4金融工程無(wú)套利原理應(yīng)用

無(wú)套利原理的應(yīng)用主要內(nèi)容無(wú)套利原理遠(yuǎn)期和期權(quán)的合約價(jià)值討論遠(yuǎn)期價(jià)格投資資產(chǎn)消費(fèi)資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格的上下限無(wú)紅利情形有紅利情形二元期權(quán)(binary)現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值

Call(Cash-or-nothingCall):到期收益為VT=R，當(dāng)ST

>K時(shí)；VT=0，當(dāng)ST

K時(shí).資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值

Call(Asset-or-nothingCall):VT=ST，當(dāng)ST

>K時(shí)；VT=0，當(dāng)ST

K時(shí).C0=VA-KVC貸款的價(jià)值（1）考慮一筆1年期貸款，到期還款數(shù)額為B。借款企業(yè)在一年內(nèi)用該筆貸款進(jìn)行投資生產(chǎn)，在貸款到期日，銀行的收益如右圖企業(yè)資產(chǎn)V銀行收益BACB貸款的價(jià)值（2）銀行放貸后，其在到期日的收益和某看跌期權(quán)收益相似。設(shè)企業(yè)的資產(chǎn)價(jià)值為V，則在貸款到期日T，貸款的價(jià)值=銀行的收益，即銀行的收益=min{VT,B}=B-max{B-VT,0}

=B-(B-VT)+貸款的價(jià)值（3）由無(wú)套利原理可得，

該筆貸款t時(shí)刻的價(jià)值=Be-r(T-t)–P(V,t;B,T)，這里P(V,t;B,T)表示標(biāo)的資產(chǎn)為V，敲定價(jià)格為B，到期日為T(mén)的歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值.P(V,t;B,T)度量了貸款的信用風(fēng)險(xiǎn)。公司股權(quán)的價(jià)值假設(shè)公司只有一筆負(fù)債，且到期償付金額為D；公司資產(chǎn)(V)=股東權(quán)益(E)+負(fù)債(D)；在債務(wù)到期日，股權(quán)價(jià)值為當(dāng)VT>D時(shí)，ET=VT–D；當(dāng)VT<D時(shí)，ET=0；即，ET=(VT–D)+遠(yuǎn)期合約和期權(quán)合約價(jià)值的討論兩種合約在簽定時(shí)的價(jià)值為0，在簽定后，合約的價(jià)值可正可負(fù)，這主要取決于原生資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)。兩種合約的簽定雙方在交割日都必須履行協(xié)議內(nèi)容，不考慮信用風(fēng)險(xiǎn)。利率是常值或是時(shí)間的確定函數(shù)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格等于期貨價(jià)格。遠(yuǎn)期合約與期貨投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格-例考慮一個(gè)有效期為3個(gè)月的不支付紅利的股票遠(yuǎn)期合約。股票當(dāng)前價(jià)格$40，3個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%(年利率)，$40三個(gè)月后值40e0.05/4=$40.50。若該合約遠(yuǎn)期價(jià)格為$43，是否有套利機(jī)會(huì)?若該合約遠(yuǎn)期價(jià)格為$39，是否有套利機(jī)會(huì)?多頭方有套利機(jī)會(huì)空頭方有套利機(jī)會(huì)遠(yuǎn)期價(jià)格為$43時(shí)的套利機(jī)會(huì)策略1：以5%的年利率借入$40，買入股票，同時(shí)賣出3個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約(遠(yuǎn)期價(jià)格為$43)。3個(gè)月到期后，該策略的收益為$(43-40.5)=$2.5$2.5是在策略投資人不用任何投入的情況下，獲得的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。遠(yuǎn)期價(jià)格為$39時(shí)的套利機(jī)會(huì)策略2：賣空股票獲得$40，存入銀行，同時(shí)買入一份3個(gè)月期的股票遠(yuǎn)期合約(遠(yuǎn)期價(jià)格$39)。3個(gè)月到期后，該策略的收益為$(40.50-39)=$1.5。同樣，$1.5是該策略所得的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益?；炯僭O(shè)市場(chǎng)無(wú)套利。若出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，參與者必將參與套利活動(dòng)；市場(chǎng)參與者交易無(wú)交易費(fèi)用；市場(chǎng)參與者的所有凈交易利潤(rùn)使用同一稅率；市場(chǎng)參與者可以以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金；市場(chǎng)中允許賣空操作。符號(hào)T遠(yuǎn)期或期貨合約的到期時(shí)刻；S0

合約中標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格；F0當(dāng)前的遠(yuǎn)期或期貨價(jià)格；r對(duì)交割日到期的一項(xiàng)投資而言，以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的零息票無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格在有效期內(nèi)，不支付收益證券的遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為F0=S0exp{rT}(1)在有效期內(nèi)，已知紅利或利息收益的現(xiàn)值為I，相應(yīng)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為F0=(S0-I)exp{rT}(2)在有效期內(nèi)，標(biāo)的證券紅利率為q，其遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為F0=S0exp{(r-q)T}(3)現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式構(gòu)造策略投資策略1：以利率r借$S0購(gòu)買股票，并持有到T時(shí)刻,到期收益=ST-S0exp{rT}.投資策略2：初始時(shí)刻持有股票遠(yuǎn)期多頭，到期日T，遠(yuǎn)期價(jià)格為F0，到期收益=ST-F0.兩個(gè)投資策略在T時(shí)刻都是持有股票ST，故收益應(yīng)相等，否則存在套利機(jī)會(huì)。遠(yuǎn)期外匯協(xié)議遠(yuǎn)期外匯協(xié)議是以某種外匯為標(biāo)的資產(chǎn)，雙方約定在未來(lái)某一時(shí)間按約定的遠(yuǎn)期匯率買賣一定金融該種外匯的合約。利率平價(jià)關(guān)系：若rf>r,則遠(yuǎn)期匯率小于現(xiàn)貨匯率，即外匯遠(yuǎn)期貼水；若rf<r,則遠(yuǎn)期匯率大于現(xiàn)貨匯率，即外匯遠(yuǎn)期升水。其中rf

是外匯發(fā)行國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。持有成本(CostofCarry)持有成本=保存成本+利息成本-標(biāo)的證券合約期內(nèi)收益。不支付紅利的證券沒(méi)有保存成本和收益，故持有成本是r；支付紅利的證券，如股指，持有成本是r–q；外幣的持有成本是r-rf。若遠(yuǎn)期(期貨)定價(jià)中的持有成本為c，則Ft=Stec(T-t)。有效期內(nèi)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值Vt表示t時(shí)刻遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值Ft表示在t時(shí)刻新簽的到期日為T(mén)的遠(yuǎn)期合約中的遠(yuǎn)期價(jià)格St表示t時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格由公式(1)知，F(xiàn)t=Stexp{r(T-t)}于是Vt=St-F0exp{-r(T-t)}=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}Tt0STFtF0如何得到？t時(shí)刻構(gòu)造兩個(gè)投資組合組合1：持有一個(gè)股票遠(yuǎn)期合約的多頭(到期日為T(mén)，遠(yuǎn)期價(jià)格為F0)，t時(shí)刻的價(jià)值為Vt，同時(shí)持有現(xiàn)金F0exp{-r(T-t)}；組合2：持有一只該股票，t時(shí)刻價(jià)格為St兩個(gè)組合在T時(shí)刻的價(jià)值相等，都是擁有一只該股票。續(xù)由于市場(chǎng)是無(wú)套利的，故T時(shí)刻之前的任何時(shí)刻，兩組合的價(jià)值都應(yīng)該相等，即Vt+F0exp{-r(T-t)}=StVt=St-F0exp{-r(T-t)}Vt=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)考慮：相同標(biāo)的資產(chǎn)，不同到期期限的遠(yuǎn)期價(jià)格間的關(guān)系。F0為到期日為T(mén)的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)0=S0exp{rT}F*0為到期日為T(mén)*的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*0=S0exp{r*T*}r為[0,T]內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；r*為[0,T*]內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。于是有F*0=F0exp{r*T*-rT}；F*t=Ftexp{r*(T*-t)-r(T-t)}。遠(yuǎn)期利率協(xié)議(FRA)遠(yuǎn)期利率協(xié)議(FRA)是買賣雙方同意從未來(lái)某一確定時(shí)刻T開(kāi)始的一定時(shí)期[T,

T*]內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定并以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。遠(yuǎn)期協(xié)議利率也稱為遠(yuǎn)期利率，記為rF其中r是[t,T]內(nèi)的即期利率，r*為[t,T*]內(nèi)的即期利率。練習(xí)已知3個(gè)月期和6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率分別為3.8%和4%，以某不支付紅利的股票為標(biāo)的資產(chǎn)的3個(gè)月遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為$20，6個(gè)月期的遠(yuǎn)期價(jià)格為$21，那么該如何進(jìn)行套利操作？6個(gè)月遠(yuǎn)期價(jià)格為20.21.因此，持有6個(gè)月遠(yuǎn)期的空頭，持有3個(gè)月遠(yuǎn)期的多頭。3個(gè)月后借錢(qián)20執(zhí)行多頭；6個(gè)月后執(zhí)行空頭，獲益21-20(1+2%-0.95%)=0.79摩擦市場(chǎng)的定價(jià)-存在交易成本假定標(biāo)的資產(chǎn)每筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會(huì)的遠(yuǎn)期價(jià)格區(qū)間為期初：持有遠(yuǎn)期多頭且賣空S；期末：執(zhí)行遠(yuǎn)期并還S。期末收益=(1-Y)Sexp{r(T-t)}-F；期初：持有遠(yuǎn)期空頭且借錢(qián)買S；期末：執(zhí)行遠(yuǎn)期并還錢(qián)。期末收益=F-(1+Y)Sexp{r(T-t)}。摩擦市場(chǎng)的定價(jià)-存在借貸利差用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，顯然rb>rl。這時(shí)遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格區(qū)間為對(duì)于遠(yuǎn)期多頭，期初賣空S，期末執(zhí)行遠(yuǎn)期還S，則收益=Sexp{rl(T-t)}-F；對(duì)于遠(yuǎn)期空頭，期初借錢(qián)買入S，期末執(zhí)行遠(yuǎn)期還錢(qián)，則收益=F-Sexp{rb(T-t)}。摩擦市場(chǎng)的定價(jià)-存在賣空限制因?yàn)橘u空會(huì)給經(jīng)紀(jì)人帶來(lái)很大風(fēng)險(xiǎn)，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)賣空限制增加的成本比例為X，那么遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間為注意，賣空出現(xiàn)在持有遠(yuǎn)期多頭的情形，對(duì)于遠(yuǎn)期空頭方不受影響。非完美市場(chǎng)的定價(jià)公式如果上述三種情況同時(shí)存在，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間為：完美市場(chǎng)可以看成是X=0,Y=0,rb=rl=r的特殊情況。消費(fèi)資產(chǎn)消費(fèi)資產(chǎn)主要是為了進(jìn)行消費(fèi)而持有的資產(chǎn)。消費(fèi)資產(chǎn)的使用者認(rèn)為持有實(shí)實(shí)在在的商品要比持有期貨或遠(yuǎn)期合約更有好處。投資資產(chǎn)是眾多投資者僅為了進(jìn)行投資而持有的資產(chǎn)。只要有利可圖，這些投資者會(huì)賣出他們的持有物并買入遠(yuǎn)期。消費(fèi)商品的遠(yuǎn)期價(jià)格消費(fèi)商品(石油，玉米)一般不支付收益，但會(huì)有很大的貯存成本。設(shè)成本現(xiàn)值為U。如果某消費(fèi)商品的遠(yuǎn)期價(jià)格F0滿足F0>(S0+U)exp{rT},那么市場(chǎng)上存在套利機(jī)會(huì)。因此，對(duì)于消費(fèi)類商品的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)滿足F0

(S0+U)exp{rT}。Short：借錢(qián)買入S并交納存儲(chǔ)費(fèi)，同時(shí)持有遠(yuǎn)期空頭對(duì)于投資資產(chǎn)的遠(yuǎn)期這時(shí)也存在套利機(jī)會(huì)：賣出S并持有遠(yuǎn)期多頭。便利收益對(duì)于消費(fèi)類商品，通過(guò)持有現(xiàn)貨，即實(shí)際商品可以使生產(chǎn)商從暫時(shí)的當(dāng)?shù)厣唐范倘敝蝎@利，或者具有維持生產(chǎn)線運(yùn)行的能力。這種持有實(shí)際商品現(xiàn)貨帶來(lái)的好處稱為商品的便利收益。如果已知貯存成本的現(xiàn)值U,那么使得F0exp{gT}=(S0+U)exp{rT}成立的g，就定義為便利收益。期限結(jié)構(gòu)設(shè)F1和F2是基于同一種商品的兩份期貨，到期日分別為T(mén)1和T2，且T2>T1，則F2

F1exp{r(T2-T1)}。否則，F(xiàn)2>F1exp(r(T2-T1))。這時(shí)持有到期為T(mén)1的多頭，和到期T2的空頭。在T1時(shí)借F1買入商品并持有到T2；在T2時(shí)用商品換成F2，并還錢(qián)F1exp(r(T2-T1)),套利出現(xiàn)。T1T20練習(xí)

黃金的現(xiàn)價(jià)為每盎司$1100,一年后交割的黃金遠(yuǎn)期價(jià)格為每盎司$1300。一位套利者可以10%的年利率借到錢(qián)。問(wèn)：套利者該如何操作才能獲利？假設(shè)黃金本身不產(chǎn)生收入，儲(chǔ)存費(fèi)用為U且到期支付?？偨Y(jié)由現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式知遠(yuǎn)期(期貨)與現(xiàn)貨的相對(duì)價(jià)格只與持有成本有關(guān)，與預(yù)期未來(lái)現(xiàn)貨的漲跌無(wú)關(guān)。標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)同一時(shí)刻的遠(yuǎn)期(期貨)價(jià)格有重要的制約關(guān)系。理論上遠(yuǎn)期(期貨)價(jià)格取決于現(xiàn)貨價(jià)格，但在實(shí)際中體現(xiàn)為遠(yuǎn)期(期貨)價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格同時(shí)對(duì)新信息做出反應(yīng)。實(shí)證表明遠(yuǎn)期(期貨)價(jià)格有價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能。期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)期權(quán)價(jià)格的上限看漲期權(quán)在任何情況下，其價(jià)值都不會(huì)超過(guò)股票的價(jià)值，即c0

S0，C0S0看跌期權(quán)在任何情況下，其價(jià)值都不會(huì)超過(guò)敲定價(jià)格K的現(xiàn)值，即p0Ke-rT，P0Kc和p表示歐式期權(quán)，C和P表示美式期權(quán)。否則，賣出C買入S否則，賣出P并存入銀行歐式期權(quán)價(jià)值的估計(jì)對(duì)[0,T)中的任意時(shí)刻t,有(St–Ke-r(T-t))+<ct<St

(Ke-r(T-t)-St)+<pt<Ke-r(T-t)平價(jià)公式(call-putparity)ct+Ke-r(T-t)=pt+St，對(duì)[0,T]中的所有時(shí)刻t都成立。不支付紅利：Put-CallParity考慮下面兩個(gè)投資組合組合1：買歐式看漲，買面值為K的零息貼現(xiàn)債券；組合2：買歐式看跌和標(biāo)的股票。在到期日，兩個(gè)組合的價(jià)值都是max(ST,K)由無(wú)套利原理II知，c0+Ke-rT=p0+S0

歐式看漲期權(quán)--套利機(jī)會(huì)?設(shè)

c0=$3 S0=$20 T=1年 r=10%(年利率) K=$18 D=0(不支付紅利)是否存在套利機(jī)會(huì)?（e-0.1=0.9048；18e-0.1=16.2871；17e0.1=18.79）由于c0<S0-Ke-rT，故存在套利機(jī)會(huì)：初始時(shí)刻，賣空股票獲$20，同時(shí)買call花費(fèi)$3，去掉花費(fèi)將$17存入銀行一年，到期17e0.1=18.79；一年后，S>18,執(zhí)行call，買入股票并償還?？偸找妗?8.79-18=$0.79。歐式看跌期權(quán)--套利機(jī)會(huì)?設(shè)

p0=$1 S0=$37 T=0.5年r=5%(年利率) K=$40 D=0(不支付紅利)是否存在套利機(jī)會(huì)?（e0.025=1.0253；40e-0.025=39.0124；38e0.025=38.9614）由于p0<Ke-rT-S0，故存在套利機(jī)會(huì)：初始時(shí)刻，借款$38買put和股票，期限半年，到期還銀行38e0.025=38.9614；半年后，S<40,執(zhí)行put，賣出股票并償還貸款?？偸找妗?0-38.9614=$1.0386。例：本金保底合約Principalprotection：使投資者的回報(bào)在一定水平得到保證的合約。設(shè)投資的證券價(jià)格為St，在T時(shí)刻的產(chǎn)品收益為VT

=max{ST,S0}=S0+max{ST-S0,0}該產(chǎn)品可看成：面值為S0的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)債券和執(zhí)行價(jià)為S0的歐式Call續(xù)該保底產(chǎn)品的價(jià)格為V0=S0e-rT+C0(S0,T;

S0)由于C0(S0,T;

S0)>S0(1-e-rT)故

V0>S0

這說(shuō)明，投資者希望只投資S0,并享有收益max{ST,S0}是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)橥缎谢虮ｋU(xiǎn)公司不可能免費(fèi)提供這種服務(wù)。本金保底產(chǎn)品的設(shè)計(jì)向顧客收取一次性費(fèi)用，費(fèi)用的大小是V0-S0不多收取本金，但調(diào)整產(chǎn)品的到期收益為S0+pmax{ST-S0,0}其中，p介于0，1之間，稱為投資參與百分比。p的選取是使得投資額與S0相等。美式和歐式期權(quán)比較美式期權(quán)的持有人總是有機(jī)會(huì)提前實(shí)施。與歐式期權(quán)相比，美式期權(quán)的持有人有更多獲益的機(jī)會(huì)，故其價(jià)值不小于相應(yīng)的歐式期權(quán)，即 Ct

ct Pt

pt

否則，賣出歐式，買入美式美式期權(quán)價(jià)值的估計(jì)對(duì)[0,T)中的任意時(shí)刻t,有ct≤Ct；pt≤Pt

Ct

≥(St-K)+；Pt

≥(K-St)+在不支付紅利的情形下，有Ct=ctSt-K<Ct–Pt<St–Ke-r(T-t)

(St-K)+<(St–Ke-r(T-t))+<ct≤Ct

否則，借錢(qián)買入美式并立即執(zhí)行美式看跌期權(quán)-提前實(shí)施？在某時(shí)刻t，若股價(jià)下跌到K(1-e-r(T-t))之下，問(wèn)該股票的美式看跌期權(quán)是否應(yīng)提前實(shí)施？若提前實(shí)施，立即獲得收益K-St≥Ke-r(T-t)

,將此收益立時(shí)存入銀行，到T時(shí)刻獲得收益一定大于K；若不提前實(shí)施，則在到期日T獲得收益(K-ST)+該收益不會(huì)超過(guò)K。因此，股價(jià)下跌到一定程度,提前實(shí)施美式看跌期權(quán)是有必要的。敲定價(jià)格對(duì)歐式期權(quán)價(jià)值的影響設(shè)ct(K),pt(K)分別表示敲定價(jià)格為K的歐式看漲和看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值。對(duì)具有相同到期日的ct(K1),ct(K2)和pt(K1),pt(K2),若K1>K2,則0≤ct(K2)-ct(K1)≤K1–K2

0≤pt(K1)-pt(K2)≤K1–K2

續(xù)設(shè)K=K1+(1-)K2,[0,1],則有

ct(K)≤ct(K1)+(1-)ct(K2)，

pt(K)≤pt(K1)+(1-)pt(K2)。

對(duì)任意>0,

有

ct(St,K)=ct(St,K)，pt(St,K)=pt(St,K)。

紅利對(duì)歐式期權(quán)價(jià)格下界的影響組合1：c+D+Ke-rT組合2：S在到期日，V1=max{ST,K}+DT>V2=ST+DT組合1：D+Ke-rT組合2：p+S在到期日，V2=max{ST,K}+DT>V1=DT+K紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響歐式期權(quán)平價(jià)公式：D>0 c0+D+Ke-rT=p0+S0

美式期權(quán)：D>0 S0-D-K<C0–P0<S0-Ke-rT(思考？)支付紅利的美式Call（紅利率q）若不提前實(shí)施,在到期日T的收益為(ST-K)+；若在t時(shí)刻股價(jià)上升到一定程度,則立即實(shí)施：借現(xiàn)金K買入股票St,只要St足夠大，使得紅利qSt足以抵消貸款利息K(er(T-t)-1),于是提前實(shí)施所得收益就可能超過(guò)不提前實(shí)施的收益。由于紅利的存在,當(dāng)原生資產(chǎn)的價(jià)格上升到一定程度,提前