函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 教案

''函數(shù)的單性與導(dǎo)數(shù)【學(xué)標(biāo)1．了解可函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次；【學(xué)難】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！緦W(xué)程（一）創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型研究函數(shù)時(shí)了解函數(shù)的贈(zèng)與減增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解下面我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。（二）新課講授1題（示跳水運(yùn)動(dòng)中高h(yuǎn)時(shí)間

t

變化的函h()t

t的圖像，3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)t變化的函(th的圖像。

'

(t)6.5運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度h隨時(shí)t的增加而增加，即地v(t)'t。

h(t)

是增函數(shù)。相應(yīng)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度h

隨時(shí)間

t

的增加而減少，即

()

是減函數(shù)。相應(yīng)地v(t)

'

(t)2．函數(shù)的調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系。如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)(x)

表示函數(shù)

f(x

在點(diǎn)

(x)0

處的切線的斜率。在

xx0

處，f'()0

，切線是“左下右上”式的，時(shí)，函數(shù)

f(x)

在

0

附近單調(diào)遞增；/4

在

x1

處，(x)0

，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函f(x)

在

附近單調(diào)遞減。結(jié)論函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間

()

內(nèi)如果

'

()那么函數(shù)

yf()在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f說明1）特別的，如果f

''

()，那么函數(shù)()，么函數(shù)

yf()y()

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)。3．求解函

y(x

單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)

y(x

的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)

'

f

'

(；（3）解不等式（4）解不等式（三）典例分析

''

()，集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；()，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。例1．已導(dǎo)函數(shù)f

'

(x)

的下列信息：當(dāng)1時(shí)，

'

()0，x時(shí)，f

'

()；，x時(shí)，f

'

()0試畫出函數(shù)

y(x

圖像的大致形狀。解：當(dāng)時(shí)，f

'

()，可知

yfx)

在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，或x時(shí)，f

'

()；可知

y(x

在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x，或x，f

'

()，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)綜上，函數(shù)

yfx)

圖像的大致形狀如圖3所示。例2．判下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間。（1）(xx2）(xx（3）

f(x)x(0,

)

4f(x)2

x

24x解1）因?yàn)閒(x)

，所以，

'

(x)x

因此，f(x)x

3

在上單調(diào)遞增，如圖（1）所示。（2）因?yàn)閒()x

2

x，所以，

f')x

，當(dāng)f

'

()x時(shí)函數(shù)()x

x單調(diào)遞增；/4

當(dāng)

'

()，時(shí)，函數(shù)f(x)

2

x單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)

x的圖像如圖3.3-5（2）所示。（3）因?yàn)?/p>

f(x)x(0,

)

，所以，f

'

()cos因此，函數(shù)

f()

在

(0,

單調(diào)遞減，如圖（3）所示。（4）因?yàn)?)

x

24x，所以當(dāng)當(dāng)f

''

()函數(shù)f)()，數(shù)(x)

2

x；x函數(shù)(x)

x

24x的圖像如圖3.3-5（4）所示。注3生練如圖33-6水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高與時(shí)t的函數(shù)關(guān)系圖像。分析：以容器（）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快。反映在圖像上A）符合上述變化情況。同理可知其它三種容器的情況。解：

思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢。結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的果一個(gè)函數(shù)在某一圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些。如圖3所示，函數(shù)

y(x)

在

內(nèi)的圖像“陡峭在

內(nèi)的圖像“平緩求證：函數(shù)yx

在區(qū)間

內(nèi)是減函數(shù)。證明：因?yàn)?/p>

y'x2當(dāng)

時(shí)y'所以函數(shù)y3x2在區(qū)間

內(nèi)是減函數(shù)。/4

說明：證明可導(dǎo)函數(shù)

f

內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)

f'

；（2）判斷

f'

內(nèi)的符號(hào)；（3）做出結(jié)論：

f'

為增函數(shù)，

f

為減函數(shù)。已知函數(shù)(x2

x3(x)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，求實(shí)取值范圍。解：'()ax，因?yàn)?/p>

f

x

上是增函數(shù)，所以')

x恒成立，即x對(duì)

恒成立，解之得所以實(shí)a的取值范圍為

。說明已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f'(x)；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f'x)”來求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解。