華東師大初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊《全等三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解

《全等三角》全章復(fù)習(xí)鞏固（基礎(chǔ)知識(shí)講解【習(xí)標(biāo)1.掌常見的五種基本尺規(guī)作圖；理解命題與逆命題、定理與逆定理的意義，并能判斷命題的真假；2了解全等三角形的概念和性質(zhì)夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.了等腰三角形、等邊三角形有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法；4解并能應(yīng)用直角三角形的質(zhì)解題解能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜邊，直角邊HL）判兩個(gè)直角三角形全等；5．解并掌握角平分線、線段直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能用它們解決作圖題、幾何計(jì)算及證明.【識(shí)絡(luò)

【點(diǎn)理要一全三形性和定全等角的質(zhì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相.全等角的定理全等三角形判定1——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全可以簡寫成“角邊角”或“ASA”.全等三角形判定2—“角”：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS）全等三角形判定3—“邊邊”：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”.全等三角形判定4—“角角邊”：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或AAS”）要詮：）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全.（）以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全.（3）條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋ǎ┕陨戏椒ǘ夹胁煌?，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角.判定角角全的特方—斜直邊理斜直邊理或記）：邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全.要詮：定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種SAS、、、SSS、HL.明兩個(gè)直角三角形全等先考慮用斜邊角邊定理考慮用一般三角形全等的證明方.要二等三形等腰角的質(zhì)其作性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角等（簡稱“等邊對(duì)等角”）．性1用證明同一個(gè)三角形中的兩角相等，是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分、底邊上的高、底邊上的中線互相重簡“三線合一”）．性質(zhì)2用證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．等腰角的定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“等角對(duì)等邊”）要詮：腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定.等邊角的質(zhì)判定性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60.判定）條邊都相等的三角形是等邊三角形；（）個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（）一個(gè)角是°等腰三形是等邊三角形．要詮：等邊三角形的“三線合一”可得：在直角三角形中°對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要三尺作、題定與命題逆定尺規(guī)圖只能使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖．要詮：）要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對(duì)于作圖要用正確語言

來進(jìn)行表達(dá)（）握五種基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知角的平分線；經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線；作已知線段的垂直平分線．并能利用本章的知識(shí)理解這些基本作圖的方法．命題逆題判斷一件事件的句子叫命題.其斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯(cuò)誤的命題叫做假命題對(duì)于兩個(gè)命題，如果個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題.要詮：1）對(duì)于命題的定義要正確理解，也即是通過這句話可以確定一件事是發(fā)生了還是沒發(fā)生，如果這句話不能對(duì)于結(jié)果給予肯定或者否定的回答，那它就不是命.（2）一個(gè)命題都可以寫成“如果…,那么”的形式，“如果”后面為題設(shè)部分，“那么”后面為結(jié)論部分.（）有的命題都有逆命題.原題正確，它的逆命題不一定正.定理逆理數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或者其他真命題出發(fā)，用邏用推理的方法判斷它們是正確的并且可以作為進(jìn)一步判其他命題真假的依據(jù)樣的真命題叫做定理如果一個(gè)定理的逆命題也是真命題，那就稱它為原定理的逆定.要詮：）定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進(jìn)一步確認(rèn)其他命題真假的依據(jù).（）個(gè)命題是真命題，但是它的逆命題不一定是真命題的，所以不是每個(gè)定理都有逆定理要四角分、段直分的質(zhì)理其定角平線質(zhì)理其逆理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線.要詮：質(zhì)定理的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆.線段直分（稱中線的質(zhì)理其定線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．要詮：質(zhì)定理的前提條件是線段已經(jīng)有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理則是在結(jié)論中確定線段被垂直平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，前者在題設(shè)中說明，后者則在最終的結(jié)論中得到，所以在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆.【型題類二全三形性和定1、已知：如圖，在△ABCeq\o\ac(△,、)ADE中，∠BAC=∠DAE=90°AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．求證）△BAD≌eq\o\ac(△,；)CAE（）猜想BD、有何特殊位置關(guān)系，并證明．

【思路點(diǎn)撥】要證（）△BAD≌△CAE現(xiàn)有，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得（有何特殊位置關(guān)系形可看出是垂直關(guān)系這方面努力BD⊥CE，需證∠BDE=90°，證∠ADB+∠ADE=90°由直角三角形提供．【答案與解析】（）明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴eq\o\ac(△,≌)BAD△CAE（（）、CE特殊置關(guān)系為BD⊥CE．證明如下：由（）△BAD≌CAE∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、特殊置關(guān)系為BD．【總結(jié)升華本題考查了全等三形的判定和性質(zhì)等問題要注意找條件些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可．做題時(shí)，有時(shí)需要先猜后證．舉反：【變式】如圖，已知AE⊥AB，⊥AC，AB＝AC，B＝C，求證BD＝CE.【答案】證明：∵⊥，⊥，∴∠EAB＝∠DAC＝°∴∠EAB＋∠DAE＝DAC＋∠DAE即∠DAB∠EAC.在△與△EAC中，

∴△DAB≌△（ASA）∴BD＝CE.秋諸市期中1=2為BN上的一點(diǎn)⊥于FPA=PC求證：PCB∠．【路撥點(diǎn)P作⊥BAE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PF，然后利用證eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,Rt)全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠，再根據(jù)平角的定義解答．【案解】證明：如圖，過點(diǎn)作PEE∵∠∠，⊥BC于F，∴，∠PEA=∠PFB=90，在eq\o\ac(△,Rt)PEA與eq\o\ac(△,Rt)∴eq\o\ac(△,Rt)PEAeq\o\ac(△,Rt)（HL∴∠PAE=∠PCB∵∠BAP∠°，∴∠PCB∠BAP=180．

，【結(jié)華本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)等角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．舉反：【變式】已知：如圖AE⊥AB，⊥AB，AE＝AB，＝AC求證：ED⊥．

【答案】證明：∵⊥，⊥，∴∠DAE＝∠CBA＝°在eq\o\ac(△,Rt)DAE與eq\o\ac(△,Rt)CBA中，

ED＝ACAE＝∴eq\o\ac(△,Rt)DAE≌eq\o\ac(△,Rt)（）∴∠E＝∠∵∠CAB＋∠EAF＝°∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥．類二等三形3、如圖，在△ABC中點(diǎn)E在AB上，D在BC上BDBE∠BAD＝BCE，與CE相交于點(diǎn)F，試判斷的狀，并說明理由．【思路點(diǎn)撥要判斷的狀，可通過判斷角的關(guān)系來得出結(jié)論，那么就要看FAC和∠FCA的關(guān)．因?yàn)椤螧AD＝∠BCE，因此我們只比較和∠的系即可．【答案與解析】解：△AFC是等腰三角形．理由下：在△與△BCE中，∵∠B＝∠B，∠BAD＝BCE，＝BE，∴△BAD≌△BCE，∴BA＝，∠BAC＝BCA，∴∠BAC－BAD＝∠BCA－BCE，即∠FAC∠FCA∴AF＝，∴△是腰三角形．【總結(jié)升華利用全等三角形來得出角相等是本題解題的關(guān)鍵．舉反：【變式】如圖，1＝∠2，AB＝AD∠＝∠＝°，請(qǐng)判的狀，并說明理由．

【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠＝∠，∴∠1＋∠＝∠2＋∠3，∠＝∠DAE又∵AB＝，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA∴AC＝．即△是等腰三角．4、數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面題的正確性：頂角為36的等腰三角形具有一種特性經(jīng)它某一頂點(diǎn)的一條直可把它分成兩個(gè)小等腰三角形此你答問（1（）知：如圖①，在中ABAC＝36，直線BD平分ABC交AC于D．求證：△ABD與△都等腰三形；（）證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②圖中分別畫出一條線它們分成兩個(gè)小等腰三角形并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（）著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形畫兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形（）你寫出兩個(gè)符合3）一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．【思路點(diǎn)撥根等邊對(duì)等角，及角平分線定易得＝∠＝°，C＝°那么∠BDC＝°可得AD＝BD＝∴與△都是等腰三角形；（）等腰直角三角形分為兩個(gè)小的等腰直角三角形即可，108°角分為36°和72°即可；（）（得知的兩個(gè)角要么是2倍關(guān)，要么是3倍關(guān)系，可猜測只要所給的三個(gè)角中有2個(gè)是2倍3倍關(guān)系都可得到上述圖形；（）照發(fā)現(xiàn)的（）特點(diǎn)來，注意去掉特殊三角形的形式．【答案與解析】（）證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠，

∵∠＝36°∴∠ABC＝∠＝

（180°-∠A）＝72°，∵BD平分∠，∴∠1＝∠＝°．∴∠＝∠1+∠A＝72°∴∠＝∠A，∠3＝∠C，∴AD＝BD，BD＝BC，∴△ABD與△BDC都是等腰三角形．（）解：如下圖所示：（）解：如圖所示：（）解：特征一：倍內(nèi)角關(guān)系，如圖．0°＜＜45°，其中，α≠30°α≠36°a≠

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；特征二：倍內(nèi)角關(guān)系，如圖．0°＜＜45°，其中，α≠30°α≠36°【總結(jié)升華本題考查了等腰三角形的判定；注意應(yīng)根據(jù)題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個(gè)等腰三角形的一般結(jié)論．類三尺作5知α和線段如圖所示作腰三角形ABC其角B=長AB=c求僅用直尺和圓規(guī)作圖，寫出作法，并保留作圖痕跡．已知：求作：【路點(diǎn)作射線，再作PBQ=α；射線BQ截取BA=c；以點(diǎn)A為圓，線段c

為半徑作弧交BP于點(diǎn)C；連接．則△為所求．【答案與解析】解：作法：（）射線BP，再作∠PBQ=∠；（）射線BQ上截BA=c；（）點(diǎn)A為心，線段c為徑作弧交BP于；（）接AC．則△為求△ABC就是求作的三角形．【結(jié)升】此題主要考查三角的作法，是一些基本作圖的綜合應(yīng)用．舉反：【變式】已知△ABC，下列要作圖留圖痕跡，不寫作法）（）BC邊上的高AD；（）△的平分線BE規(guī)圖）【案】解：如圖：類四角分、段直分性定與定

6、如圖，AD是△ABC的平分線EF是AD垂直平分線．求證）∠EAD＝∠EDA（∥AC．（）＝∠B．【思路點(diǎn)撥）根據(jù)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得到AE＝，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得到∠EAD＝∠EDA（）據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AFDF，進(jìn)而得到∠BAD＝∠ADF再利用角平分線的性質(zhì)可得到∠BAD＝∠CAD用量代換可得∠ADF＝根平行線的判定即可得到DF∥AC；（）據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得到結(jié)論．【答案與解析】證明）是AD的直平分線，∴AE＝，∴∠EAD＝∠EDA；（）是AD的垂平分線∴AF＝，∴∠BAD＝∠ADF，∵AD是