正常重力和正常重力場

3正常重力和正常重力場為此引入一個近似的地球重力位，它函數(shù)關(guān)系簡單，非常接近真實的地球重力位，稱為正常重力位，記為U。這樣就將地球重力場的求解歸結(jié)為擾動場或異常重力場（微小量）的求解，保證了其解的存在性，并方便求解。地球重力位：基本概念及本節(jié)要點要精確地求出重力位，則必須知道地球表面形狀(ν)和內(nèi)部密度分布(ρ)。但地球表面形狀正是我們要研究的，其內(nèi)部密度分布極不規(guī)則，也無法知道。因此，無法直接獲得精確的地球重力位。3正常重力和正常重力場基本概念及本節(jié)要點確定正常重力位的意義確定正常重力位的基本要求有了正常重力位，把它當作已知值，然后設(shè)法求出地球重力位和正常重力位之間的差值，再據(jù)此求出大地水準面與該已知形狀（產(chǎn)生正常重力位的形狀）的差異，最后求得地球重力位和地球形狀。（1）盡量地符合地球外部的重力場，即不改變地球外部的重力和重力位（2）盡量不改變大地水準面的形狀（3）不改變地球重力場的總質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)角速度（4）橢球體表面為水準面，且外部沒有物質(zhì)存在（5）橢球質(zhì)心與橢球中心重合3正常重力和正常重力場確定正常重力位的方法主要有兩種：基本概念及本節(jié)要點Laplace方法將地球重力位W展開成球諧級數(shù)，保留前面最大的幾項作為正常重力位。令正常重力位等于不同的常數(shù)可求得一簇正常重力位水準面，選擇其中的一個，假設(shè)它是產(chǎn)生正常重力位的質(zhì)體的表面，則正常重力場就理解為該質(zhì)體產(chǎn)生的重力場。Stokes方法選擇一個形狀和大小已知的質(zhì)體（如旋轉(zhuǎn)橢球體），并知道該質(zhì)體的總質(zhì)量（或其表面的重力位）和旋轉(zhuǎn)角速度，則據(jù)Stokes定理或第一邊值問題解的唯一性知，該質(zhì)體的外部重力位和重力是唯一確定的，規(guī)定其為正常重力位和正常重力。3正常重力和正常重力場本節(jié)要點：基本概念及本節(jié)要點Laplace方法矩的概念慣性橢球與主慣性軸引力位展開式用Laplace方法確定正常重力位和正常重力橢球坐標的Laplace方程式橢球諧函數(shù)橢球水準面的重力場用Stokes方法確定正常重力位和正常重力橢球以上的重力Stokes方法3正常重力和正常重力場質(zhì)體的質(zhì)量與（到某點、某軸或某平面的）距離d的k次方的乘積的物理量統(tǒng)稱為矩。質(zhì)體的k階矩為：零階矩：一階矩：到3個坐標面的一階矩：矩的概念據(jù)力學知，質(zhì)心坐標：3正常重力和正常重力場二階矩（又稱轉(zhuǎn)動慣量）：對3個坐標面的二階矩（轉(zhuǎn)動慣量）：對坐標原點的二階矩（慣性矩）：對3個坐標軸的二階矩（轉(zhuǎn)動慣量）：矩的概念令公式中d2分別為xy，yz和zx，可得慣性積（離心矩）：3正常重力和正常重力場二階矩（又稱轉(zhuǎn)動慣量）：矩的概念α3正常重力和正常重力場慣性橢球與主慣性軸據(jù)空間解析幾何，向徑r在u軸上方向上的投影為：質(zhì)體對u軸轉(zhuǎn)動慣量：u軸過原點，與x，y，z軸之間的夾角分別為α，β，γ，質(zhì)元dm到u軸的距離為d。由質(zhì)元dm引一向徑r通過原點，向徑r與u軸之間夾角為θ。γθνdmXZOYdrβu3正常重力和正常重力場慣性橢球與主慣性軸沿u軸的正向取線段記K點坐標(x,y,z)γθνdmβXYZOdrαuK(x,y,z)3正常重力和正常重力場慣性橢球與主慣性軸上式就是K點的軌跡，是一個橢球方程式。這一橢球稱為質(zhì)體在O點的慣性橢球。若橢球的3個互相垂直的對稱軸恰好是3個坐標軸，則有Jyz=Jzx=Jxy=0，此時慣性橢球的對稱軸稱為質(zhì)體的主慣性軸。若坐標原點與質(zhì)體的質(zhì)心重合，則慣性橢球的對稱軸稱為主中心慣性軸。γθνdmβXYZOdrαuK(x,y,z)3正常重力和正常重力場

的級數(shù)展開式：(r,?,λ)P’(r’,?’,λ’)引力位展開式引力位公式：引力位的展開式：由球面三角形得：3正常重力和正常重力場A0與地球質(zhì)量（零階矩）有關(guān)質(zhì)體的質(zhì)心坐標直角坐標→球坐標引力位展開式3正常重力和正常重力場A1，A11和B11是與一階矩有關(guān)的量。若將坐標原點選在地球質(zhì)心上，則有xc=yc=zc=0，由此A1=A11=B11=0，即V1=0。引力位展開式式中：3正常重力和正常重力場若將坐標軸選在地球的主慣性軸上，則D=E=F=0，即A21=B21=B22=0。若地球為旋轉(zhuǎn)體，即赤道是正圓形，則A=B，即A22=0。引力位展開式A2，A21，B21，A22和B22都是與二階矩有關(guān)的量。Vn的一般形式可以用勒讓德函數(shù)來表示：3正常重力和正常重力場引力位展開式地球引力位的球諧函數(shù)展開式：式中，Pn(cos?)為主球諧函數(shù)（或稱帶球諧函數(shù)），即勒讓德多項式。Pnm(cos?)為締合勒讓德函數(shù)。而cosmλPnm(cos?)與sinmλPnm(cos?)為締合球諧函數(shù)（或稱面球諧函數(shù)）。n=m時為扇球諧函數(shù)，n≠m時為田球諧函數(shù)。

An，

Anm和

Bnm稱為Stokes系數(shù)，共有(n+1)2項。3正常重力和正常重力場為了說明問題方便起見，在引力位的球諧函數(shù)展開式中只取前三項來表示地球的正常引力位，則正常重力位U為：地球重力位的球諧函數(shù)展開式：用Laplace方法確定正常重力位3正常重力和正常重力場令上式的U等于不同的常數(shù)，就會有一簇正常水準面，它們之中總有一個非常接近于大地水準面?？梢宰C明，若僅顧及扁率f級精度，其形狀是一個規(guī)則的橢球體。由于它具有正常位水準面的性質(zhì)，所以稱為水準橢球體。顧及A0=GM并令C-A=KM將地球看作旋轉(zhuǎn)體將坐標原點設(shè)在地球質(zhì)心令坐標軸為地球的主慣性軸用Laplace方法確定正常重力位3正常重力和正常重力場并稱μ為地球形狀參數(shù)：設(shè)q為地球赤道上的離心力與重力的比值：用Laplace方法確定正常重力位3正常重力和正常重力場用Laplace方法確定正常重力位因為欲求與大地水準面相近的正常位水準面的形狀（U0=常數(shù)），所以在決定上式的常數(shù)時取其赤道上一點，此時：代入U式，并用U0表示U將上式代回U式，可得正常水準面的方程式3正常重力和正常重力場其中，

f為該橢球扁率，即：可證明，在僅顧及扁率精度的情況下，旋轉(zhuǎn)橢球體的球面坐標方程式為（證明略）：比較形式：可知，在僅顧及扁率精度時，正常位水準面確實是一個旋轉(zhuǎn)橢球面，且其扁率為：用Laplace方法確定正常重力位顧及扁率精度時正常水準面的方程式3正常重力和正常重力場正常位重力位U的梯度矢量稱為正常重力，用γ表示。下面推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)橢球面r=a(1-fcos2?)上的重力值。僅顧及扁率精度時的正常水準面：正常重力位：用Laplace方法確定正常重力僅保留到f級分母展開成級數(shù)略去高階項顧及q，μ3正常重力和正常重力場赤道上正常重力(?=90°)：用Laplace方法確定正常重力極點上正常重力(?=0°)：重力扁率Clairaut定理3正常重力和正常重力場用Laplace方法確定正常重力用上式可由計算點的地理緯度φ算得橢球體上的正常重力。僅顧及f級的量正常重力：赤道上正常重力：?=90°-φ3正常重力和正常重力場確定正常重力場的7個基本參數(shù)：在這7個基本參數(shù)中任意選取4個即可確定正常重力場?；娟P(guān)系式正常重力場的基本參數(shù)GreenwichX3正常重力和正常重力場橢球坐標的Laplace方程式由于地球更近似于旋轉(zhuǎn)橢球，故橢球諧函數(shù)也很適用。但因它比較復(fù)雜，因此只用于某些重要的問題，如正常重力的嚴格計算。在空間直角坐標系O-xyz中，過P點作旋轉(zhuǎn)橢球面，其中心在原點O，旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合，線性偏心率（半焦距）為E。引入橢球坐標u，?，λ來表示P點在橢球坐標系下的坐標：λ?βEPzXY平面uYxZyuOF2F1PZλ=常數(shù)3正常重力和正常重力場橢球坐標的Laplace方程式推求橢球坐標表示的單元弧段長：u：橢球的短軸（旋轉(zhuǎn)軸）半長?：歸化緯度β的余角λ：一般含義的地心經(jīng)度λ?βGreenwichEPzXY平面uYxXZyλ=常數(shù)uOF2F1PZ3正常重力和正常重力場橢球坐標的Laplace方程式橢球坐標系下有：任意正交坐標系(q1,q2,q3)中的Laplace方程式的形式為：3正常重力和正常重力場如何求解？模仿解球坐標式的方法，變量分離。橢球諧函數(shù)將變量

u，?，λ分離，令將上式代入ΔV的表達式，并除以fgh，得λ僅存在于此項中可令3正常重力和正常重力場橢球諧函數(shù)作變量代換：等式兩邊為不同的獨立變量，故等式結(jié)果必為常數(shù)，以μ表示該常數(shù)，則最后可得以下3個常微分方程：(1)式與(2)式3正常重力和正常重力場橢球諧函數(shù)與球坐標系下的形式完全一樣。根據(jù)球坐標系下討論的結(jié)果，可知它們的解為：或或其中，n和m都是自然數(shù)，且m<n。3正常重力和正常重力場橢球諧函數(shù)因此以下函數(shù)都是Laplace方程ΔV=0的解，且都是諧函數(shù)：可將以上函數(shù)線性組合構(gòu)成級數(shù)，仍為Laplace方程的解：3正常重力和正常重力場假設(shè)地球的正常形體是一個水準橢球（旋轉(zhuǎn)橢球），它是正常重力場的等位面。如果認定已知的橢球面為正常重力場的等位面，且規(guī)定其質(zhì)量為M，則根據(jù)Stokes定理，可完全地唯一確定正常重力位。這種確定正常重力位和正常重力的方法稱為Stokes方法。以下將簡要推導(dǎo)。需要的參數(shù)：橢球水準面的重力場（1）旋轉(zhuǎn)橢球的形狀，即長短半徑a和b（2）總質(zhì)量M（3）旋轉(zhuǎn)角速度ω3正常重力和正常重力場已知旋轉(zhuǎn)橢球面S0：橢球水準面的重力場該橢球面為正常重力位的等位面：引入歸化緯度β=90°-?V場具有旋轉(zhuǎn)對稱性，和經(jīng)度λ無關(guān)，故橢球諧函數(shù)中所有和有關(guān)的非帶諧項均為零。在橢球面S0外，正常位U中的引力位V為諧函數(shù)，故可用橢球諧函數(shù)的級數(shù)形式表示。線性偏心率：離心力位3正常重力和正常重力場橢球水準面的重力場在橢球面S0上有：上式對于S0上所有的點，即所有的β值均適用，則Pn(sinβ)(n=0,1,...)的系數(shù)必為零，可得：3正常重力和正常重力場橢球水準面的重力場將An代回V(u,β)的表達式：上式為解算橢球水準面Dirichlet問題的基本方程。可以使該方程的形式更簡單，以下說明之。3正常重力和正常重力場橢球水準面的重力場引入簡化符號：以下將討論用M來表示U0。3正常重力和正常重力場橢球水準面的重力場對很大的u值：空間直角、球和橢球坐標的關(guān)系式：對很大的r值又由此前引力位展開式的討論可知：僅取V(u,β)的首項對很大的r值3正常重力和正常重力場橢球水準面的重力場用M來表示U0正常引力位離心力位上述公式即為正常重力位公式。沿著坐標線的分量：3正常重力和正常重力場橢球坐標系下的單元弧長用橢球坐標表示：正常重力矢量：用Stokes方法確定正常重力式中：3正常重力和正常重力場結(jié)合正常重力位的表達式求出上述偏微分，可得：用Stokes方法確定正常重力對水準橢球面S0而言，其短半徑長u=b，因此：因此，在S0面上有：3正常重力和正常重力場用Stokes方法確定正常重力在赤道上，β=0°，正常重力：引入簡化符號：第二偏心率在兩極上，β=±90°，正常重力：3正常重力和正常重力場用Stokes方法確定正常重力可證明，赤道上的正常重力γe與兩極上的正常重力γp滿足關(guān)系式（Clairaut理論）：故S0橢球面上的正常