新教材人教a版選擇性必修第三冊(cè)第六章6.3.2第1課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案

6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第1課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.2.掌握“賦值法”并會(huì)靈活應(yīng)用．導(dǎo)語(yǔ)被譽(yù)為“世界七大奇跡”之一的古埃及的金字塔，以其宏偉的氣勢(shì)、嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)、精美絕倫的整體外觀讓世界嘆服．而數(shù)學(xué)上也有“金字塔”，這就是二項(xiàng)式(a＋b)n的展開式在n＝1,2，…時(shí)的二項(xiàng)式系數(shù)而壘成的金字塔，稱為楊輝三角，它是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的，比歐洲的帕斯卡整整早發(fā)現(xiàn)了500年左右．一、楊輝三角問(wèn)題1根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二項(xiàng)式系數(shù)．可以寫成如下形式，則第7行的數(shù)字分別是多少？提示1,7,21,35,35,21,7,1知識(shí)梳理(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)相加，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).例1(1)在(a＋b)n的二項(xiàng)展開式中，與第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A．第n－k項(xiàng) B．第n－k－1項(xiàng)C．第n－k＋1項(xiàng) D．第n－k＋2項(xiàng)答案D解析第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k－1,n)，由于Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同．(2)觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A．8B．6C．4D．2答案B解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.反思感悟解決與楊輝三角有關(guān)問(wèn)題的一般思路(1)觀察：對(duì)題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察．(2)找規(guī)律：通過(guò)觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題得解．跟蹤訓(xùn)練1(1)在(x＋y)n的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則n為()A．4B．6C．8D．10答案D解析由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，得n＝10.(2)如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于()A．20B．21C．22D．23答案C解析由a＝7，可知b左肩上的數(shù)為6，右肩上的數(shù)為11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.二、二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值問(wèn)題2怎樣找二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值？提示eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k).當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))>1，說(shuō)明二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；同理，當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減?。R(shí)梳理增減性與最大值：Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(nn－1…n－kn－k＋1,k－1！k)＝Ceq\o\al(k－1,n)eq\f(n－k＋1,k)，即eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k)，所以當(dāng)eq\f(n－k＋1,k)>1，即k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；由對(duì)稱性知，當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減?。?dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．注意點(diǎn)：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，有一項(xiàng)；(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，有兩項(xiàng)．例2已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)5，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．解∵5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T3＝Ceq\o\al(2,5)()3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)()2·(3x2)3＝270.反思感悟求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a＋b)n中的n進(jìn)行討論．(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．跟蹤訓(xùn)練2(1)(1－x)2n－1展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第n－1項(xiàng) B．第n項(xiàng)C．第n－1項(xiàng)與第n＋1項(xiàng) D．第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)答案D解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得，二項(xiàng)式系數(shù)最大為＝Ceq\o\al(n－1,2n－1)，＝Ceq\o\al(n,2n－1)，分別為第n，n＋1項(xiàng)．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n展開式的第6項(xiàng)系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為()A．120B．252C．210D．45答案C解析由題意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))k＝Ceq\o\al(k,10)，令30－5k＝0，得k＝6，故其常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(6,10)＝210.三、二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問(wèn)題問(wèn)題3在二項(xiàng)展開式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn中，令a＝b＝1，可得到什么結(jié)論？令a＝1，b＝－1，可得到什么結(jié)論？提示Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.例3若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.解(1)令x＝0，則a0＝－1.令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)∵Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(3x)7－k(－1)k，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16384.反思感悟求展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法“賦值法”是求二項(xiàng)式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值．一般地，要使展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項(xiàng)，令x＝1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項(xiàng)展開式中含負(fù)值項(xiàng)時(shí)，令x＝－1則可得各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(x∈R)．(1)求a0的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2022的值；(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值．解(1)在等式(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022中，令x＝0，得1＝a0.∴a0＝1.(2)在等式中，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2022，∴a1＋a2＋…＋a2022＝0.(3)分別令x＝－1，x＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32022＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022，①,1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＋a2022，②))②－①，得1－32022＝2(a1＋a3＋…＋a2021)．∴a1＋a3＋…＋a2021＝eq\f(1,2)(1－32022)．1．知識(shí)清單：(1)楊輝三角．(2)二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最值．(3)二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問(wèn)題．2．方法歸納：賦值法．3．常見誤區(qū)：系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別，中間項(xiàng)的個(gè)數(shù)，含絕對(duì)值的系數(shù)．1．在(a－b)20的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A．第15項(xiàng) B．第16項(xiàng)C．第17項(xiàng) D．第18項(xiàng)答案B解析第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(5,20)，又Ceq\o\al(15,20)＝Ceq\o\al(5,20)，所以第16項(xiàng)符合條件．2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第3項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第6,7項(xiàng) D．第5,7項(xiàng)答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的展開式中第eq\f(11＋1,2)項(xiàng)和eq\f(11＋1,2)＋1項(xiàng)，即第6,7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大．3．(x－1)11的展開式中，x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和是()A．2048B．－1023C．－1024D．1024答案D解析(x－1)11