線性代數(shù)矩陣的秩及其求法

線性代數(shù)矩陣的秩及其求法1第一頁，共十八頁，2022年，8月28日1.

k

階子式定義1

設(shè)在A中任取k行k列交叉稱為A的一個k階子式。階行列式，處元素按原相對位置組成的一、矩陣的秩的概念2第二頁，共十八頁，2022年，8月28日設(shè)，共有個二階子式，有個三階子式。例如矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為而為A的一個三階子式。顯然，矩陣A共有個k

階子式。3第三頁，共十八頁，2022年，8月28日2.

矩陣的秩設(shè)，有r

階子式不為0，任何r+1階記作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的話)全為0,定義2稱r為矩陣A的秩，4第四頁，共十八頁，2022年，8月28日規(guī)定：零矩陣的秩為0.注意：(1)

如R(A)=r，則A

中至少有一個r

階子式所有r+1

階子式為0，且更高階子式均為0，r是A

中不為零的子式的最高階數(shù)，是唯一的.(2)

有行列式的性質(zhì)，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n

,且則R(A)=n.反之，如R(A)=n,則因此，方陣A

可逆的充分必要條件是R(A)=n.5第五頁，共十八頁，2022年，8月28日二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。

例1設(shè)為階梯形矩陣，求R(B)。解，由于存在一個二階子式不為0，而任何三階子式全為0，則R(B)=2.結(jié)論：階梯形矩陣的秩=臺階數(shù)。6第六頁，共十八頁，2022年，8月28日例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺階數(shù)”——非零行的行數(shù)。7第七頁，共十八頁，2022年，8月28日如果求a.解或例2

設(shè)8第八頁，共十八頁，2022年，8月28日則例39第九頁，共十八頁，2022年，8月28日2、用初等變換法求矩陣的秩定理2

矩陣初等變換不改變矩陣的秩。

即則注：只改變子行列式的符號。是A中對應(yīng)子式的k倍。是行列式運算的性質(zhì)。由于初等變換不改變矩陣的秩，而任一都等價于行階梯矩陣。其秩等于它的非零行的行數(shù)，即為所以可以用初等變換化A為階梯矩陣來求A的秩。10第十頁，共十八頁，2022年，8月28日例4解R(A)=2

，

求11第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日例512第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日三、滿秩矩陣稱A是滿秩陣，（非奇異矩陣）稱A是降秩陣，（奇異矩陣）可見：A為n階方陣時，定義3對于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：每對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個對應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的定理13第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日定理3設(shè)A是滿秩方陣，則存在初等方陣使得14第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日例如它的行最簡形是n階單位陣E.對于滿秩矩陣A，A為滿秩方陣。15第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日定理5

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：性質(zhì)1設(shè)A是矩陣，B是矩陣，性質(zhì)2如果AB=0則性質(zhì)3如果R(A)=n,如果AB=0則B=0。性質(zhì)4

設(shè)A,B均為

矩陣，則16第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日設(shè)A為n階矩陣，證明R（A+E）+R（A-E）≥n證：∵（A+E）+（E-A）=2E∴R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n而R（E-A）=R