運用基本不等式求最小值七種題型

PAGEPAGE7運用基本不等式求最小值七種題型基本不等式經(jīng)常用來求最小值，進而求函數(shù)的值域，證明相關(guān)的不等式.在函數(shù)、解析幾何、數(shù)列的最值問題中常常用到.一、直接運用基本不等式1.已知，則的最小值為（）A.4B.8C.16D.32解：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.2.已知，則的最小值為（）A.4B.8C.16D.32解：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.3.若實數(shù)滿足，則的最小值為______________.解：∵∴∴∴.4.若，求的最小值.并求的值.解：∵∴.當(dāng)且僅當(dāng)(略)5．若，則的最小值為（）A．B．C．D．解析:∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．直接應(yīng)用6.函數(shù)的值域為；解：∴值域為二、變形后運用基本不等式1．已知，則函數(shù)的最小值為_______，此時；分離法解:∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值2．2.已知，函數(shù)的最小值為；此時；（拼湊）解析:∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值．3.函數(shù)的最小值是．.(換元分離法)解：令，則,則當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以取得最小值4所以，所求函數(shù)的值域為.4.函數(shù)的最小值是__________.【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為.故填：.(換元分離法)三、整體代換后運用基本不等式1.設(shè)為正數(shù)，且，求的最-小值；（整體代換）解：∵，且∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又0，即時，等號成立，故的最小值為;2.已知，且，求的最小值.（整體代換）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時，.3．若，滿足,則的最小值是（）（整體代換）A． B． C．5 D．6解:由,可得,即,∴.則．4.【2020年天津卷】.已知，且，則的最小值為_________．【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：四、逆用基本不等式1.已知，且.則的最小值是_________.【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立2.已知，，且.求的最小值；解：由，，得：，即：；等號成立的充要條件是且，，即：；∴的最小值為2；3.若正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.五、兩次運用基本不等式1．已知，則的最小值是（）A．B．C．D．【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．2、【2017年高考天津卷理數(shù)】若，，則的最小值為___________．【解析】，（前一個等號成立的條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．3.若，則的最小值是______.【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：六、在多種背景下運用基本不等式1.若實數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．C．D．解：都是正數(shù)，≥.當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是6．2.已知，且，則的最小值為.解：和都是正數(shù)，≥當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立．3.已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實數(shù)滿足則的最小值是()A．1 B． C．9 D．18【解析】奇函數(shù)在R上單調(diào)，則故即當(dāng)即時等號成立.故選：4.若，則的最小值為（）A．6 B． C．3 D．【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且即時，等號成立；故選：C．5．已知向量，，其中．若，則的最小值為（）A． B． C． D．解：∵，∴，，∴．當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立．6.設(shè)，若是與的等比中項，則的最小值為（）A．8B．4C．1D．7．已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的，那么的最小值為________．七、運用基本不等式解應(yīng)用題1．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________.解析：每年購買次數(shù)為eq\f(400,x).∴總費用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時等號成立，故x＝20.2.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得當(dāng)3．某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20元的書桌共36臺，每批都購入臺（是正整數(shù)），且每批均需付運費4元，儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值（不含運費）成正比，若每批購入4臺，則該月需用去運費和保管費共52元，現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費.（1）求該月需用去的運費和保管費的總費用；（2）能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由.【解析】（1）設(shè)題中比例系數(shù)為，若每批購入臺，則共需分批，每批價值為20元，由題意.由，，得..（2）∵,（元）,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立.故只需每批購入6張書桌，可以使資金夠用.4．如圖，某單位準(zhǔn)備修建一個面積為600平方米的矩形場地（圖中）的圍墻，且要求中間用圍墻隔開，使得為矩形，為正方形，設(shè)米，已知圍墻（包括）的修建費用均為800元每米，設(shè)圍墻（包括）的的修建總費用為元.（