考點(diǎn)18圖形的相似-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與題型全歸納（全國通用）（解析版）

考點(diǎn)18圖形的相似

［命題趨勢(shì)

該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2022年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨(dú)考查，是廣

大考生的得分點(diǎn)，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題時(shí)

和勾股定理、三角函數(shù)一起運(yùn)用，此時(shí)解答題的難度變大，綜合性就較強(qiáng)了，分值在15分左右，為避免丟

分，應(yīng)扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。

知識(shí)梳理

一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

ab

2.比例中項(xiàng)：如果石=［即6=這，我們就把人叫做a,C的比例中項(xiàng).

3.比例的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

ac

性質(zhì)1—=——<^>ad=bc(。,b,c,dWO).

bd

,acm,a士bc±d

性質(zhì)2如m果:=一,那么----=------.

bdbd

,acm………a+c+???+/篦m,丁~、

性質(zhì)3如果m一二——=,,,=—(b+d+???+/#O),則------------=—(不唯一*).

bdn力+1+???+〃〃

4.黃金分割:如果點(diǎn)C把線段4B分成兩條線段，使J=那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC

ABAC

是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比.

二、相似三角形的判定及性質(zhì)

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

2.性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊

對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角［用判定（1）］或再找夾邊成比例［用判定（2）］；

3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；

4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.

三、相似多邊形

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相

似比.

2.性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長的比等于相

似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

四、位似圖形

1.定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為女,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐

標(biāo)的比等于k或-%2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即

是位似中心.

4.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或

縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

重點(diǎn)考向

考向1比例線段及其性質(zhì)

1.比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比

例的內(nèi)項(xiàng).

2.對(duì)于四條線段4、b、C、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如4：

b=c：d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比

是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

典例引領(lǐng)

1.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）已知曰=上=三#0,則一？=

234yz

【答案】f

6

【分析】設(shè)1=與=；=々，再將％，y，z分別用上的代數(shù)式表示，再代入約去上即可求解.

234

YVZ

【詳解】解：設(shè)一=2=一=左。0,則x=2Z,y=3/c,z-4/c,

234

2222

（2左）2+2左X3左4/c+6k10k5……，5

故上^---------------=----------=-----=-,故答案為?一

3k又4k12/12/6''6'

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖南湘潭?中考真題）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理,

另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”.

如圖□，點(diǎn)C把線段A8分成兩部分，如果包=墾！=0.618,那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

AC2

（1）特例感知：在圖口中，若48=100,求4c的長；（2）知識(shí)探究：如圖口，作一。的內(nèi)接正五邊形：口

作兩條相互垂直的直徑MV、A/：口作ON的中點(diǎn)P,以P為圓心，以為半徑畫弧交?！庇邳c(diǎn)0；口以點(diǎn)“

為圓心，A。為半徑，在口。上連續(xù)截取等弧，使弦AB=BC=8=Z）E=AQ,連接AE；

則五邊形A8CDE為正五邊形.在該正五邊形作法中，點(diǎn)。是否為線段O股的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有

著密切的聯(lián)系.

延長題（2）中的正五邊形ABCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖口，點(diǎn)E是線段P驍?shù)狞S金分

割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求cos72。的值.

【答案】（1）61.8：（2）是，理由見解析；（3）以二

4

【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義求解即可；（2）設(shè)口。的半徑為。，則勿=CW=OM=a,利用勾股定理求

出玄，繼而求出00,MQ,即可作出判斷；（3）先求出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角，即可得至I」LPE/=LR1E=

18（）。-108。=72。，根據(jù)已知條件可知。行72。=2"，再根據(jù)點(diǎn)E是線段PD的黃金分割點(diǎn)，即可求解.

PE

c版［/1ACB>/5—1八（10A8-AC\/5—1八

【詳解】解：（1）］——=-----?0.618,--------=------?0.618,

AC2AC2

即吐<￡=或二1B0.618,解得：/O6I.8；

AC2

（2）0是線段的黃金分割點(diǎn)，理由如下：設(shè)。的半徑為。，則0=ON=OA/=m

OP=goN=；a,PA=yJOP2+OA2=^-a=PQ，

OQ=PQ-OP=^la,MQ=OM-OQ=^^-a,猥==。是線段0M的黃金分割點(diǎn);

52x180AE

(3)正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為：(-)°=|08O)PEA=曰￡=180。-108。=72。，cos12°=2,

5PE

點(diǎn)￡是線段尸。的黃金分割點(diǎn)，%=避二1,

PE2

又1AE=ED,空=2^11,co,s-72°=2A￡逐一1.

PE2游==

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意正確解題.

變式拓展

1.（2021?內(nèi)江?中考真題）已知非負(fù)實(shí)數(shù)。，"c滿足'1=容=尋,設(shè)S…如+女的最大值為叫

最小值為〃，則4的值為

m

【答案】￥

16

Z7_I卜—0[一「

【分析】設(shè)—^―=?§=&，則4=2k+1,b=3k+2,c=3-4A,可得S=TZ+14；利用4,b,c為非

負(fù)實(shí)數(shù)可得k的取值范圍，從而求得加，〃的值，結(jié)論可求.

【詳解】解：設(shè)F=殍=Y=2,則a=2Z+l,m2,c=3—4Z,

2JI+1..0

i3

.?.S=a+?+3c=2Z:+l+2（3女+2）+3（3—4%）=-4攵+14.???a,b,C為非負(fù)實(shí)數(shù)，3k+2..0,解得：

24

3-4k.O

.??當(dāng)&=-g時(shí)，S取最大值，當(dāng)左=；時(shí)，S取最小值.

.e.tn=-4x|—14-14=16,n——4x—+14=11./.—=—.故答案為：—

V2J4m!616

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解不等式組，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用等，設(shè)，1=容=?=左是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇?一模）已知線段a,b,c,其中c是a和6的比例中項(xiàng)，a=4,6=9,則c=（）

A.4B.6C.9D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出c.

【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得/=必=36,c=±6,

又線段不能是負(fù)數(shù)，-6應(yīng)舍去，取c=6,故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了比例中項(xiàng)的概念：解題的關(guān)鍵是當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng).這里注意線段不

能是負(fù)數(shù).

3.（2021?福建南平?一模）數(shù)學(xué)中，把寬與長之比為與1（告!^0.618）的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例

叵士被稱為黃金分割比例.如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分很好地體現(xiàn)了黃金分割

2

比例，其中矩形是黃金矩形，若我們把一個(gè)正方形ZEED嵌入黃金矩形N8CZ）中（正方形的邊長等

于黃金矩形的寬），這樣就創(chuàng)造了一個(gè)新的黃金矩形8EFC.如果把這個(gè)過程重復(fù)數(shù)次，接著我們要在每個(gè)

正方形內(nèi)畫一條圓弧，讓每個(gè)圓弧的半徑等于它所在正方形的邊長就會(huì)得到下面這張圖，若48=〃，則圖中

弧狼的長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)黃金矩形的定義，求出8E長，再用弧長公式求解即可.

【詳解】解：矩形/灰力是黃金矩形，AB=a,生=或二1,BcNfa,

AB22

矩形BMC是黃金矩形，毀=避二1,BE=G"=（縣1）2”，

CB22

弧，尸的長為9°%GH=%.（且二%〃,故選：c.

18022

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割和弧計(jì)算，解題關(guān)鍵是利用黃金分割求出半徑，再熟練運(yùn)用弧長公式進(jìn)行計(jì)算.

考向2平行線分線段成比例

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖南中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中44〃5與〃。&〃。4，且43=3。=8.為

使其更穩(wěn)固，在A,。間加綁一條安全繩（線段AA）,量得A￡=0.4m,則A。=m.

【答案】1-2

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AE=EF=FD1,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：；MIIBBJICCJIDD,,AB=BC=CD,：.AE=EF=FR,

AE=0.4m,二AD]=3AE=L2m,故答案是：12

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握“平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例”，是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇如皋?二模）如圖，在AABC中，。在NC邊上，AD:DC=\:2,。是8。的中點(diǎn)，連接NO并

S.

延長交3c于￡,記△BOE的面積為四邊形C0OE的面積為邑，則苦=____________.

?2

【分析】作。尸ME交5c于尸，連接CO,利用OEIDF得到一=——=1,所以利用。E/E

EFOD

ppAD1ftp1

得到笠=三=:，所以CF=2EF,然后計(jì)算進(jìn)而即可求解.

FCDC2EC3

【詳解】解：作。尸4E交BC于凡連接CO,如圖,

法工I,BE=EF,

OEDF,。是8。的中點(diǎn),BP

EFOD

EFAD1BE_JS^BOE_j_

DFAE,AD:DC=1:2,一=一=一，CF=2EF,

FCDC2EC3S48E3

又LO是8。的中點(diǎn)，S^B0C=SAD0C,2^=]=；故答案為::.

,“BCD6電邊形COOE'7

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.過分點(diǎn)作平

行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?黑龍江中考真題）如圖，在AA8C中，DE//BC,4）=2，30=3,AC=1（）,則AE的長

為（)

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

AnAp

【分析】MDE〃BC,得——=——，進(jìn)而即可求解.

ABAC

【詳解】解：???在AABC中，DE//BC,AD=2,BD=3,AC=10,

.ADAE2_AE

即:：.AE=4,故選B.

,AB-AC~2+3~~10

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，列出比例式，是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料.，完成相關(guān)任務(wù)

我們知道，利用尺規(guī)作己知線段的垂直平分線可以得到該線段的中點(diǎn)，四等分點(diǎn)，怎樣得到線段的三等分

MP1

點(diǎn)呢？如圖，已知線段用尺規(guī)在上求作點(diǎn)尸，使而不

操作探究：曉彤的作法是：口作射線（點(diǎn)K不在直線上）;

□在射線上依次截取線段M4,AB,使/8=2朋4連接8N；

口以/為頂點(diǎn)，MA為一邊,如圖，作口河力;5,使IM4P=：1M8V,射線/尸交仞V于點(diǎn)P.

所以點(diǎn)P為求作的點(diǎn).

曉彤作法的理由是:

QDMAP=^MBN,

□/P口8N（同位角相等，兩直線平行）.

MAMP

-------=-------（依據(jù)）.

MBMN

（己知）,

MA1，小田,、、生、

□旃=3（等量代換）?

MPMA1/依山小M.、

口加=癡=3（等量代換）.

數(shù)學(xué)思考：曉彤作法理由中所缺的依據(jù)是:

拓展應(yīng)用：如圖，已知線段a,b,C,

求作：線段"，使4：b=c：d.（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

bM

【答案】數(shù)學(xué)思考：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；拓展應(yīng)用：見解析.

【分析】數(shù)學(xué)思考：由題意根據(jù)平行線分線段成比例，即可得到答案；

拓展應(yīng)用：根據(jù)題意由頂點(diǎn)A做兩條射線，在一條射線上截取AB=a,BC=b,在另一條射線上截取AD=c,

連接3。，過點(diǎn)C作CEQBZ）,交點(diǎn)、為E,則。后=（/即為所求線段.

【詳解】解：數(shù)學(xué)思考：山題意可得：曉彤作法理山中所缺的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得

的對(duì)應(yīng)線段成比例；

拓展應(yīng)用：如圖，線段。E即為所求作的線段d.

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握平行線分線段成比例的作法是解答此題的關(guān)鍵.

考向3相似多邊形

1.如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.

2.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

3.多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

4.相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等.

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇無錫市?中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為.

①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似

③邊長相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似

【答案】1

【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；利用菱形的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行

判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；

邊長相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個(gè)菱形不一定相似所以③錯(cuò)誤；

對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤；故答案是：L

【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握?qǐng)D形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題

的關(guān)鍵.

2.（2021?四川德陽?中考真題）我們把寬與長的比是叵1的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、

2

勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì).已知四邊形

N88是黃金矩形，邊”5的長度為右-1,則該矩形的周長為.

【答案】2石+2或4

【分析】分兩種情況：邊A3為矩形的長時(shí)，則矩形的寬為3-逐，求出矩形的周長即可：

邊A8為矩形的寬時(shí)，則矩形的長為=2,求出矩形的周長即可.

【詳解】解：分兩種情況：口邊為矩形的長時(shí)，則矩形的寬為叵1x（石-1）=3-6,

2

.,.矩形的周長為：2（75-1+3-75）=4；

邊的為矩形的寬時(shí)，則矩形的長為：（石-1）+當(dāng)」=2,矩形的周長為2G6-1+2）=2括+2；

綜上所述，該矩形的周長為2?+2或4,故答案為：26+2或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2022?福建福州?一模）如圖，將一張矩形紙片沿兩長邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折，如果得到的兩個(gè)矩形都與

原矩形相似，則原矩形長與寬的比是（）

A.2：1B.1：2C.3：2D.應(yīng)：1

【答案】D

【分析】表示出對(duì)折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后求解即可.

【詳解】解：設(shè)原來矩形的長為x,寬為〃如圖，則對(duì)折后的矩形的長為“寬為楙，

X

Y

H得到的兩個(gè)矩形都和原矩形相似，「x：y=y：—,解得x：y=y/2:\■故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握.

2.（2021?江蘇鼓樓?二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的

條件，以下是他們的思考，請(qǐng)你和他們一起完成探究過程.

【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形.

【初步思考】（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究

四邊形相似的條件.他考慮到“四角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例"矩形”，“四邊成比例的兩個(gè)

四邊形相似”可以舉出反例.所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且

一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，“兩邊成比例，且三

角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”來探究.

【深入探究】（2）學(xué)習(xí)小組一致認(rèn)為，“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似“是真命題，請(qǐng)結(jié)合

圖形完成證明.

已知：四邊形和四邊形A'3'C'。'中，空7=彩=笑；=黑，ZA=ZA\

ADDCCDAL）

求證：四邊形ABCDs四邊形48'C'D'.證明:

（3）對(duì)于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似“，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個(gè)命題：

口’三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；

口'三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；

口’三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”；

「“三邊成比例，兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)四邊形相似

其中真命題是.（填寫所有真命題的序號(hào)）

（4）請(qǐng)你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”的探究過程.

【答案】（1）菱形和正方形：（2）見解析；（3）□；（4）見解析.

【分析】（1）利用正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似可以舉出反例：

（2）先判斷出A42s；K57）,得出,ZADB=ZADB,絲=/巳=^42,進(jìn)而得出ABCZ3

A!BBDA￡X

BtTD?,得出NC=NC',NCDB=NCD'R,NCBD=NCBD,即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)相似多邊形的判定方法，一一判斷即可；

（4）分兩種情況考慮，兩邊是對(duì)邊，兩邊是鄰邊，根據(jù)相似多邊形的判定方法即可完成證明.

【詳解】（1）解：?.?正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似，

???”四邊成比例的兩個(gè)四邊形相似'’可以舉出反例菱形和正方形，故答案為：菱形和正方形：

AR

（2）證明：連接5￡＞、&D,ZA=ZA,,AABD^AA'B'D',

ABAD

BD_ABAB_BC_CDBD_BC_CD

^BCD^^B'CD',Z3=Z7,Z4=Z8,ZC=ZC\

Z1+Z3=Z5+Z7,Z2+Z4=Z6+Z8,即NAQC=NA'D'C',ZABC=>

綜上，四邊形ABCDs四邊形AB'C'D'.

(3)解：如圖，四邊形ABCDs四邊形A&CD,以4為圓心、AD為半徑作圓交C'。'延長線于點(diǎn)。"，

AD"A,D,A'R'R'「'

則=F=F=.，ZB/=ZB,ZC=ZC,但四邊形不與四邊形4?CO相似?

ADADABBC

如圖，四邊形ABCDs四邊形AB'。'。，以C'為圓心、。力’為半徑作圓交過點(diǎn)咫且和A3平行的直線相

交于點(diǎn)。"，過?！ㄗ鱖TA7/OA交A9于點(diǎn)A"，則CZ>'=CZ>",四邊形4。7rA〃為平行四邊形.則

Ar,DnA。BCC'D，C'D”,即瞽矗C'D'

ZB'A〃D"=ZA'=ZA,ZB'=/B,

AD~AD~^C~~CD~CD~CD

但四邊形A〃9CZX不與四邊形ABC￡>相似.

已知：如圖，四邊形ABC。和四邊形AECD中，鎧=等=%，^4BC=ZA,B,C,NBCD=NB'C'D.

ABDCCL/

求證：四邊形AACQS四邊形4后。。.

CD

證明：連接80，UD.■.ZBCD=ZB'CD,且黑-------,.,.ABC*BCD,

BCCD

BDBCABBCCDBDAB

;.4CDB=4CDB,NCED=NCBD,

BDBC'府一就一FF'.B'DA:Bf

ADAB

vZABC=ZA^C,:.ZABD=ZABD,4"。，市=而，NA="ZADB=ZADB,

/\L)D

ABBCCD

,ZADC=ZADC,ZA=ZAr,ZABC=ZA,B,C/BCD=/B'C'D',

B'CCDA!D9

???四邊形ABC。與四邊形A'BCD相似;

如圖，四邊形ABCDs四邊形A0。'。'，以C'為圓心,CA為半徑作圓交AE于點(diǎn)A",在CA左側(cè)作

△CWO/ZXCA"。"，則。'。'=。7/=左8,AnDr=Aiy=kAD,B'C'=kBC,N￡f=Z￡>,但

四邊形A"8'CZT不與四邊形ABC。相似.故答案為：，

（4）解：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和為360。，所以四邊形只要三個(gè)角分別相等，第四個(gè)角就也相等，所以只需考慮

成比例的兩邊是鄰邊還是對(duì)邊.

若成比例的兩邊是對(duì)邊，則有反例“矩形若成比例的兩邊是鄰邊，則相似，理由如下：

ARAn

已知：四邊形和四邊形中，ZA=ZA\ZB=ZB，ZC=ZC.

ADAD

求證：四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D'.

證明：ZA=ZA',NB=NB'，ZC=Z.C,

ZD=3600-ZA-ZB-ZC=360°-ZA,-ZB,-ZC,=ZD,.

ABAD

連接80、B'iy,，ZA=ZA!,，

A'B'A'D'

BDAB

Z1=Z5,Z3=ZADC-Z1=ZA'DC'—N5=N7,

B'D'A'B'

BeCDBDABAD

又NC=NC',公BC4AFC'iy,

B'CCD'B'D'A'B'A'D'

綜上，四邊形ABCDs四邊形A8，C'￡>'.

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，考查了相似多邊形的判定方法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，屬于中考?jí)狠S題.

考向4相似三角形性質(zhì)與判定

1.相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似

比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相

似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等

且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖南湘潭?中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。，E分別為邊A3,AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件:

，使得組與AABC相似.（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題.

【詳解】解：根據(jù)題意，添加條件當(dāng)=會(huì)，

ABAC

AF）Ap

?「NA=NAAADE~AA8C故答案為：——.

ABAC

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4nsp1

2.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，“8C中，點(diǎn)I）、E分別在45、4C上，且==后=：，下列結(jié)論

DBEC2

正確的是（）

A.DE：BC=l：2B.ANDE■與的面積比為1：3

C.■與"8C的周長比為1：2D.DE//BC

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.

AnAE1

【詳解】解：———=—?AD：AB=AE：AC=\：3,

DBEC2

DUA=DA,DUADEDnABC,DDE：BC=1：3,故4錯(cuò)誤；

CLADESABC,"/OE與A/SC的面積比為1：9,周長的比為1：3,故8和C錯(cuò)誤;

^UADEDrABC,□ADE=LB,DDEQBC.故￡>iE確.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

3.（2021?上海中考真題）如圖，在梯形ABCO中，AO//8C,NABC=90。,4。=8,0是對(duì)角線AC的

中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)B。并延長交邊CO或邊A。于E.（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊CO上時(shí)，①求證：ADACSAOBC；②

An

若BELCD,求——的值；（2）若DE=2,OE=3,求8的長.

BC

2

【答案】（1）①見解析；②］；（2）i+Ji§或3+"5

【分析】（1）①根據(jù)己知條件、平行線性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導(dǎo)，

ZDAC=ZDCA=ZOBC=ZOCB,由此可得△ZMCSA.C；

②若8E，CD，那么在Rt△BCE中，由N2=N3=N4.可得N2=N3=N4=30°,作。”_L3C于H.設(shè)

AT）

AD^CD=2m,那么8”=AT>=2m.根據(jù)30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半可知C”=機(jī)，由此可得一

BC

的值.（2）①當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，可得四邊形ABCE是矩形，設(shè)AD=CD=x,在RjACE和RtVDCE

中，根據(jù)。爐=。石2,列方程62—（X—2）2=/-22求解即可.

②當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，設(shè)AO=CD=x，由AZMCSAOBC,W-=—.所以土=——，所以

OCBCmBC

PCxEOECOC3x—2OC

illAEOCS^ECB得——=——所以^解出X的值即可.

~BC~2mECEB~CBx—2m+3CB

【詳解】（1）①由AD=CD,得N1=N2.由A￡>〃BC,得N1=N3.

因?yàn)?0是Rt^ABC斜邊上的中線，所以。B=OC.所以N3=N4.

所以N1=N2=N3=N4.所以AD4csAOBC.

②若區(qū)ELCO，那么在RSBCE中，由N2=N3=N4.可得N2=N3=N4=30°.

作DH工BC丁H.設(shè)AD=Cr）=2m,那么6"=AZ>=2m.

在Rt/XOCH中，ZDCH=60°,DC=2m,所以CH=機(jī).

yi7^2/722

所以BC=BH+CH=3in.所以一=——=-.

BC3m3

（2）①如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，由AD//BC，。是AC的中點(diǎn)，可得03=。七，

所以四邊形ABCE是平行四邊形.又因?yàn)镹ABC=90°,所以四邊形ABCE是矩形,

設(shè)AD=C￡）=x,已知￡）七=2，所以短=》-2.已知。￡=3,所以AC=6.

在Rt^ACE和RtVOCE中，根據(jù)CE2=C“2,列方程62—（》-2）2=f-2?.

解得x=i+Ji3＞或x=1—5/回（舍去負(fù)值）.

②如圖6,當(dāng)點(diǎn)E在C￡＞上時(shí)，設(shè)AO=CZ）=x,已知?！?2,所以C￡=x—2.

設(shè)OB=OC=m,已知0E=3，那么EB=/?l+3.

DCACx2OC,OCx

一方面，由△ZMCSAOBC,得---=----,所以一二----，所以——=—

OCBCmBCBC2m

另一方面，由N2=N4,NBEC是公共角，得AEOCS^ECB.

所以空=二=T，所以3===空

ECEBCBx-2租+3CB

等量代換’得由白X得m=±Y-———2x

2m6

丫2_,ax-2

將機(jī)=代入—-=-整理，得月一6%-10=0.

6x-2加+3

解得X=3+M，或X=3—M（舍去負(fù)值）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理等，能夠運(yùn)用相似三角形邊的

關(guān)系列方程是解題的關(guān)犍.

變式拓展1

1.（2021?山東淄博市?中考真題）如圖，A氏CQ相交于點(diǎn)E,且ACV/E尸〃DB,點(diǎn)在同一條直線

上.已知AC=P，律=r,O8=q,則P，q/之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）

D

111112

C.—I—=—D.—+-=一

pq丫qrP

【答案】C

EFBFEFCF

【分析】山題意易得△CEFS￡DB,則有---=----然后可得

ACBC1BD~1BC

"+空=1，進(jìn)而問題可求解?

ACBD

【詳解】解：ACHEFHDB,：./xBEF^/xBAC.ACEF—ACDB，

.里=也變=空.空+空=如:+紅7

ACBCBDBCACBDBCBC

rr111

*：AC=P,EF=r,DB=q,：?—l—=1,即—l—=一；故選C.

pqpqr

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，在6c中，AC=BC,矩形。石FG的頂點(diǎn)。、E在A8上,

點(diǎn)、F、G分別在BC、AC上，若C尸=4,BF=3,且DE=2EF,則EF的長為.

12

【答案】y

7r

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到G/〃證明△CGFsaCfB,可得旗=5，證明得到

3

AD=BE=-x,在ABE尸中，利用勾股定理求出x值即可.

4

【詳解】解：-：DE=2EF,設(shè)EF=x,則DE=2x,

;四邊形。EbG是矩形，:.GF//AB,:?ACGFs叢CAB,

GFCF442x4lxlx3

^-=-,BP—=-,AAB=—f：.AD^BE=AB-DE=--2x=-x,

ABCB4+37AB1222

V^C=SC,，N4=N8,又DG=EF,NADG=NBEF=9。。,工AADG寶/\BEF(AAS),

i33<3Y

：.AD=BE=-x-x=-x,在ABEF中，BE2+EF2=BF2>BP-x+%2=321

22414J

12I91212

解得：尸了或一?（舍），二￡尸=丁，故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊

對(duì)等角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的長.

3.(2021?四川綿陽?中考真題)如圖，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC?=AB(A8+3C),且A/MB~AOC4,

若A￡>=3",點(diǎn)。是線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，則R2的最小值是（)

C.好D

2-I

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得至喘=今得到如4,

AB=5O=4,過8作8〃_LA￡)于〃，根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)得到A”=；A?=3,根據(jù)勾股定理得到BH=JAB。-AH2=右于'=幣,當(dāng)P0LA8時(shí),

PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?皿3-ADC4,.?.黑=察，，上=次產(chǎn)，解得：即=4（負(fù)值舍去）,

BDADBD6

ACCD_9_33

?.△ZMB-ADGA,:,AC=-AB

AD-6-22f

■.■AC2=AB(AB+BC),二《回=AB(AB+BC),"8=4,:.AB=BD=4,

過8作8H_LA￡>于"，，A"=gA￡>=3,...BH=\lAB2-AH2=742-32=77,

■.■AD=3A