勾股定理的應(yīng)用折疊和展開問題

關(guān)于勾股定理的應(yīng)用折疊和展開問題第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三12.如圖，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8.求AC的長(zhǎng).ABCD84442八年級(jí)下冊(cè)勾股定理---運(yùn)用第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1.在ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.244.8ABCD練習(xí)&2?面積法第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長(zhǎng)為

.5或43ACB43CAB分類討論基礎(chǔ)練習(xí)：zxxkw第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC∟D∟DABCABC1017817108分類討論基礎(chǔ)練習(xí)：zxxkw第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1.小溪邊長(zhǎng)著兩棵樹，恰好隔岸相望，一棵樹高30尺，另外一棵樹高20尺；兩棵樹干間的距離是50尺，每棵樹上都停著一只鳥，忽然兩只鳥同時(shí)看到兩樹間水面上游出一條魚，它們立刻以同樣的速度飛去抓魚，結(jié)果同時(shí)到達(dá)目標(biāo)。問這條魚出現(xiàn)在兩樹之間的何處？3020x50-x應(yīng)用舉例：方程思想第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。x+1x51練習(xí)&1?方程思想第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求(1)△ABC的面積；(2)求腰AC上的高ABC151413Dx14-x12應(yīng)用舉例：E方程思想面積法第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三ABC螞蟻從A點(diǎn)經(jīng)B到C點(diǎn)的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的邊長(zhǎng)為1厘米）練習(xí)1:第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三小明在平坦無障礙物的草地上,從A地向東走3m,再向北走2m,再向西走1m,再向北走6m,最后向東走4m到達(dá)B地,求A、B兩地的最短距離是多少?A3216B4c68答：A、B兩地的最短距離是10米.練習(xí)2:第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三小明的媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了。你能解釋這是為什么嗎？我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指其熒屏對(duì)角線的長(zhǎng)度∴售貨員沒搞錯(cuò)∵議一議熒屏對(duì)角線大約為74厘米4658第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個(gè)等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？ABCDEF

議一議第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（2）在長(zhǎng)方形ABCD中，寬AB為1m，長(zhǎng)BC為2m，求AC長(zhǎng)．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三活動(dòng)2問題（1）在長(zhǎng)方形ABCD中AB、BC、AC大小關(guān)系？ACBDAB＜BC＜AC第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1.在長(zhǎng)和寬分別是40cm,30cm的文具盒中，能放進(jìn)一支長(zhǎng)為48cm的鉛筆嗎？40cm30cm分析：根據(jù)題意，關(guān)鍵是求對(duì)角線的長(zhǎng)度。x解：設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)為xcm由勾股定理得：302+402=x2x2=2500解得：x=50∵50＞48∴該文具盒能放進(jìn)一支長(zhǎng)為48cm的鉛筆z.xx.k八年級(jí)下冊(cè)勾股定理勾股定理---運(yùn)用第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三活動(dòng)2（2）一個(gè)門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長(zhǎng)3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長(zhǎng)3米，寬1.5米呢？③若薄木板長(zhǎng)3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對(duì)角線AC的長(zhǎng)最大，因此需要求出AC的長(zhǎng)，怎樣求呢？第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三想一想例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC=≈2.24．因?yàn)榇笥谀景宓膶?.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立幾何模型，畫出圖形，分析已知量、待求量，讓學(xué)生掌握解決實(shí)際問題的一般套路．ABCD1m2m第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米，當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問竹竿長(zhǎng)多少米？解:設(shè)竹竿長(zhǎng)X米,則城門高為(X－1)米.根據(jù)題意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿長(zhǎng)5米第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.解:設(shè)竹竿高X尺,則門高為(X－1)尺.根據(jù)題意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,門高為7.5尺.第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例3:在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題這個(gè)問題意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？DABC解:設(shè)水池的深度AC為X米,則蘆葦高AD為(X+1)米.根據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三（3）有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三想一想問題如果知道平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），（0，y），你能求這兩點(diǎn)之間的距離嗎？

第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例1：一個(gè)2.5m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案由此可知,利用勾股定理,可以作出長(zhǎng)為111111111111111111第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽1數(shù)學(xué)海螺圖：你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎？的線段.第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三-10

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23你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎？你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？探究1:√√學(xué).科.網(wǎng)第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三01234步驟：lABC1、在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=3;2、作直線l⊥OA,在l上取一點(diǎn)B，使AB=2;3,以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn)。你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎？∴點(diǎn)C即為表示的點(diǎn)你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？探究1:第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三01234lABC你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎？√√01234ABCzxxkw第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1、如圖為4×4的正方形網(wǎng)格,以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn),你能畫出幾條邊長(zhǎng)為的線段?A練習(xí)&1?第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).ＯＤ⌒ＣＥＦＨxy練習(xí)&1?第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例4:矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長(zhǎng)。ABCDFE解:設(shè)DE為X,X(8-X)則CE為(8－X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三長(zhǎng)方形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長(zhǎng)。ABCDFE810810106xx8-x4?探究3:折疊問題第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三ABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。折疊問題第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三折疊長(zhǎng)方形紙片，先折出折痕對(duì)角線BD，在繞點(diǎn)D折疊，使點(diǎn)A落在BD的E處，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的長(zhǎng)。DAGBCE練習(xí)&3?4x3434-xx3你還能用其他方法求AG的長(zhǎng)嗎？折疊問題第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三折疊長(zhǎng)方形紙片，先折出折痕對(duì)角線BD，在繞點(diǎn)D折疊，使點(diǎn)A落在BD的E處，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的長(zhǎng)。DAGBCE練習(xí)&3?4x3434-xx3你還能用其他方法求AG的長(zhǎng)嗎？折疊問題第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎？CABDEx10-x6練習(xí)&2?10-xzxxkw折疊問題第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交X軸于點(diǎn)D，求（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）三角形ADC的面積；（3）點(diǎn)B1的坐標(biāo).OCBAB1D123E8484xyzz8-z探究2:435折疊問題第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？AECDBE折疊問題第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三例2：如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=xkm，根據(jù)勾股定理，得AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應(yīng)建在離A站10km處。∴X=10則BE=（25-x）km1510第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三AB我怎么走會(huì)最近呢?1.有一個(gè)圓柱,它的高等于12厘米,底面半徑等于3厘米,在圓柱下底面上的A點(diǎn)有一只螞蟻,它想從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)

BA高12cmBA長(zhǎng)18cm(π的值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)螞蟻爬行的最短路程是15厘米.152展開問題第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三有一圓柱，底面圓的周長(zhǎng)為24cm，高為6cm，一只螞蟻從底面的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少？ABBAC螞蟻從距底面1cm的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少？ABBAC探究1:分析：由于螞蟻是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬6cm處和長(zhǎng)24cm中點(diǎn)處，即AB長(zhǎng)為最短路線.(如圖)12612513展開問題第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三A變式1：

有一木質(zhì)圓柱形筆筒的高為h，底面半徑為r，現(xiàn)要圍繞筆筒的表面由A至C，（A,C在圓柱的同一軸截面上）鑲?cè)胍粭l銀色金屬線作為裝飾，這條金屬線的最短長(zhǎng)度是多少？CBADCzxxkw學(xué).科.網(wǎng)第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定BB8OA2蛋糕ACB練習(xí)第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三4.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少？2032AB２