-高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一作業(yè)含解析新人教版選修2-

PAGEPAGE3常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知f(x)＝sinα，則f′(α)＝()A．sinα B．0C．2sinα D．cosα＋sinα解析：f′(x)＝(sinα)′＝0，∴f′(α)＝0.答案：B2．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()A.eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D.eq\f(e2,2)解析：y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線的斜率為k＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案：D3．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于1，則這樣的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定解析：本題切線的條數(shù)是由切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)決定的，設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(3,0))，∵y′＝3x2，∴3xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝±eq\f(\r(3),3)，即切點(diǎn)有兩個(gè)，故斜率為1的切線有兩條．答案：B4．下列各式中正確的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x) B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3x·ln3解析：A項(xiàng)(logax)′＝eq\f(1,xlna)，B項(xiàng)同A，C項(xiàng)(3x)′＝3xln3.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求適合f′(x)＋1＝g′(x)的x值為_(kāi)_______．解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因?yàn)閒′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)6．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1.∴a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝lg5；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0；(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)；(3)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝x2－eq\f(1,2)＝xeq\f(3,2)；∴y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．已知曲線方程y＝x2，求過(guò)點(diǎn)B(2,3)且與曲線相切的直線方程．解析：顯然點(diǎn)B(2,3)不在曲線y＝x2上，即點(diǎn)B不為切點(diǎn)，故設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0.∴切線方程為y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．將點(diǎn)B(2,3)代入上式得3－xeq\o\al(2,0)＝2x0(2－x0)，即3－xeq\o\al(2,0)＝4x0－2xeq\o\al(2,0).∴xeq\o\al(2,0)－4x0＋3＝0，∴x0＝1或x0＝3.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(3,9)．∴所求切線方程為y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)，即2x－y－1＝0或6x－y－9＝0.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離．解析：根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0，y0)