數(shù)字圖像處理第七章

數(shù)字圖像處理第七章課件第一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日小波-——有限寬度的波；‘小’是指其衰減性， ‘波’是指其波動(dòng)性，其正負(fù)相間的震蕩形式。 變化的頻率，有限的時(shí)延

小波與音樂(lè) 頻率-音高，時(shí)延-音長(zhǎng)圖像的小波變換——圖像的樂(lè)譜第二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日 小波分析是近60年來(lái)，特別是80年代中后期發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。多分辨率理論包括：信號(hào)處理中的子帶編碼數(shù)字語(yǔ)音識(shí)別中的正交鏡像濾波金字塔圖像處理第三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.1背景相似紋理和灰度的連通區(qū)域——形成物體如果這些物體小或反差低，需要在高分辨率觀察；物體大或反差大，僅需在低分辨率觀察。但是,如果一張圖中的物體有大有小，或反差有高有低，則比較好的辦法是在不同分辨率上研究它們。第四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.1Background圖例：局部直方圖在到處變化?？梢?jiàn),在一張圖中做簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)能說(shuō)明什么？/無(wú)法對(duì)整張圖像定義一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)模型。通常多分辨率分析是需要的。第五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.1.1圖像金字塔均值/差值圖像金字塔，從底到第P層的總像素：<=（4/3）N2，采樣數(shù)大于原始像元數(shù)：超完備表示第七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日從左到右（底到頂）逐層平均，1維是2點(diǎn)平均，2維是4點(diǎn)平均…

合計(jì)相減存儲(chǔ)加減均值金字塔差異金字塔需要存儲(chǔ)各點(diǎn)僅需存儲(chǔ)n點(diǎn)，但要逐層重建第八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日每次疊代有3個(gè)步驟：計(jì)算輸入圖像的降（空間）分辨率的近似圖。低通濾波后2維下采樣。2維上采樣步驟1的輸出，并用插補(bǔ)濾波器濾波。計(jì)算步驟1和步驟2輸出的差異，記為第j層的預(yù)測(cè)誤差。經(jīng)過(guò)P次疊代產(chǎn)生兩個(gè)內(nèi)在相關(guān)的P+1層金字塔：近似與預(yù)測(cè)誤差金字塔。如圖7.3圖7.2(b)產(chǎn)生圖像金字塔的框圖說(shuō)明第九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)7.1圖的一種可能的近似和預(yù)測(cè)誤差4層金字塔5*5的高斯低通濾波后下采樣Laplacian預(yù)測(cè)誤差(零值移到中灰度顯示）L10L9L8L7L7適合于定位窗梃，而不適于看瓶花的根莖預(yù)測(cè)誤差的直方圖在0處有尖峰。適于壓縮。第十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D像金字塔示例第十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日空間域的圖像鑲嵌用差異金字塔的圖像鑲嵌第十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日多分辨率人臉檢測(cè)第十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.1.2子帶濾波兩波段子帶編/解碼h0,h1是半波數(shù)字濾波器，其波譜分割特性如下圖選擇h0,h1,g0,g1,使的輸入信號(hào)能被完美重建，即x’(n)=x(n)第十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日QMF=Quadraturemirrorfilters（1976）積分鏡像濾波器CQF=Conjugatequadraturefilters（1986）共軛積分濾波器表7.1完全重建的濾波器家族（1維）這些1維濾波器可以對(duì)圖像的行、列分別作用來(lái)處理2維圖像第十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.5子帶圖像編碼的2維，4波段濾波器族近似垂直細(xì)節(jié)（水平邊緣）水平細(xì)節(jié)對(duì)角細(xì)節(jié)先做垂直方向的低/高通濾波mn后做水平方向的低/高通濾波？圖像的多分辨率分解第十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.64個(gè)8拍Daubechies正交濾波器的脈沖響應(yīng)其中h0(n),n=0,1,…7-0.010597400.032883010.03084138-0.18703481-0.027983760.630880760.714846570.23037781g0(K-1-n)=h0(n)g1(n)=(-1)ng0(K-1-n)h1(n)=g1(K-1-n)鏡像濾波器分解合成第十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.7用(7.6圖)子帶濾波器的(7.1圖）4頻帶拆分近似子帶水平子帶垂直子帶對(duì)角子帶參見(jiàn)圖7.5流程第十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日級(jí)聯(lián)的分解/合成濾波器族第十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Haar基函數(shù)定義在區(qū)間[0，1]，要求N=2n.基函數(shù)在尺度和位置上都不同，必須有兩個(gè)變量p,q。令k由另兩個(gè)整數(shù)p(尺度),q（位置）唯一決定：其中2p是不大于k的2的最大冪，而q-1是余數(shù)。Haar函數(shù)定義為：對(duì)i=0,1,…,N-1，令x=i/N，則可以產(chǎn)生一組基函數(shù)。7.1.3Haar變換第二十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Haar變換的酋核心陣:矩陣越大，零元素越多第二十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.8采用Haar基函數(shù)的離散小波變換可由上圖重構(gòu)的不同尺寸近似圖與子帶濾波與Laplacian金字塔類(lèi)同第二十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日上節(jié)介紹的3種著名成像技術(shù)在一種稱(chēng)為多分辨率分析MRA的獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)理論的發(fā)展中起重要作用。在MRA中用一個(gè)比例函數(shù)創(chuàng)建系列近似圖，各圖與其最緊鄰的近似圖相差2的因數(shù)。另一個(gè)稱(chēng)為小波的函數(shù)用來(lái)記錄相鄰近似圖之間的差異。7.2多分辨率擴(kuò)展第二十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.2.1系列展開(kāi)一個(gè)函數(shù)的線(xiàn)性展開(kāi)式k是整數(shù)，是實(shí)值展開(kāi)系數(shù)是實(shí)值展開(kāi)函數(shù)如果展開(kāi)是唯一的，稱(chēng)之為基函數(shù)。展開(kāi)函數(shù)序列被稱(chēng)為可被如此展開(kāi)的一類(lèi)函數(shù)的基。這些函數(shù)形成一個(gè)函數(shù)空間，稱(chēng)為該展開(kāi)序列的閉范圍ClosedSpan第二十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：正變換的本質(zhì)：在新坐標(biāo)軸上的投影。例如：含義：4維空間坐標(biāo)軸（基向量）含義：f在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的投影（值）第二十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)任何函數(shù)空間V及其對(duì)應(yīng)的展開(kāi)序列存在一個(gè)對(duì)偶函數(shù)序列可用來(lái)計(jì)算f的投影系數(shù)：其中，是的復(fù)共軛根據(jù)展開(kāi)序列的正交性，投影系數(shù)的計(jì)算可采用3種可能的形式之一。題7.10b第二十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)展開(kāi)序列函數(shù)的正交性,

點(diǎn)積的計(jì)算有3種情況:情況1:正交如果這時(shí)稱(chēng)為自對(duì)偶情況2:雙正交如果第二十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日情況3:展開(kāi)序列不是V的一個(gè)基,但是支持展開(kāi)定義式對(duì)于任一有多組展開(kāi)系數(shù)這種展開(kāi)序列函數(shù)及其對(duì)偶函數(shù)被稱(chēng)為超完備或冗余的，它們形成一種所謂的小波標(biāo)架:其中當(dāng)A=B，該展開(kāi)序列函數(shù)稱(chēng)為緊標(biāo)架，這時(shí)：第二十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.2.2多分辨率擴(kuò)展的比例尺函數(shù)由實(shí)軸上平方可積函數(shù)的整數(shù)位移k和2進(jìn)變比例所組成的展開(kāi)函數(shù)集：其中，j,k為整數(shù)。k決定函數(shù)在x軸上的位置；j決定函數(shù)的寬度，而2j/2控制函數(shù)的高度/幅值。當(dāng)j為某定值，其對(duì)應(yīng)的展開(kāi)函數(shù)集是的子集。所支撐的空間記為第二十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D7.9在j=0,1時(shí)的Haar比例尺函數(shù)(e):(f):由(f)可見(jiàn)，如果f(x)是V0的元素，則也是V1的元素。例7.4第三十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日上例7.4中的簡(jiǎn)單比例尺函數(shù)遵循多分辨率分析(MRA)的4個(gè)基本要求：1、比例尺函數(shù)與其整數(shù)位移正交（圖7.9a,b,c,d)Haar函數(shù)：緊支2、比例尺函數(shù)支撐的子空間是大比例尺的空間包含小比例尺：圖7.103、所有子空間的公共函數(shù)是：f(x)=04、所有函數(shù)都可以以任意精度表示：在這些條件下：子空間Vj的展開(kāi)函數(shù)可由子空間Vj+1的展開(kāi)函數(shù)加權(quán)和表示。第三十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日將j=k=0代入上式，得MRA方程：是比例尺函數(shù)系數(shù)（原來(lái)用a0)因?yàn)椋旱谌?yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.2.3小波函數(shù)

給定滿(mǎn)足MRA要求的比例尺函數(shù)，就能定義帶j,k的小波函數(shù)ψ(x),來(lái)支撐兩個(gè)相鄰子空間Vj

與Vj+1的差異。如圖7.11所示，我們定義小波集合：第三十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日與比例尺函數(shù)一樣，記：如果：則：上圖中的比例尺函數(shù)和小波函數(shù)子空間的關(guān)系為：其中?表示空間的聯(lián)合。第三十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Vj在Vj+1的正交補(bǔ)足空間是Wj，Vj中的所有元素與Wj的元素正交：所有可測(cè)度的、平方可積的函數(shù)空間可表示為：或或者甚至第三十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日由于小波空間被包含在由較高分辨率比例尺函數(shù)支撐的空間中(圖7.11)，任何小波函數(shù)均可以表示其較高分辨率比例尺函數(shù)的線(xiàn)性組合:其中，稱(chēng)為小波函數(shù)系數(shù)。可證明，小波函數(shù)系數(shù)與比例尺函數(shù)系數(shù)間的關(guān)系為：這與子帶濾波器的脈沖響應(yīng)間的關(guān)系相似，（鏡像）第三十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Haar小波：W0Haar小波：W1圖d:V1中的函數(shù)f(x)可由V0?W0表示,Page372如：圖d=圖e+圖fV0W0例7.6第三十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日（重復(fù)）Haar變換的函數(shù)定義在閉區(qū)間[0，1]：令正整數(shù)：整數(shù)p,q分別是尺度和位移。Haar函數(shù)定義：對(duì)于i-0,1,2,…,N-1,如果x=i/N,則可產(chǎn)生一組基函數(shù)。Haar函數(shù)是一些簡(jiǎn)單的階躍函數(shù)。第三十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Haar單位高、單位寬的尺度函數(shù)：Haar小波函數(shù)：第三十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.3WaveletTransformsinOneDimension小波系列展開(kāi)離散小波變換連續(xù)小波變換付氏系列展開(kāi)離散付氏變換連續(xù)付氏變換第四十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.3.1小波系列展開(kāi)在小波ψ和比例尺函數(shù)φ上定義實(shí)軸平方可積函數(shù)f：其中：j0是任意起始比例尺，稱(chēng)為近似或比例系數(shù)；稱(chēng)為細(xì)節(jié)或小波系數(shù)。第1項(xiàng)是在j0比例尺上近似f(x),第2項(xiàng)是累加j0起的細(xì)節(jié)。如果展開(kāi)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交歸一化的基，則：第四十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例7.7第四十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日一維小波變換：將2個(gè)子帶的濾波器族遞歸地用到前一步的低頻子帶，產(chǎn)生倍頻分裂第四十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.3.2TheDiscreteWaveletTransform（DWT）上述小波展開(kāi)是針對(duì)連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于離散采樣序列，上述小波系列展開(kāi)式就變成：DWT變換對(duì)：對(duì)j>=j0其中，f(x),是離散變量x=0,1,2,…M-1的函數(shù)通常j0=0,M=2J,因此：x=0,1,2,…,M-1,j=0,1,2,…J-1,k=0,1,2,…,2j-1.(上限與j的當(dāng)前值有關(guān)）近似系數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)第四十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例7.8計(jì)算f(x)={1,4,-3,0}的1維DWTM=4,J=2,j0=0采用Haar比例尺和小波函數(shù)，并假設(shè)f(x)的4個(gè)樣本分布在這些基函數(shù)的支撐上。這樣，DWT得到第四十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日從重建原函數(shù)：j=0,1問(wèn)題7.16第四十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.3.3連續(xù)小波變換（CWT)略第四十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.4TheFastWaveletTransform(FWT)第四十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日7.52維小波變換yxi={H,V,D}第四十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日大小為M*N的函數(shù)f(x,y)的DWTi={H,V,D}其中，j0是任意初始尺度，是對(duì)f(x,y)在該尺度上的近似。是為尺度j>=j0的f(x,y)添加方向細(xì)節(jié)。正向第五十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日反向：可用數(shù)字濾波器和下采樣實(shí)現(xiàn)。第五十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日2D-DWT的頻域系數(shù)4分樹(shù)第五十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日沿行方向檢測(cè)，得垂直邊緣沿列方向檢測(cè)，得水平邊緣nm合成濾波器族分析濾波器族2D-FWT求內(nèi)積線(xiàn)性疊加第五十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例7.123尺度的FWT第五十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第4階一維對(duì)稱(chēng)小波Symlets=SymmetricalWavelets分解濾波器合成濾波器一維的小波和尺度第五十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Fig.7.24(Con’t)檢測(cè)水平細(xì)節(jié)的2維小波xy第五十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日不同小波基的小波變換第五十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Daubechiesorthonormal8-tapfilters

第五十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日8-padsSymlets第五十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日雙正交Cohen-Daubechies-Feauveau17/11wavelets

第六十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日小波在圖像處理中的應(yīng)用步驟：計(jì)算一幅圖像的2維小波變換改動(dòng)變換頻譜計(jì)算反變換由于DWT的尺度和小波向量被用作低通和高通濾波器，大部分付氏變換域的濾波技術(shù)都有對(duì)應(yīng)的小波域?yàn)V波技術(shù)。第六十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例7.13小波基邊緣檢測(cè)第六十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日Multiscaleedgedetection

第六十三頁(yè)，共六十九