2009數(shù)一真題、答案及解析

a1,b1 (B)a1,b1 (C)a1,b1 (D)a1,b1 1D11如圖，正方形x,yx1,y1D11四個(gè)區(qū)域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，則maxI

xxxff1O123xff1O123f1O123x 第-1-頁(yè)共19頁(yè)P(yáng)DF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f1f1 23

x

1 n （A）當(dāng)bn收斂時(shí)，anbn收斂 （B）當(dāng)bn發(fā)散時(shí)，anbn發(fā)散 (C)當(dāng)b收斂時(shí)，a2b2收斂 (D)當(dāng)b發(fā)散時(shí)，a2b2 n

n

n設(shè),3R3的一組基，則由基11 12,23,31 1

1 0

23 0 3 3

3 1 1 6 2

1

1 6

4

4 1

1 6 6 A 設(shè)A,B均為2階矩陣，A,B分別為A,B的伴隨矩陣，若A2,B3，則分塊矩陣 A B 2 O O C D O O第-2-頁(yè)共19頁(yè)x12 ，其中x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，2 EX （8）設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1，Y的概率分布 為

2設(shè)函數(shù)fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，zfx,xy，則xy 若二階常系數(shù)線性齊次微分方程yayby0的通解為yCCxex，則非齊次方程 yaybyx滿足條件y02,y00的解為y L已知曲線L:yx20x 2，則xds L 若3維列向量,滿足T2其中T為的轉(zhuǎn)置則矩陣T的非零特征值

若XkS2為np2的無(wú)偏估計(jì)量，則k （15（f(xyx22y2ylny的極值（16（設(shè)an為曲線yxn與yxn1n1, S1anS2a2n1，求S1S2的值 第-3-頁(yè)共19頁(yè)17（

x2y21x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面S是過(guò)點(diǎn)4,0x2y2

求S1S2求S1S2之間的立體體積（18（證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)fx在ab上連續(xù)，在(ab可導(dǎo)，則存在abfbfafba

（19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外側(cè)（20（ 設(shè)A 1，1 2

A231的所有向量23（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a （X,YZ分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)第-4-頁(yè)共19頁(yè)（Ⅰ）pX1Z

求參數(shù)（Ⅱ）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量第-5-頁(yè)共19頁(yè)a1,b1 (B)a1,b1 (C)a1,b1 (D)a1,b1 【答案】f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxf( lim lim lim 洛

洛x0g(

x0x2ln(1

x0x2

x0 lima2sinaxa31 a

a3 另外lim1acosax存在，蘊(yùn)含了1acosax0x0故a 排除 1D111D11四個(gè)區(qū)域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，則maxI

I1 (B)

(C)

【答案】 D2D4xf(xy)ycosxf(xyyI2I40D1,D3兩區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，而f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)，即被積函數(shù)是關(guān)于x的偶函數(shù)，所以I12 ycosxdxdy0；(x,y)第-6-頁(yè)共19頁(yè)I3 (x,y)yxxff1O123xf1f1O123x1

f1f1O1231x

【答案】yf(xxyxx0所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)Fx)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：第-7-頁(yè)共19PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 n 當(dāng)bn收斂時(shí)，anbn收斂 （B）當(dāng)bn發(fā)散時(shí)，anbn發(fā)散 (C)當(dāng)b收斂時(shí)，a2b2收斂 (D)當(dāng)b發(fā)散時(shí)，a2b2 n

n

n【答案】舉反例：（A）ab1)nn n11（B）取anbn1取

bn故答案為方法二：因?yàn)閘iman0,則由定義可知N1使得nN1annn又因?yàn)?/p>

收斂，可得lim

0,則由定義可知N2nN2bn從而，當(dāng)nNN時(shí)，有a2b2b，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知a2b2收斂 n n設(shè),3R3的一組基，則由基11 12,23,31 1

1 0

23 0 3 3

3 第-8-頁(yè)共19頁(yè) 1 1 6 2

1

1 6

4

4 1

1 6 6 【答案】則由基,11到

,,的過(guò)渡矩陣M1223 ,,,1,1 12233 ,1,1

3

3 A 設(shè)A,B均為2階矩陣，A,B分別為A,B的伴隨矩陣，若A2,B3，則分塊矩陣 A B 2 O O C D O【答案】

OC【解析】根據(jù)CCCE，若CCC1C11C A 分塊矩陣 O（1）AB236，即分塊矩陣可 1BB A A A B1 B

6

6 0 O 1 A A 第-9-頁(yè)共19頁(yè) 1B 2B6 O

O 故答案為

x12 ，其中x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，2 EX 【答案】x12 2 2 2 xFxdx x0.35x1EX

x 2

xx1

2 而xxdx0

xx1 xu

22u1udu 2 EX00.3520.7（8）設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1，Y的概率分布 為 【答案】第-10-頁(yè)共19頁(yè)FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1[P(XYzY0)P(XYzY1)]1[P(X0zY0)P(XzY1)]X,Y

(z)1[P(X0z)P(Xz)]11（1）z0FZz211z0為間斷點(diǎn)，故選設(shè)函數(shù)fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，zfx,xy，則xy xf"f 2 xf1f2yxyxf12f2yxf22xf12f2xyf22若二階常系數(shù)線性齊次微分方程yayby0的通解為yCCxex，則非齊次方程 yaybyx滿足條件y02,y00的解為y yxexx2yccx)ex，得1a2,b y''2y'yy*AxByAA2AAxB2B0,B 特解y*x y(c1c2x)exx第-11-頁(yè)共19頁(yè)，y'(00代入，得c10,c2把y(0)yxexx

2，則xds LL62【解析】由題意可知，xx,yx2,0x ，2dsx2y2dx 14x2dx所以xds

x14x2dx1214x2d14x22L18

0220

86

4 z2dxdydz2dd12sin2cos2 2dcos2dcos1 2cos31d4 0 方法二：由輪換對(duì)稱性可知z2dxdydzx2dxdydz z2dxdydz1x2y2z2dxdydz1d2d1r4sin 3 3 2sind1r4dr21sind 若3維列向量,滿足T2其中T為的轉(zhuǎn)置則矩陣T的非零特征值 【答案】【解析】T第-12-頁(yè)共19頁(yè)

若XkS2為np2的無(wú)偏估計(jì)量，則k 【答案】E(XkX2)npknp(1p)1k(1p)k(1p)pk（15（f(xyx22y2ylny的極值fx(x,y)2x(2y2)fy(x,y)2x2ylny11x0,yef2(2y2),f2x21,f 則f 12(21)，f 0，f exx(0,

yy(0,e(0,e f0而f)2ff xxf(0,二元函數(shù)存在極小 11f(0, （16（設(shè)an為曲線yxn與yxn1n1, 第-13-頁(yè)共19頁(yè) S1anS2a2n1，求S1S2的值 yxn與y=xn+1x0x1所以

1(xnxn1)dx(

n

xn1 n

xn2)10

n

，n 從而S1 an anlim( - ) ) N N N1N N N S2 a2n1 （ =（ ) n1 1由ln(1+x)=x-2

(n1)xnn

x12ln(2)1(111)12

1ln217（

x2y21x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面S是過(guò)點(diǎn)4,0x2y2

求S1S2求S1S2之間的立體體積 4

y23

1 過(guò)點(diǎn)4,0與 1的切線為y x2 所以Sy2z21x2 V32(4x2dx5.954 （18（第-14-頁(yè)共19頁(yè)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)fx在ab上連續(xù)，在(ab可導(dǎo)，則存在abfbfafba

【解析】（Ⅰ）作輔助函數(shù)(xfxf(a

f(b)fb

xa，易驗(yàn)證(xf(b)f(a(b(x在閉區(qū)間ab上連續(xù)，在開區(qū)間ab內(nèi)可導(dǎo)，且xf'(x根據(jù)羅爾定理，可得在ab內(nèi)至少有一點(diǎn)，使0

b f'()f(b)f(a)0,f(b)f(a) b

0日中值定理可得：存在x0,x00,，使得0 ……f' f(x0 ……x0

f'0x0

f(x0)f0x0

x0

0f'()limf'00 x 0

) f(0)f(0)A （19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外側(cè)xdydzydxdz

I

(x2y2z2

，其中

2yz y2z2(xyz 23/2) 2y2z2)5/2, x2z22 23/ ) 23/y(xyz (x2y2z2)5第-15-頁(yè)共19頁(yè) x2y2 23/ ) 23/z(xyz (x2y2z2①+②+③=

(x2y2z2

)y(x2y2z2

z(x2y2z2

):x2y2z2R2.0R1 xdydzydxdzzdxdy

xdydzydxdzzdxdy

34R3

(x2y2z2

R3

（20（ 設(shè)A 1

1 1 2

A231的所有向量23

1 1 11

1

1 22 1 0 rA2故有一個(gè)自由變量，令x32Ax0x21,x11x1x20x311 0 故2k110

，其中k1為任意常數(shù)A2

2 2 0 0 第-16-頁(yè)共19頁(yè) 01 A2,

0

2 2 0 x1A2x0x1,x12

12求特解200

故3k2100 0

，其中k2為任意常數(shù)

k212 12由于 2k1

2k1k2(2k11)(k22)2k1(k22)k2(2k11 故, 線性無(wú)關(guān) （21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 1

a |EA

(a)

a

a

(a)[(a)(a