213格林公式曲線積分與路線無關(guān)性匯總

格林公式曲線積分與路線沒關(guān)性精選資料§3格林公式曲線積分與路線沒關(guān)性教課目標(biāo)：掌握格林公式，理解格林公式的證明，掌握格林公式應(yīng)用的特別技巧．掌握曲線積分與路線沒關(guān)的條件，理解曲線積分與路線沒關(guān)的條件的定理的證明，掌握曲線積分與路線沒關(guān)的條件定理應(yīng)用的特別技巧．教課要點：格林公式，曲線積分與路線沒關(guān)的條件.教課難點：格林公式應(yīng)用的技巧，以及曲線積分與路線沒關(guān)的條件定理應(yīng)用技巧.教課過程一、格林公式地區(qū)界限的正方向的規(guī)定：略定理21.11若函數(shù)Px,y，Qx,y在閉地區(qū)D上連續(xù)，且擁有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有QPdPdxQdy（）Dxy=L，1這里L(fēng)是地區(qū)D的界限曲線，并取正方向．公式（1）稱為格林公式．證明按地區(qū)的形狀分三種狀況來證明.（ⅰ）若地區(qū)D既是x型又是y型地區(qū)（如圖）地區(qū)D表示為：1xy2x,axb，又可表示為：1yy2y,yQd2yQdxdyDx=1yx僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝2精選資料Q2y,ydyQ1y,ydyQx,ydyQx,ydyQx,ydy==CBECAE=L，dPx,ydx同理可證Dy=L，上述兩式相加即得QPPdxQdydDxy=L.（ⅱ）若地區(qū)D由一條按段圓滑的閉曲線圍成，用幾條圓滑曲線將它分紅有限個既是x型又是y型子地區(qū)，而后逐塊應(yīng)用（?。┇@得它的格林公式，并相加即可，如圖中所示的狀況則有QPQPddxyDxy=D1+QPdQPdD2xy+D3xyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdy=L1+L2+L=L．（ⅲ）若地區(qū)D為由若干條閉曲線所圍成的多連通地區(qū)，如圖為例，可增添直線段AB,EC，把地區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)椋áⅲ┑臓顩r來處理．QPdDxy=PdxQdyABL2BAAFCCEL3ECCGA=PdxQdyPdxQdyL2L3L1=L．格林公式的便于記憶的形式僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝3精選資料xydPdxQdyDPQ=L．例1計算?SkipRecordIf...?，此中曲線AB是半徑為r的圓在第一象限的部分．解半徑為r的圓在第一象限的部分為地區(qū)D，由格林公式dxdyxdyxdyxdyxdyxdyD=L=OAABBO=0+OA0=OA,所以yAr2DxdydoLBxOA=D=4．例2計算?SkipRecordIf...?，此中L為任一不包括原點的閉地區(qū)的邊界．解格林公式條件知足，故xdyydxQPyxdI=Lx2y2=Dxyd=Dxx2y2yx2y20d=D=0.計算拋物線xy2例3axa0與x軸所圍的面積.解1xdyydx1xdyydx1ydxS2xdy=L=2AMO+2ONAD01a21xdyydx1xa1axxdx=2AMO+0=2a2ax6．二、曲線積分與路徑的沒關(guān)性僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝4精選資料單連通地區(qū)的觀點：若對平面地區(qū)D內(nèi)的任一關(guān)閉曲線，皆可不經(jīng)過之外的點而連續(xù)縮短于D內(nèi)的某一點，稱D為單連通地區(qū)．不然稱為復(fù)連通地區(qū)．D

D單連通地區(qū)復(fù)連通地區(qū)定理21.12設(shè)D是單連通閉地區(qū)．若函數(shù)Px,y，Qx,y在D內(nèi)連續(xù)，且擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個條件等價：（?。╆P(guān)于D內(nèi)任一按段圓滑的關(guān)閉曲線L，有PdxQdyL=0；（ⅱ）關(guān)于D內(nèi)任一按段圓滑的曲線L，曲線積分PdxQdyL

與路線沒關(guān)．只與L的起點及終點相關(guān)；（ⅲ）PdxQdy是D內(nèi)某一函數(shù)u的全微分，即duPdxQdy；PQ（ⅳ）在D內(nèi)到處建立yx．證明（ⅰ）（ⅱ）如圖PdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyARBASB=ARBBSAPdxQdy=ARBSA=0,PdxQdyPdxQdy所以ARB=ASB．（ⅱ）（ⅲ）僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝5精選資料設(shè)Ax0,y0為D內(nèi)必定點，Bx,y為D內(nèi)隨意一點，由PdxQdy（ⅱ）曲線積分AB與路線的選擇沒關(guān)，故當(dāng)Bx,y在D內(nèi)改動時，其積分值是Bx,y的函數(shù)，即有PdxQdyD，因為積分與路線沒關(guān)故ux,y=AB．取x充分小，使xx,y函數(shù)ux,y關(guān)于的偏增量PdxQdyPdxQdyPdxQdyuxx,yux,y=ACAB=BC,此中直線段BC平行于x軸由積分中值定理可得xxu=uxPdxQdyPx,ydx=Pxx,yx,此中x,yux,y=BC=x1，由Px,y在D上的連續(xù)性uuPxx,ylimlimx=x0xx0=Px,y.u同理可證y=Qx,y．所以duPdxQdy（ⅲ）（ⅳ）設(shè)存在ux,y，使得duPdxQdy,所以Px,y=xux,y，Qx,y=yux,y，所以P2uQ2uy=xy，x=yx,因Px,y，Qx,y在地區(qū)D內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以2u2uxy=yx,進(jìn)而在D內(nèi)每一點處有PQy=x．僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝6精選資料（ⅳ）（ⅰ）設(shè)L為D內(nèi)任一按段圓滑關(guān)閉曲線，記L所圍的地區(qū)為．因為D為單連PQ通地區(qū)，所以地區(qū)含在D內(nèi)．應(yīng)用格林公式及在D內(nèi)恒有y=x的條件，就獲得PdxQdyQPdL=Dxy=0.以上證了然所述四個條件是等價的．PQ注1：第二十章§2中的例1，因不知足y=x，故積分與路線相關(guān)，而例PQ2中y=x知足，故積分與路線沒關(guān)．注2：條件單連通地區(qū)是證明要的本節(jié)例2中，yxxx2y2yx2y2=0在除掉原點的地區(qū)內(nèi)是建立，但L為繞原點的關(guān)閉曲線時，L所圍成的地區(qū)包PQ含原點，y=x建立的地區(qū)不是單連通的，因此閉曲線積分能夠不為零．事實上設(shè)L為繞原點一周的圓時，L：xacos，yasin，02,則有xdyydx2d2Lx2y2=0．若函數(shù)ux,y擁有性質(zhì)dux,yPx,ydxQx,ydy,稱ux,y為Px,ydxQx,ydy的一個原函數(shù).函數(shù)Px,y，Qx,y知足定理21.12時，在D內(nèi)的原函數(shù)可用路線積分的方法求出．僅供學(xué)習(xí)與溝通，若有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝7精選資料例4應(yīng)用曲線積分求?SkipRecordIf...?的原函數(shù).解Px,y=2xsiny，Qx,y=xcosy在整個平面上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且PQy=x=cosy,故積分與路線沒關(guān)，取原點O0,0為起點，Bx