有理數(shù)的基本概念

有理數(shù)的基本概念一、考點突破正數(shù)、負數(shù)的概念；能應用正數(shù)、負數(shù)表示實際生活中具有相反意義的量。掌握有理數(shù)的分類方法，建立初步的分類討論的思想。數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系。掌握求一個數(shù)的相反數(shù)的方法，根據(jù)相反數(shù)的概念進行多重符號的化簡。利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小，絕對值的求法以及利用絕對值的非負性進行解題。二、重點、難點提示重點：正確理解負數(shù)的概念，會判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)；兩個負數(shù)的大小的比較難點：有理數(shù)按一定的標準進行分類；兩個負數(shù)大小的比較；多重符號的化簡；絕對值的非負性的應用。能力提升類例1若a為最小正整數(shù)，b為a的相反數(shù)的倒數(shù)，c為絕對值最小的數(shù)，求代數(shù)式2010(a+b)+2011c的值.一點通：最小的正整數(shù)為1，1的相反數(shù)為-1，-1的倒數(shù)為-1，絕對值最小的數(shù)為0.解：Ta為最小正整數(shù)，???a=1,Vb為a的相反數(shù)的倒數(shù)，.:b=-1,?.a+b=0,Tc為絕對值最小的數(shù)，?c=0，A2010(a+b)+2011c=0點評：明確最小正整數(shù)的值，互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的關(guān)系，絕對值最小的數(shù)的值。例2比較一8與一9的大小。89一點通：比較兩個數(shù)的大小，應考慮：①作差法;解：解法一：作差比較。8 78一點通：比較兩個數(shù)的大小，應考慮：①作差法;解：解法一：作差比較。8 78———(——)=— 1 =\o"CurrentDocument"9 89②作商法；③絕對值大小的比較.1>07278——>——8 9解法二：把分母化為相同7 7 63?i解法二：把分母化為相同7 7 63?i |=—=一8' 8 72，\o"CurrentDocument"63 64 7又V—V—，\o"CurrentDocument"72 7298-->--8一6472?解法三：把分子化為相同。7. 7 5664解法三：把分子化為相同。7. 7 5664，7-->--一78 56885656又V—v—，.:64 637解法四：丨一§丨：8\o"CurrentDocument"8 63V =—VI\o"CurrentDocument"9 649978v—，8 963點評：：匕較幾個負數(shù)的大小，一般先求它們的絕對值，再把這幾個數(shù)用小數(shù)或同分母(或同分子)的數(shù)來表示，用小數(shù)或分數(shù)比較大小的方法進行比較，最后用“兩個負數(shù)相比較,絕對值大的反而小”作出結(jié)論。

綜合運用類例3已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，下列選項正確的是（）A.ab>0B.IaI>IbIC.a—b>0 D.a+b>0b-1 0a1一點通：由圖上a,b的位置不難看出Ovavl,b<—1,且丨aI<IbI，可推出以上結(jié)論中正確的只有a－b>0.答案：C點評：采用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，從而確定代數(shù)式的符號是解決本題的關(guān)鍵。例4a、b、c三數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中l(wèi)al=lcl.化簡式子：辺+￡+□+lal-lclabc一點通：此題一方面考查學生的識圖能力，另一方面考查學生對數(shù)軸、絕對值的理解，旨在考查知識的綜合應用。解：由圖可知：a，bvO，c>0，則由絕對值定義可得：原式='+迪+C+lal-lcl=-1-1+1=-1abc點評：釆用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，從而確定其去絕對值后的符號是解決本題的關(guān)鍵。lallbllcl變式題：求——+ +的值。abc一點通：分類討論.①a、b、c同為正數(shù)時；②a、b、c同為負數(shù)時；③a、b、c兩正一負數(shù)時；④a、b、c兩負一正數(shù)時。（另a、b、c作為分母，不能等于0）c>0時，c>0時，！allblblcl+cabc=+—+—abca■+lallbllcl-a-b-c++++一-abcabc②aVO、bVO、cVO時,解：討論①a>0、b>0、3；③a③a、b、c兩正一負數(shù)時;=1+1+(-1)=1；c④a、b、c兩負一正數(shù)時;W+型+□=1+(-1)+④a、b、c兩負一正數(shù)時;點評：采用分類討論的思想，當a、b、c是未知的正負數(shù)時，應分類討論。例5已知IxI=2,|y|=3，且xvy,求x、y的值.一點通：IxI=2,x的值有兩個數(shù)：+2或一2；IyI=3,y的值有兩個數(shù)：+3或一3；由xvy確定x、y的值.解：因為IxI=2，IyI=3,所以x=2或—2，y=3或—3，因為xvy所以x=2,y=3或x=—2,y=3。點評：利用絕對值的定義求x、y的值。思維拓展類例6a、b、c三數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中l(wèi)al=lcl,化簡式子：lb-al+lc-al-lb+cl

一點通：此題是例4的變形，旨在進一步學習絕對值的化簡，進一步熟悉運用相反數(shù)的概念去括號。解：原式=-(b-a)+(c-a)-[-(b+c)]=-b+a+c-a+b+c=2c點評：含絕對值式子的化簡1^1='0(^=0)或儀卜例7已知la+2l+lb-3l=0,求a和b的值。一點通：由絕對值的非負性可知，la+2|^0,lb-3|30,而且只有當la+21和lb-3l都等于0時，la+2l+lb-3l=0才成立，因為只有0的絕對值等于0,所以a=-2,b=3。解：??Ta+2l+lb-3l=0,又Vla+2|>0,lb-3|>0,???la+2l=0,lb-3l=0。a+2=0,b-3=0。a=-2,b=3o點評：利用絕對值的非負性，兩個非負數(shù)之和為零，那么這兩個非負數(shù)分別為零，求a、b的值。m例8已知m,n均不為零且互為相反數(shù),a,b+2互為倒數(shù),求值：2m+2n+a(b+2)-?n一點通：此題旨在考查相反數(shù)的概念及其運用,要學會數(shù)學化的思維轉(zhuǎn)換,如條件中給出的“m,n均不為零且互為相反數(shù)”就說明“m+n=0”；“a,b+2互為倒數(shù)”說明“a(b+2)=1”。m解：原式=2(m+n)+a(b+2)- =0+1-(-1)=2解：n點評：互為相反數(shù)和互為倒數(shù)的關(guān)系。方法總結(jié)正確理解正數(shù)和負數(shù)的概念,不能簡單地理解成帶“+”號的數(shù)是正數(shù),帶“-”號的數(shù)是負數(shù)；特別是含有字母的數(shù)a,它可以表示不同的數(shù)。容易因?qū)^對值的性質(zhì)不理解而出錯，特別是：當a<0時，丨a丨=-a，這里的-a是正數(shù)而不是負數(shù)；正數(shù)和0的絕對值等于它的本身。正確掌握兩個負數(shù)的大小比較,可以先化為絕對值再比較大小。建立分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想解題.易錯題問題：2a一定大于-2a?一點通：采用分類討論的思想，分別討論a>0,a=0,a<0三種情況.解：當a>0時，2a>-2a;當a=0時，2a=-2a;當a<0時，2aV-2a;點評：由于a可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)或0,所以分三種情況進行討論。練習(答題時間：45分鐘)、選擇題已知la+bl=lal+lbl，此時 ()A.異號或ab=0B.必為異號 C.同號或至少有一個為零D.必須同號當a<0時，3a+4lal等于()A.7a B.aC.－7a D.－a

3.如果是最大的負整數(shù)，b是絕對值最小的有理數(shù)，c是最小的自然數(shù)，那么a+b+c等于（）A.-24.如果于()A.9B.-1C.0D.1表示有理數(shù)，且 滿足條件lxl_5，Iy=2，Ix-y=y-x，那么等B.－1 C.－1或－9 D.－9、填空題TOC\o"1-5"\h\z如果收入15?元記作+?15?元，?那么支出20?元記作 元。-a的相反數(shù)是 ，p-3的相反數(shù)是 。已知|m|=6,|n|=2，|m-n|=n-m,貝Vm+n= 。在數(shù)軸上，與表示-5的點距離3個單位長度的點所表示的數(shù)是 。a2-b2 b已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，那么 cd+—= a2+b2 a10.某摩托車廠本周計劃每日生產(chǎn)250輛摩托車.由于2人實行輪休，每日上班的人數(shù)不一定相等，實際每日生產(chǎn)量與計劃量相比情況如下表（增加的輛數(shù)為正數(shù)，?減少的輛數(shù)為負數(shù)： 星期-一一二三四五六日增減-5+7-3+4+10-9-25根據(jù)記錄可知，本周星期六生產(chǎn)了 輛摩托車；本周總生產(chǎn)量與計劃生產(chǎn)量相比增減數(shù)為 輛；產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)了 輛。三、簡答題某商店一周的收入、支出情況如下表日期-一一二三四五六日支出（萬元）1.80.82.5收入（萬元）21.512運用你學過的知識，給商店簡單低地記一筆賬。一種商品的標準價格是200元，但隨著季節(jié)