

平面ABC。所成角為/BQB,BQ與平面AAAB所成角為ZOB∣A,所以sin30'=刀ス=るス,U?ib=c,

222

BlD=2c^>Ja+b+c?解得α=0c?

對于A,AB=a,AD=b,AB=&AD，A錯誤;

對于B,過8作8E丄A用于E,易知BE丄平面ABCQ,所以AB與平面ABC。所成角為ノβ4E,因為

tanZBAE=-=-?所以/84Ew30,B錯誤:

a2

22922

對于C,AC=?∣a+b=y∣3cCB1=?//?+c=?∣2c?^C≠CB1,C錯誤;

對于D,4。與平面BBCC所成角為/OB(,Sin/。耳C=照===",而()<NO8C<90,所以

B1D2c2

ZDB1C=45°.D正確.

故選:D.

8.(2021.全國.高考真題)北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地

球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36(XX)km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距

離).將地球看作是ー個球心為〇,半徑r為640Okm的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度

數(shù).地球表面上能直接觀測到ー顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面

的表面積為S=2が(I-COSa)(單位:km。,則S占地球表面積的百分比約為()

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

由題意可得,S占地球表面積的百分比約為:

?____6400

2不，2（I-CoSa）=I-COSa=6400+36000?°42=42%-

故選:C.

9.（2021?全國?高考真題（理））已如A,8,C是半徑為1的球〇的球面上的三個點,且AC丄3C,AC=BC=1,

則三棱錐〇ーAfiC的體積為（）

A.—B.立C.—D.也

121244

【答案】A

【解析】

【分析】

由題可得AABC為等腰直角三角形,得出AABC外接圓的半徑，則可求得。到平面ん3C的距離，進而求得

體積.

【詳解】

?.?AC丄BCAC=BC=1,.%A8C為等腰直角三角形，.?.AB=0，

則AASC外接圓的半徑為也，又球的半徑為1,

設(shè)。到平面ABC的距離為d,

故選:A.

【點睛】

關(guān)鍵點睛:本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾

股關(guān)系求解.10?（2021?全國?高考真題（理））在正方體ABC。ーABCQ中，P為8Q的中點，則直線アB與AQ

所成的角為（）

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直線AR至8C∣,將直線依與/IR所成的角轉(zhuǎn)化為m與B?所成的角,解三角形即可.

【詳解】

如圖,連接BG,PG,P8,因為A0〃BG,

所以NPBG或其補角為直線PB與A0所成的角,

因為8片丄平面ASGA,所以丄尸￡,又尸G丄BQ,BBlCBR=BJ,

所以尸G丄平面”耳，所以「G丄PB,

設(shè)正方體棱長為2,則BC1=2√2,PC,=∣D,B,=√2,

SinNPBG=會=；,所以/P8G=1

故選:D

二、多選題

11.(2022?全國?髙考真題)如圖,四邊形ABCル為正方形,。丄平面ABC。,FB〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-ACハ,F-ABC,尸—ACE的體積分別為K,匕,匕,則()

A.匕=2匕B.匕=K

匕=ヒ

C.?=Vζ+V2D.23

【答案】CD

【解析】

【分析】

直接由體枳公式計算?,匕,連接8n交AC于點M,連接EM,FM,山匕=匕YFM+%で極計算出匕,依次

判斷選項即可.

【詳解】

K=g?EO?S,Ae=g?2α?g?(24)2=:/,

匕=:?尸8ゼ，人此=:ルユ(2の2=2が,連接跳)交AC于點M,連接EM,FM,易得皿5丄AC,

又Eハ丄平面ABC￡>,ACU平面A3C。,則団丄AC,又EDΓ∣Bi>=O,ED,BDu平面BDEF,則スC丄平

面BDEF,

又=DW=；8。=&〃,過F作ドG丄OE于G,易得四邊形BDGF為矩形,則FG=BD=2√2α,EG=a,

則EM=也αY+(j24)=6,FM=M+(Etj=瓜,EF=ゼ+(2&aj=3a，

2

EM'+FM'=EF-,則EM丄∕?f,S^EFM=^EMFM=?ɑ-AC=2伝，貝リ

匕=匕ー“■”+%YFM=(AC?S,8?=2グ，則2匕=3乂,匕=3匕,?=?+V2?故A、B錯誤;C、D正確.

故選:CD.

12.(2022?全國?高考真題)已知正方體ABCo-ABCR,則()

A.直線BG與。A所成的角為90°B.直線BG與Ca所成的角為90°

C.直線BG與平面8用?。所成的角為45°D.直線BG與平面ABCハ所成的角為45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】

數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】

如圖，連接4C、B3,因為ハA〃與。,所以直線8G與8∣C所成的角即為直線BG與。A所成的角,

因為四邊形BBCC為正方形，則AC丄BQ,故直線Ba與。ん所成的角為90。,A正確;

連接AC?因為A旦丄平面ββ1c,c,βcl?平面fifilclc?則Afi.丄fic,,

ββ

因為Bc丄fiG，A1∩1c=β1?所以fic∣丄平面ん4C,

又ACU平面ム耳。,所以fiC∣丄CA,故B正確:

連接A6,設(shè)AGnfi1〃=。,連接fio,

因為fifi∣丄平面AfilGり,COU平面AfiiGり,則G。丄fi∣fi,

因為C0丄耳り，BIDICBIB=BI,所以Go丄平面842り,

所以/GfiO為直線fiC,與平面BBQQ所成的角,

設(shè)正方體棱長為1,則CQ=立,fiC∣=0,sinNC∣fiO=[g=J,

12fiC,2

所以，直線fiG與平面BBQつ所成的角為30,故C錯誤;

因為CC丄平面ABC。，所以/GfiC為直線fiC∣與平面ABCD所成的角,易得ノCIfiC=45。,故D正確.

故選:ABD

13.（2021.全國?高考真題）如圖，在正方體中,。為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂

點.則滿足MN丄OP的是（）

【答案】BC

[解析:]

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤,平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為2，

對于A,如圖（1）所示,連接AC,則MV//AC,

故/POC（或其補角）為異面直線OAMN所成的角,

CP=I,故tan∕POC=4≈=①,

在直角三角形OPC，OC=6,

√22

故MN丄OP不成立,故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取マ的中點為。,連接PQ,OQ,

則OQ丄NT,PQlMN,

由正方體SBCW-NST可得SN丄平面AM）T,而。QU平面AM）T,故SN丄。Q,而SNCMN=N,故

。。丄平面SWTM,

又MNU平面SNTM,OQlMN,而OQnPQ=Q,

所以MN丄平面。PQ,而PoU平面。PQ,故MN丄。尸,故B正確.

對于C,如圖（3）?連接5Z）,則BD//MN,由B的判斷可得

圖（2）

OPlBD,

故OPIMN,故C正確.

對于D,如圖(4),取Aハ的中點。,AB的中點K,連接

AC,PQQQ,PKQK,

則ACHMN,

因為ハP=PC,故PQ//AC,PQHMN,

所以NQPO或其補角為異面直線PO,MN所成的角,

22

因為正方體的棱長為2,故PQ=(AC=拒,OQ=y∣AO+AQ=√1T2=√3,

PO=4PK2+oκ-=√4+ι=√5>QO2<PQ2+OP2故^Qpo不是直角，

故PO,MN不垂直,故D錯誤.

故選:BC.

14.(2021.全國.高考真題)在正三棱柱ABC-A円G中,A3=AA1=1,點P滿足市=4BC+〃甌,其中

2∈[(),1],;/∈[0,1]?則()

A.當(dāng)ス=1時，ZXAqP的周長為定值

B.當(dāng)"=1時,三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)2=;時,有且僅有一個點P,使得AP丄BP

D,當(dāng)〃=;時,有且僅有一個點尸,使得AB丄平面ABf

【答案】BD

【解析】

【分析】

對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi),進而確定點的坐標;

對于B,將P點的運動軌跡考慮到ー個三角形內(nèi)，確定路線,進而考慮體積是否為定值:

對于C,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定,進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個數(shù);

對于D,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解尸點的個數(shù).

易知,點P在矩形8CC向內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當(dāng)ん=1時-，BP=BC+μBB,=BC+μCC,,即此時Pe線段CG,周長不是定值，故A錯誤；

對于B,當(dāng)〃=1時,而=え前+BBχ=BBi+ΛB^,故此時P點軌跡為線段BC,而//8C,8￠〃平面AtBC,

則有「到平面ABC的距離為定值,所以其體積為定值,故B正確.

對于C,當(dāng)え=ラ時，BP=^-BC+μBB,,取BC,BC中點分別為0,H,則麗=而+〃函,所以尸點軌

跡為線段。H,不妨建系解決,建立空間直角坐標系如圖，Ay,0,l,P（O,〇,〃）,イ。,,0）,則

帝=（ー當(dāng),0,〃ー1,麗=（θ,-；,〃）,平.麗=〃（〃ー1）=0,所以〃=0或〃=1.故”,。均滿足，故C

錯誤;

對于D,當(dāng)〃=g時，而=え而+;西，取2片，CC,中點為M,N.BP=BM+λMN,所以尸點軌跡為線

段MN.設(shè)P1,%,g),因為Ay-0,0,所以A戶=一手，た，g，AB=--y-,p-l,所以

厶）?ノ

-+-yo--=O=>y0?-??此時P與N重合,故D正確.

故選:BD.

【點睛】

本題主要考查向量的等價替換,關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi).

三、解答題15.（2022?全國?高考真題）如圖,PO是三棱錐尸-ABC的高,PA=PB,ABYAC,E是ア8的

中點?

（2）若/AeO=NCeo=30。，Po=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

13

【解析】

【分析】

（1）連接8。并延長交4C于點ハ，連接。4、PD,根據(jù)三角形全等得到。4=。6,再根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)得到AO=ハ0,即可得到。為B。的中點從而得到OE//P。，即可得證:

（2）過點A作ん〃OP,如圖建立平面直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,再根據(jù)同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得:

（1）

證明:連接80并延長交AC于點。,連接。4、PD,

因為PO是三棱錐尸ー/WC的高,所以P。丄平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO丄AO、POYBO,

又PA=PB,所以APOA=/?P03,即。4=08,所以ノ。AB=NOBA,

又AB丄AC,即ノ84C=90°,所以/。4B+NOAD=90°,ZOBA+ZODA=9Qo,

所以N0。A=N。4。

所以A0=。0,即Ao=。0=。8,所以。為3。的中點，又E為尸B的中點，所以。叫〃。,

又。Ea平面PAC,P。U平面PAC,

所以。E//平面PAC

(2)解:過點A作AZ〃0P,如圖建立平面直角坐標系,

因為P0=3,AP=5,所以C?=√Cip2-PO2=4,

NoBA=NoBC=30°,所以8f>=2OA=8,則AD=4,AB=4√3,

所以AC=I2,所以。(26,2,〇),β(4√3,θ,θ),尸(2。,2,3),C(0,12,0)?所以

,AB=(4石,(),0),AC=(0,12,0),

一zヽh?AE=??/??+V+—z=O

設(shè)平面スEB的法向量為れ=(x,y,z),貝I卜.2?令z=2,則ぎ=-3,x=0,所以

W?AB=4√3Λ=0

ホ=(0,-3,2)；

——Γ~3

設(shè)平面AEC的法向量為ぶ=(α,b,c),則_^''a+?+24-?令a=乖>,則c=-6,6=0,所以

in-AC=Ub=O

〃小("。,司;

-124√3

√13×√39

設(shè)二面角C—AE-B為8,由圖可知二面角C—AE—B為鈍二面角,

所以CoSe=所以Sind=Jr-COS2，=エ

1313

故二面角C-AE-B的正弦值為共；

16.(2022.全國.高考真題)如圖,直三棱柱んBCーん4に的體積為4,AA/C的面積為

(I)求A到平面ABC的距離;

⑵設(shè)〇為んC的中點,AAt=AB,平面んBC丄平面ABBd,求二面角A—3?！狢的正弦值.

【答案】(1)及

⑵立

【解析】

【分析】

(1)由等體積法運算即可得解;

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC丄平面AB耳ん,建立空間直角坐標系,利用空間向量法即可得解.

(1)

在直三棱柱ABC-AiBtCt中,設(shè)點A到平面A1BC的距離為h,

sftvS

則匕-ABC=?.A,BC?h=W^=Al-ABC=1.ABC-AA=キ匕嶺s1q=ミ‘

解得ル=夜,

所以點A到平面ABC的距離為夜:

(2)

取AB的中點E,連接AE,如圖,因為AA=AB,所以AE丄A1B.

又平面ABC丄平面A8gA1?平面AlCn平面ABqAl=4B,

且AEU平面ABqAt,所以AE丄平面A∣BC,

在直三棱柱ABC-A円Cl中，BB.丄平面ABC,

[±∣BCu平面AiBC,BCu平面ん3C可得AE丄BC,BBi丄BC,

又AE,BBIU平面ABqA且相交,所以BC丄平面ABBiAi,

所以BC,8A,B4兩兩垂直,以B為原點,建立空間直角坐標系,如圖,

由(1)得AE=&，所以AA=A8=2,AiB=2丘,所以BC=2,

則A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點。(1,1,1),

則麗=(1,1,1),麗=(0,2,0),冊=(2,0,0),

一..m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面ΛBZ)的一個法向量/M=(X,y,z),貝叫_____,

mBA=2y=0

可取浣=(LO,-1),

設(shè)平面BZ)C的一個法向量”=(a,6,c),貝叫_____.,

m-BC=2a=0

可取:((),1,-1),

/----m`n11

則3加"?〉=麗=7^=1

所以二面角A-BD-C的正弦值為「出=W.

17.（2022?全國?高考真題（文））如圖,四面體ABC。中,AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為んC的

中點.

(1)證明:平面3切丄平面ACハ;

(2)設(shè)AB=8。=2,NACB=60。,點ド在8。上,當(dāng)ふAFC的面積最小時,求三棱錐ドーABC的體積.

【答案】(1)證明詳見解析

⑵@

【解析】

【分析】

(?)通過證明AC丄平面加里)來證得平面BEf)丄平面ACD.

(2)首先判斷出三角形AFC的面積最小時F點的位置,然后求得ド到平面ABC的距離,從而求得二棱錐

ドーASC的體積.

(I)

由于AD=Cハ,E是Ae的中點，所以AC丄ハE.

AD=CD

由于ノ0=8。，所以へAOB=/?CD8,

ZADB=ZCDB

所以んB=CB,故AC丄BD,

由于のEcBD=Q,DE,BDl平面BED,

所以AC丄平面8E￡),

由于ACU平面ACD，所以平面BEハ丄平面AC￡).

(2)

依題意Λ5=即=5C=2,NAeB=60。,三角形ΛBC是等邊三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=石,

由于Aハ=以>,Ar)丄8,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以。E=L

DE2+BE2=BD2>所以DE丄BE,

由于ACCBE=石,AcBEu平面A3C,所以Z)E丄平面A3C.

由于/SAOB=/?CQB,所以/bBA=NB5C,

BF=BF

由于?NFBA=NFBC,所以ziEBA二ルFBC,

AB=CB

所以A尸=Cド,所以砂丄AC,

由于リ"c=g?AC?EF，所以當(dāng)M最短時，三角形AFC的面積最小值.

過E作E尸丄瓦),垂足為ド,在RtZ?BEZ?中,二BE?DE=二BD?EF,解得EF=也,

222

FHBF3

過ド作相丄的垂足為，,則F∕≡E,所以口丄平面相。，且無=而="

所以山=“

所以匕TPC=；.眞"c.F"=；xgx2xgx《=￥.

(2022.全國.高考真題(理))如圖，四面體A8CZ?中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.

(1)證明:平面8E￡＞丄平面ACハ;

(2)設(shè)A3=3O=2,ZAC3=6()。,點尸在8の上，當(dāng)ふAFC的面積最小時,求Cド與平面AB。所成的角的正

弦值.

【答案】(D證明過程見解析

(2)CF