2022年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（回扣篇）第7練　函數(shù)的極值、最值

函數(shù)的極值、最值第7練專項典題精練高考匯編1.(2011·福建)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3 C.6 D.9√12345678910111213141516解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1處有極值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.12345678910111213141516∴ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時等號成立，∴ab的最大值為9.2.(2011·湖南)設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為√12345678910111213141516解析由題|MN|＝x2－lnx(x>0)，不妨令h(x)＝x2－lnx，123456789101112131415163.(2017·全國Ⅱ)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的極小值為A.－1 B.－2e－3

C.5e－3

D.1√12345678910111213141516解析函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，則f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).12345678910111213141516由ex－1>0恒成立，得當(dāng)x＝－2或x＝1時，f′(x)＝0，且當(dāng)x<－2時，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時，f′(x)<0；當(dāng)x>1時，f′(x)>0.所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點.所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)＝－1.123456789101112131415164.(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，則A.a<b

B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2√12345678910111213141516解析方法一(分類與整合法)因為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b).12345678910111213141516(1)當(dāng)a>0時，所以x＝a為函數(shù)f(x)的極大值點，滿足題意；此時函數(shù)f(x)＝a(x－a)3在R上單調(diào)遞增，無極值點，不滿足題意；所以x＝a為函數(shù)f(x)的極小值點，不滿足題意.(2)當(dāng)a<0時，12345678910111213141516所以x＝a為函數(shù)f(x)的極大值點，滿足題意.所以x＝a為函數(shù)f(x)的極小值點，不滿足題意；此時函數(shù)f(x)＝a(x－a)3在R上單調(diào)遞減，無極值點，不滿足題意；12345678910111213141516綜上，a>0且b>a滿足題意，a<0且b<a也滿足題意.因此，可知必有ab>a2成立.方法二當(dāng)a＝1，b＝2時，函數(shù)f(x)＝(x－1)2·(x－2)，畫出該函數(shù)的圖象如圖1所示，可知x＝1為函數(shù)f(x)的極大值點，滿足題意.從而，根據(jù)a＝1，b＝2可判斷選項B，C錯誤；當(dāng)a＝－1，b＝－2時，函數(shù)f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，畫出該函數(shù)的圖象如圖2所示，可知x＝－1為函數(shù)f(x)的極大值點，滿足題意.從而，根據(jù)a＝－1，b＝－2可判斷選項A錯誤.圖1圖212345678910111213141516方法三當(dāng)a>0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖3所示，觀察可知b>a.當(dāng)a<0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖4所示，觀察可知a>b.圖3圖4綜上，可知必有ab>a2成立.123456789101112131415165.(2019·天津)已知a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)＝

若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為A.[0,1] B.[0,2] C.[0，e] D.[1，e]√12345678910111213141516解析方法一

當(dāng)a＝0時，不等式f(x)≥0恒成立，排除D；當(dāng)x≤1時，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值為f(1)＝1>0，滿足f(x)≥0；易得f(x)在x＝e處取得極小值(也是最小值)f(e)＝0，滿足f(x)≥0恒成立，排除A，B.方法二

當(dāng)x≤1時，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a.當(dāng)a≤1時，可得f(x)的最小值為f(a)＝－a2＋2a，12345678910111213141516令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；當(dāng)a>1時，可得f(x)的最小值為f(1)＝1≥0，滿足條件，所以a≥0.當(dāng)a≤1時，f′(x)>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故只需1－aln1≥0，顯然成立；當(dāng)a>1時，由f′(x)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值為f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e.綜上，a的取值范圍是[0，e].123456789101112131415166.(2013·全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，則f(x)的最大值是____.1234567891011121314151616解析依題意，f(x－2)為偶函數(shù)，f(x－2)＝(－x2＋4x－3)[x2＋(a－4)x＋4－2a＋b]，其中x3的系數(shù)為8－a，故a＝8，x的系數(shù)為28＋4b－11a，故b＝15，f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8，令f′(x)＝0，得x3＋6x2＋7x－2＝0，由對稱軸為x＝－2可知，將該式分解為(x＋2)(x2＋4x－1)＝0，123456789101112131415167.(2021·新高考全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_____.123456789101112131415161解析函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域為(0，＋∞).12345678910111213141516當(dāng)x>1時，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；12345678910111213141516綜上，f(x)min＝1.8.(2017·全國Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.12345678910111213141516解析如圖，連接OD，交BC于點G，由題意知，OD⊥BC，12345678910111213141516則f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0，得x＝2.當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值80，12345678910111213141516模擬精選√1234567891011121314151612345678910111213141516故函數(shù)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)在x＝3處取得極小值也是最小值，10.(2021·駐馬店模擬)若函數(shù)f(x)＝ex－2ax2＋1有兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是√12345678910111213141516解析由題意可得，f′(x)＝ex－4ax＝0有2個不同的實數(shù)根，令g′(x)>0，可得x>1；令g′(x)<0，可得0<x<1或x<0，所以g(x)在(－∞，0)，(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，1234567891011121314151611.(2021·吉安模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a－1，若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是A.[0，＋∞) B.[2，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，2]√1234567891011121314151612345678910111213141516令f′(x)＝0，則x＝1，∴當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(1)＝a－2，∵存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，∴只需f(x)max＝a－2≥0，∴a≥2，∴a的取值范圍為[2，＋∞).12.(2021·新鄉(xiāng)模擬)某冷飲店的日銷售額y(單位：元)與當(dāng)天的最高氣溫x(單位：℃，20≤x≤40)的關(guān)系式為y＝

，則該冷飲店的日銷售額的最大值約為A.907元

B.910元

C.915元

D.920元√12345678910111213141516所以當(dāng)20<x<38時，y′>0，即函數(shù)在(20,38)上單調(diào)遞增，當(dāng)38<x<40時，y′<0，即函數(shù)在(38,40)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝38時，函數(shù)取得最大值，1234567891011121314151613.(多選)(2021·重慶市育才中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax(a∈R)，下列說法正確的是12345678910111213141516B.若函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝－3C.若a＝－2，函數(shù)存在最小值D.若函數(shù)存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是(－3,0)√√√解析對于A，B中，函數(shù)的定義域為R，且f(－x)＝f(x)，則ln(e－3x＋1)＋a(－x)＝ln(e3x＋1)＋ax，則lne3x＝－2ax，對于C中，當(dāng)a＝－2時，f(x)＝ln(e3x＋1)－2x，12345678910111213141516因為f(x)存在極值，則f′(x)＝0有零點，1234567891011121314151612345678910111213141516解得－3<a<0，所以D正確.14.(2021·遂寧模擬)若ex－(a－1)x－lnx－lna≥0，則a的最大值為√12345678910111213141516解析原不等式化為x＋ex≥ax＋ln(ax)，即ex＋lnex≥ax＋ln(ax)，令f(x)＝x＋lnx(x>0)，知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為f(ex)≥f(ax)，12345678910111213141516當(dāng)0<x<1時，u′(x)<0，u(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，u′(x)>0，u(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時，u(x)取得最小值u(1)＝e，所以a的最大值為e.1234567891011121314151615.(2021·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，則實數(shù)a的值是__________.12345678910111213141516－9或－6解析令g(x)＝x3＋2x＋a，得g′(x)＝3x2＋2xln2>0，則函數(shù)g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，可得g(1)≤g(x)≤g(2)，即a＋3≤g(x)≤a＋12，當(dāng)a≥－3時，g(x)≥a＋3≥0，f(x)＝|g(x)|＝g(x)≤a＋12，由a＋12＝6，解得a＝－6<－3，舍去；當(dāng)a<－3時，若g(x)≥0，則0≤|g(x)|≤a＋12，若g(x)<0，則0<|g(x)|≤－a－3，12345678910111213141516故a＋12＝6或－a－3＝6，解得a＝－6或a＝－9.當(dāng)a＝－6時，|a＋3|＝3<a＋12＝6，當(dāng)a＝－9時，a＋12＝3<9－3＝6，故a＝－6或a＝－9均符合題意.1234567891011121314151612345678910111213141516e212345678910111213141516因為a>0，則函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(a)＝lna＋3≥b，由g′(a)＝0，可得a＝e－2，則函數(shù)g(a)單調(diào)遞增；1234567891011121314151612345678910111213141516則函數(shù)g(a)單調(diào)遞減，考情分析練后疑難精講應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題，以及利用極值、最值的應(yīng)用考查函數(shù)的零點、能成立、恒成立、實際生活中的最值問題等，多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題.一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值核心提煉求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)求定義域；(2)求導(dǎo)；(3)令f′(x)＝0；(4)列表，檢查f′(x)在方程根左、右值的符號；(5)得出結(jié)論：如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根取得極小值.注意：只有極大值無極小值時，要指出“無極小值”.題號1313

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值核心提煉求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.題號2678912

三、由極值、最值求參數(shù)問題核心提煉已知函數(shù)極值求參數(shù)時需注意的問題(1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.題號451011141516

易錯對點精補√1234解析令f(x)＝m－x2＋2lnx＝0，則m＝x2－2lnx，12342.[T7補償](2021·張家界模擬)函數(shù)f(x)＝x－lnx與g(x)＝xex－lnx－x的最小值分別為a，b，則A.a＝b

B.a>bC.a<b

D.a，b的大小不能確定√1234解析f(x)的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x<1，令f′(x)>0，解得x>1，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，故a＝1，g(x)＝xex－lnx－x，定義域為(0，＋∞)，1234令h(x)＝xex－1，則可得h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(0)<0，h(1)>0，1234故存在x0∈(0,1)使得h(x0)＝0，即x0＝1，即x0＋lnx0＝0，當(dāng)x∈(0，x0)時，h(x)<0，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝x0時，函數(shù)g(x)取得最小值，g(x0)＝x0