空間中直線與平面、之間的位置關(guān)系課件人教版必修

第二章2.12.1.3&2.1.4理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，立體幾何中的問題要注意聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)物模型，這樣可以把抽象的問題具體化、形象化．比如觀察教室，教室墻面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光燈所在的線段抽象成一條直線．問題1：上述問題中日光燈管所在直線與墻面、地面、天花板有何位置關(guān)系？提示：平行或相交(垂直)．問題2：假如不小心一支鉛筆掉在地面上，那么鉛筆所在的直線與地面有何關(guān)系？提示：直線在平面內(nèi)．問題3：上述問題1、2中直線與平面的公共點(diǎn)個數(shù)如何？提示：直線與平面平行，無公共點(diǎn)，直線與平面相交只有1個公共點(diǎn)，直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)

公共點(diǎn)

公共點(diǎn)

公共點(diǎn)無數(shù)個一個沒有位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示觀察拿在手中的兩本書，我們可以想象兩本書為兩個平面．問題1：兩本書所在的平面可以平行嗎？公共點(diǎn)的個數(shù)是多少？提示：可以，無公共點(diǎn)．問題2：兩本書所在的平面可以相交嗎？公共點(diǎn)的個數(shù)是多少？提示：可以，有無數(shù)個．兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個數(shù)兩平面平行

兩平面相交

有

個公共點(diǎn)(在一條直線上)α∥βα∩β＝l沒有公共點(diǎn)無數(shù)1．利用公共點(diǎn)的個數(shù)也可以理解直線與平面的位置關(guān)系．(1)當(dāng)直線與平面無公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面平行．(2)當(dāng)直線與平面有一個公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面相交．(3)當(dāng)直線與平面有兩個公共點(diǎn)時(shí)，它們就有無數(shù)個公共點(diǎn)，這時(shí)直線在平面內(nèi)．2．對于平面與平面的位置關(guān)系，一般不考慮平面重合．[例1]

下列命題：①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題是________．[思路點(diǎn)撥]可按直線與平面位置關(guān)系的不同定義逐一判斷．[精解詳析]

對于①，直線l雖然與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于α，①是假命題．對于②，∵直線a在平面α外，包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，②是假命題．對于③，∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α，③是假命題．對于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，④是真命題．[答案]④[一點(diǎn)通]空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．1．圓臺的母線與圓臺的底面的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．平行C．母線在底面內(nèi) D．異面解析：圓臺的母線與圓臺的底面只有一個交點(diǎn)，故其位置關(guān)系為相交．答案：A2.如圖所示，A′B與長方體ABCD—A′B′C′D′的六個面所在的平面有什么位置關(guān)系？解：∵直線A′B與平面ABB′A′有無數(shù)個公共點(diǎn)，∴直線A′B在平面ABB′A′內(nèi)．∵直線A′B與平面ABCD，BCC′B′都有且只有一個公共點(diǎn)B，∴直線A′B與平面ABCD，BCC′B′相交．∵直線A′B與平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一個公共點(diǎn)A′，∴直線A′B與平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直線A′B與平面DCC′D′沒有公共點(diǎn)，∴直線A′B與平面DCC′D′平行．[例2]

(1)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，問α∥β是否正確，為什么？(2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行，問α∥β是否正確，為什么？[思路點(diǎn)撥]

(1)無數(shù)條直線不能代表所有直線，結(jié)合平面與平面平行的定義，舉出反例即可；(2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行，結(jié)合平面與平面平行的定義即可判斷．[精解詳析]

(1)不正確．如圖所示，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無數(shù)條：a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線，這時(shí)a1，a2，…，an，…與平面β都平行(因?yàn)閍1，a2，…，an，…與平面β無交點(diǎn))，但此時(shí)α與β不平行，α∩β＝l.(2)正確．平面α內(nèi)所有直線與平面β平行，則平面α與平面β無交點(diǎn)，符合平面與平面平行的定義．[一點(diǎn)通]

兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無公共點(diǎn)區(qū)分：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么由公理3可知，這兩個平面相交于過這個點(diǎn)的一條直線；如果兩個平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個平面互相平行．這樣我們可以得出兩個平面的位置關(guān)系：①平行——沒有公共點(diǎn)；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l.3．如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定解析：由分別在兩個平面內(nèi)的兩直線平行判定兩平面是相交或平行．解答本題可逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．答案：C4．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面．與其中一個側(cè)面相交的面共有________個．解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共有8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側(cè)面平行的面有1個，其余6個面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系．答案：4

6[例3]

(12分)已知：直線a∥b，a∩平面α＝P.求證：直線b與平面α相交．[思路點(diǎn)撥]

直接證不易推出時(shí)，可考慮嘗試反證法，找出矛盾即可．[精解詳析]如圖，∵a∥b，∴a和b確定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于過P點(diǎn)的直線l.(4分)∵在平面β內(nèi)l和兩條平行直線a，b中的一條直線a相交，∴l(xiāng)必和b相交于Q，即b∩l＝Q，(8分)又因?yàn)閎不在平面α內(nèi)(若b在α內(nèi)，則α和β都過兩相交直線b和l，因此α和β重合，a在α內(nèi)，與已知矛盾)，故直線b和平面α相交．(12分)[一點(diǎn)通]

對于直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，當(dāng)不易直接推證時(shí)，可用反證法．5.如圖所示，A∈l，A∈α，B?α，B∈l，求證：直線l和平面α相交．

證明：由已知直線l和α有公共點(diǎn)A，∴直線l不平行于