人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)各章節(jié)學(xué)案講義（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)匯總及配套習(xí)題、第一章空間向量與立體幾何、第二章平面解析幾何）

人教B版選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案

第一章空間向量與立體幾何.......................................................2

1.1空間向量及其運(yùn)算........................................................2

1.1.1空間向量及其運(yùn)算..................................................2

1.1.2空間向量基本定理.................................................15

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系..................................26

1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用............................................39

1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量.......................................39

1.2.2空間中的平面與空間向量...........................................50

1.2.3直線與平面的夾角.................................................61

1.2.4二面角............................................................74

1.2.5空間中的距離.....................................................89

第二章平面解析幾何............................................................103

2.1坐標(biāo)法.................................................................103

2.2直線及其方程...........................................................110

2.2.1直線的傾斜角與斜率..............................................110

2.2.2直線的方程.......................................................119

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系..............................................128

2.2.4點(diǎn)到直線的距離..................................................139

2.3圓及其方程.............................................................147

2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.....................................................147

2.3.2圓的一般方程.....................................................155

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系..............................................162

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系................................................171

2.4曲線與方程.............................................................179

2.5橢圓及其方程..........................................................190

2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................190

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)..................................................200

2.6雙曲線及其方程........................................................209

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程................................................209

2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)................................................219

2.7拋物線及其方程........................................................231

2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程................................................231

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)................................................240

2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.............................................250

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其運(yùn)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解空間向量、向量的模、零向量、

相反向量、相等向量、共面向量等概1.通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)

念.(重點(diǎn))數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作2.借助于空間向量的線性運(yùn)算，提升數(shù)

出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

義及運(yùn)算律.(重點(diǎn)'易混點(diǎn))3.借助于空間向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)

3.掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

運(yùn)算律.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))

畬懵境引入?助學(xué)助教

國(guó)慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(。)游覽結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然

后抵達(dá)東方明珠(8)游玩，如圖1,游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來表

示這個(gè)過程？如果游客還要登上東方明珠頂端(0)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2,那

實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？

圖1圖2

1.空間向量

(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量.

(2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量,如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向

量，記為模為|贏

②字母表示法：可以用字母a,b,c,…表示，模為同，同，\c\,

2.幾類特殊的向量

(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量,記作0.

(2)單位向量：模等于L的向量稱為單位向量.

(3)相等向量：大小相等、方向迎國(guó)的向量稱為相等向量.

(4)相反向量：方向相反，大小相笠的向量稱為相反向量.

(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相壬且，此時(shí)表示這兩個(gè)非

零向量的有向線段所在的直線壬立或重合.通常規(guī)定零向量與任意向量平行.

(6)共面向量：一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過平移

后，都能在同-一平面內(nèi),則稱這些向量共面.

思考：空間中任意兩個(gè)向量共面嗎？空間中任意三個(gè)向量呢？

［提示］空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，但空間中任意三個(gè)向量不一定共面.

3.空間向量的線性運(yùn)算

類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算.

圖1圖2

(1)如圖1,OB=OA+AB=a+b,CA=OA-OC=a~b.

(2)如圖2,DA+DC+DD\=^.

即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向

量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.

(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)人與任意一個(gè)空間向量a,則實(shí)數(shù)2與空間向量a相乘的運(yùn)算稱

為數(shù)乘向量，記作/4其中：

①當(dāng)/two且時(shí)，九I的模為E1回，而且癡的方向：

3)當(dāng)2>0時(shí)，與a的方向相同;

(宜)當(dāng)人〈0時(shí)，與a的方向相反.

②當(dāng)4=0或a=0時(shí)，za=0.

(4)空間向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：

對(duì)于實(shí)數(shù)2與〃，向量a與6,有①九i+〃a=q+")a；②〃a+?=%a+油.

4.空間向量的數(shù)量積

(1)空間向量的夾角

JT

如果<a,b>=會(huì)那么向量a,b互相垂直,記作al尻

(2)空間向量數(shù)量積的定義:

已知兩個(gè)非零向量a，b,則同|例cos〈a,b)叫做a,方的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

a*b.

(3)數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影

如圖所示，過向量a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別向b所在的直線作垂線，即可得到向量

a在向量》上的投影a'.

-b

②數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于。在分上的投影〃的數(shù)量與b的長(zhǎng)

度的乘積，特別地，。與單位向量e的數(shù)量積等于a在e上的投影d的數(shù)量.規(guī)定零

向量與任意向量的數(shù)量積為0.

(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

①小興九功二。；

(2)a-a=|a|2=a2；

③"例仙|；

(4)(za)-Z>=2(a-Z>)；

⑤。6=小。(交換律);

⑥(a+b>c=a-c+"c(分配律).

匚一初試身:基Z］

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小.()

(2)兩個(gè)相反向量的和為零向量.()

(3)只有零向量的模等于0.()

(4)空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.()

［答案］(1)V(2)V(3)V(4)X

［提示］大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的

兩個(gè)向量稱為相反向量；任意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一

定相等.

2.下列命題中正確的是()

A.山產(chǎn)=屋仍2

B.

C.(a-b)c=a-(b-c)

D.若Q_L(萬一c),則a力=(rc=0

B［對(duì)于A項(xiàng),左邊=同2|回2cos2〈a,b),右邊=|Q『|那,

左邊W右邊，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于C項(xiàng)，數(shù)量積不滿足結(jié)合律，，C錯(cuò)誤.

在D中，0(萬一c)=0,.'.a-b—a'C=Q,'.a'b=wc,但a山與a,c不一■定等于零,

故D錯(cuò)誤.

對(duì)于B項(xiàng)，Va"&=|a||6|cos(a,b〉,—iWcos(a,b〉Wl,

協(xié)|W|a|網(wǎng),故B正確.］

3.(教材P”練習(xí)A②改編)化簡(jiǎn)：

1(212、

(l)2(a+26—3c)+5弓。一予+留1=；

(2)(AB-cb)-(Ac-ib)=.

233,,11一八a1,,3,105,,10233,,11

{\y~^a—^b+-^c(2)0r[(1)原式=于+8-/c+亍a―+亍'=不4—+不c.

(2)原式=贏一/一而十訪

=CB-\-BD-CD

=CD-CD

=0.]

4.如圖所示，在正方體ABCD-AIBGQI中，則

(1)(AB,A7Ci)=；

(2)<AB,GAi)=；

(3)<AB,ATDI)=.

(1)45°(2)135°(3)90°[(l)因?yàn)榛?=/，所以〈贏，A7CI>=〈贏，AC>.

又NC48=45°,所以〈贏，A7Ci>=45°.

(2)<AB,Ci^i>=180°-〈矗，A7Ci>=135°.

(3)<AB,A?bi〉=90°.]

合作探究

類型一空間向量的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例1】（1）下列說法中正確的是（）

A.若悶=|加，則a,的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反

B.若向量a是向量8的相反向量，則|a|=|例

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律

D.在四邊形A8CD中，一定有贏+啟=/

B［同=步］,說明a與方模長(zhǎng)相等，但方向不確定.對(duì)于a的相反向量方=-a,

故⑷=步|,從而B正確.只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形

不具有贏+俞=/，只有平行四邊形才能成立.故A、C、D均不正確.］

（2）如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A\B\C\D\的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量

中：

①試寫出與靠是相等向量的所有向量;

②試寫出Mi的相反向量；

③若AB=A￡＞=2,AAi=l,求向量啟1的模.

［解］①與向量贏是相等向量的（除它自身之外）有好耳，虎及03,共3個(gè).

②向量筋?的相反向量為啟，酉B,GC,D?D.

③庶1\=\］|AS|2+|屐＞|2+1扇?F

=-\/22+22+12=^/9=3.

’........規(guī)律＜方法.............................

1.兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量（非零向

量）的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件.

2.熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算

律是解決好這類問題的關(guān)鍵.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.給出以下結(jié)論：

①兩個(gè)空間向量相等，則它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同;

②在正方體ABCD-AIBIGDI中，必有/=AKI；

③若空間向量相，〃，P滿足機(jī)=〃，〃=p,則/〃=p.其中不正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[兩個(gè)空間向量相等，它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故①不正確；在正方體

ABCD-AIBGOI中，必有危=慶1成立，故②正確；③顯然正確.故選B.]

2.在平行六面體ABCD-AIBCIOI中，下列四對(duì)向量：①贏與331；②/i與訪i；

③汗萬1與3瓦④Mb與屈7.其中互為相反向量的有〃對(duì)，則”等于（）

A.1B.2

C.3D.4

B[對(duì)于①后與cTbi,③ABi與3力長(zhǎng)度相等，方向相反，互為相反向量；對(duì)于

②/?與筋1長(zhǎng)度相等，方向不相反；對(duì)于④不力與屈7長(zhǎng)度相等，方向相同.故互為

相反向量的有2對(duì).]

類型二~空間向量的線性運(yùn)算

【例2】（1）如圖所示，在三棱柱ABC-AiBi。中，N是48的中點(diǎn)，若3=a,

CB=b,CC\=c,則麗=（）

A.g(a+b—c)B.](a+〃+c)

C.a+〃+/cD.Q+]S+C)

（2）如圖，已知長(zhǎng)方體ABCQ-4BCZV,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)

①啟一函

②啟+贏+麗.

~**-0*-*■1

(1)B［若AB中點(diǎn)為。，CN=CD+DN=Q(a+b+c),故選B.

(2)［解］?AA'-CB=AA'-DA=AA'+Ab=Ab'.

②筋'+Q+就'=(屹'+矗)+就'=Q'+冊(cè)'=啟'.

向量AB，、/，如圖所示：

1.首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)

的向量，即AiAz+Ai/h+AiAiH-----}-An-iAn—A]An.

2.首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，OB+

BC+CD+^：+EF+FG+GH+Hb=O.

cH

B

E

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.如圖所示，在平行六面體ABCD-AiBGOi中，設(shè)屹i=a,AB=b,AD=c,

M,N,P分別是A4,BC,GDi的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量：

(1)AP；(2)局；(3W+/VC1.

［解］⑴:P是GO的中點(diǎn)，

―?—?―?―?―?1―?I―?I

C.AP=AA\+A\D\+D\P=a-\-AD+^D\C\=a+c+^AB=a+c-\-^b.

(2)：N是BC的中點(diǎn)，

.\A\N=AiA+AB+BN=—a+b+^BC=~a+b+^AD=—a+b+gc.

⑶?.'M是A4i的中點(diǎn)，

—?―?—?1―?-?

/.MP=MA+AP=^A［A+AP

=-%+(a+c+為=%+*+c.

―?―?—?1—?—?

文NCi=NC+CCi=^BC~\~AA\

=gA￡)+A4i=gc+a,

：.MP+NC\

苗三數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用

自呆究問題］

1.空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？

I提示］⑴任意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾

角的定義一樣.

(2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起.

(3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且〈a,b)=(b,a).

2.聯(lián)想空間向量數(shù)量積的定義，如何求兩個(gè)向量》的夾角？如何求|。+"？

［提示］借助cos〈a,b)求向量a,?的夾角.借助|a+例=d(a+b)2=

+力+Z>2求模.

【例3】如圖所示，已知正四面體0ABe的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,尸分別是0A,

0C的中點(diǎn).求下列向量的數(shù)量積：

dx

B

(1)OAOB；

(2)EF-CB；

(3)(04+0B)-(CA+CB).

f思路探究］根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，求出每組向量中每個(gè)向量的模以及兩

向量的夾角，注意充分結(jié)合正四面體的特征.

［解］(1)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則|后|=|加|=1.△0A8為等邊三角形，NA0B

=60°,于是：

OA-OB=\OA\\OB\cos<0A,0B)

—?—*■1

=\OA\\OB\cosZAOB=IXlXcos60。=1.

(2)由于E,尸分別是OA,OC的中點(diǎn)，

所以

于是那?史=|麗|①|(zhì)cos<EF,CB)

=11CA|-|CB1COS<AC,CB>

1——

=］X1X1XCOS<AC,CB〉

1

-

=^X1X1XCOS12004

(3)(OA+OB)-(C4+CB)

=(dA+OB)(OA-OC+OB-OC)

=(dA+OBHOA+OB-2OC)

=OA2+dAOB-2OAOC+OBOA+OB2-2OBOC

=1+；—2X］+；+l—2X］=1.

［母題探究］

1.(變條件，變結(jié)論)若H為8C的中點(diǎn)，其他條件不變，求E”的長(zhǎng).

［解］由題意知。力=

^(OB+OC),OE=^OA,

：.B1=OH-OE=

1—?—?—?

2(OB+OC-OA),

-Ac1-a-?-A—A-?—A-A-A-A

.*.|E//|2=4(OB2+OC2+OA2+2OBOC-2OB-OA-2OCOA),

K|dB|=|dC|=|dA|=l.且(6B,OC)=60°,<OB,OA)=60°,<OC,OA)

=60°.

-A~?1—?—AJ—?—?1

/.OBOC=2,OBOA=yOCOA=2-

.,.|EH|2=^1+1+1+2X1-2X1-2X^=1,

即|兩尸坐，所以E”的長(zhǎng)為半.

2.（變結(jié)論）求異面直線0H與8E所成角的余弦值.

［解］在△AOB及△BOC中，易知BE=OH=g,

--?1--?--?--?］--A--A

義BE=X）A-OB,OH=^OB+OQ,

BEOH=^OAOB+^OAOC-^OB2-^OBOC

.-.cos<BE,OH)

\BE\\OH\'

又異面直線所成前的范圍為(0,I,故異面直線?！迸cBE所成角的余弦值為|.

廠.......規(guī)律C方法......................

1.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；

(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；

(4)代入公式a力=|亦|例-cos(a,b)求解.

2.非零向量。與8共線的條件是。仍=±⑷也.

提醒：在求兩個(gè)向量夾角時(shí)，要注意向量的方向.如本例中(祚CB)={AC,

CB>=120°,易錯(cuò)寫成60。，為避免出錯(cuò)，應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算.

課堂總結(jié)

一'知識(shí)必備

1.空間向量的基本概念，特別注意單位向量和零向量.單位向量的長(zhǎng)度為L(zhǎng)

方向任意.零向量的方向是任意的，與任意向量平行，零向量與任意向量的數(shù)量積為

0.

2.向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.加減法運(yùn)算遵循平行四

邊形法則和三角形法則，向量的數(shù)量積運(yùn)算要注意兩個(gè)向量的夾角.

二'方法必備

1.數(shù)形結(jié)合法：求兩向量夾角時(shí)，一定要結(jié)合圖形確定角的位置.

2.轉(zhuǎn)化法：在求異面直線所成的角時(shí)要轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角，結(jié)合異面直線

所成角的范圍確定.

二學(xué)以致用

1.在正方體ABCO-AiBGDi中，下列各對(duì)向量夾角為45。的是()

A.Q與右3B.贏與之

c.贏與ATBID.贏與啟1

A[A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)向量的夾角依次是45°,135°,90°,180°,故

選A.]

2.在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABC。中，若E、尸分別是3C、AO的中點(diǎn)，則危.萬

等于()

A.0B.：C.-1D.1

―?—?1—?-A?―?1—?-A-?—?|

D[AEAF=^AB+AC)^AD=^ABAD+ACAD)=^X(2+2)=1.]

3.化簡(jiǎn)：2贏+2正+3①+3而+/=.

0[2AB+2BC+3CD+3DA+AC

=2(AB+BC+cb+DA)+CD+DA+AC

=0+CA+AC=0+0=0.]

4.已知⑷=13,|*|=19,\a+b\=24,則|a一例=.

22[V\a+b\1=a2+2a-b+b2=l32+2a-b+192=242,

山=46,M—加2=層一2"山+萬2=530—46=484.

A\a-b\=22.]

1.1.2空間向量基本定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解空間向量基本定理.（重點(diǎn)）1.通過基底、基向量及向量的線性組合空

2.運(yùn)用空間向量基本定理解決一些幾間向量基本定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素

何問題.（難點(diǎn)）養(yǎng).

3.理解基底、基向量及向量的線性組2.借助任一空間向量可用一組基向量線性

合的概念.（重點(diǎn)）表示，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

畬情境引入?助學(xué)助教

圖中的向量贏，AD,屹，是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問向量啟，與它們是什么關(guān)系？

由此可以得出什么結(jié)論？

1.共面向量定理

如果兩個(gè)向量。，8不共線，則向量a,b,c共面的充要條件是存在唯二的實(shí)數(shù)

對(duì)（x,y）,使c=xa+yb.

思考1：平面向量基本定理中對(duì)于向量a與方有什么條件，在空間中能成立嗎？

［提示］平面向量基本定理中要求向量a與方不共線，在空間中仍然成立.

2.空間向量基本定理

如果空間中的三個(gè)向量a,4c不共面,那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p,存在

唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y>z）,使得〃=xa+2+zc.

特別地，當(dāng)a,b,c不共面時(shí)，可知xa+yb+zc=O時(shí)，無=y=z=O.

3.相關(guān)概念

（1）線性組合：表達(dá)式xa+）辦+zc一般稱為向量a,b,c的線性組合或線性表達(dá)

-LX

(2)基底：空間中不共面的三個(gè)向量a,4c組成的集合｛a,A,c｝,常稱為空間

向量的一組基底.

(3)基向量:基底兒c｝中a,b,c都稱為基向量.

(4)分解式：如果p=xa+)力+zc,則稱方+zc為p在基底｛a,b,c｝下的分

解式.

思考2：平面向量的基底要求二個(gè)基向量不共線，那么構(gòu)成空間向量基底的三個(gè)

向量有什么條件？

［提示］空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，基底選定

后，空間任意向量均可由基底唯一表示.

思考3：基向量和基底一樣嗎？0能否作為基向量？

［提示］基底是指一個(gè)向量組，基向量是基底中的某一個(gè)向量，因?yàn)?與其他任

意兩個(gè)非零向量共面，所以0不能作為基向量.

4.拓展：設(shè)0,A,B,。是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的

有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z］,使質(zhì)+z女，當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=l時(shí)，P,A,B,

C四點(diǎn)共面.

不初試身.至F

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)若｛a,b,c｝為空間一個(gè)基底，則｛一“，42c｝也可構(gòu)成空間一個(gè)基底.()

(2)若三個(gè)非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a,b,c共面.()

⑶若a,8是兩個(gè)不共線的向量，且c=2a+"咐，“WR且則｛a,b,c｝

構(gòu)成空間的一個(gè)基底.()

［答案］(1)7(2)7⑶X

［提示］(1)4｛%b,c｝為空間一個(gè)基底，則a,b,c不共面，一a、b、2c也不

共面，故｛—a,8,2c｝也構(gòu)成空間一個(gè)基底.

(2)4由共面定理知(2)正確.

(3)x由c=%a+〃)知a,b,c共面，不能構(gòu)成基底.

2.(教材P16練習(xí)A①改編)對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a,b,2a~3b,它們一定是

()

A.共面向量B.共線向量

C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量

A［根據(jù)共面向量定理知*"2a-3。一定共面.］

3.在長(zhǎng)方體ABC。-48Goi中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是（）

AB,AC,ADB.AB,AAi,AB\

C.D\A\,D\C\,D\DD.AC\9AiCCCi

C［由題意知就1,ChCi,方力不共面，可以作為空間向量的一個(gè)基底.

合作探究

類型一向量共線問題

【例1】如圖所示，在正方體ABCD-AiBG。中，E在Ai￡>i上，且靠：=2詬1,

-2—

F在對(duì)角線AiC上，且4F=wFC求證：E,F,8三點(diǎn)共線.

［證明］設(shè)A3=a,AD=b,AA\=c.

———2f

'：A\E=2ED\,A\F=^FC,

—2——2一

'.A\E=^A\D\,AiF=^A\C,

-2—2—2ff

'.A\E=^AD=^b,A\F=-^AC—AA\)

=|(AB+Ab-AAi)

W+!8-|c.

一ff2422i

:￡F=4F-4￡=鏟一百力一于=目

~*--?-?―?22

又EB=EAI+AIA+AB=-q5一c+a=a—Q5一c,

：.E,F,8三點(diǎn)共線.

規(guī)篋方法

判斷向量共線就是利用已知條件找到實(shí)數(shù)x,使。=動(dòng)成立，同時(shí)要充分利用空

間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合圖形，化簡(jiǎn)得出0=h>,從而得出。〃兒即向量。與》共線,

共線向量定理還可用于證明兩直線平行或證明三點(diǎn)共線.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.如圖所示，四邊形ABCO和ABEb都是平行四邊形，且不共面，M,N分別

是AC,BE的中點(diǎn)，判斷及與加是否共線？

［解］近與疝共線，證明：YM,N分別是AC、BF的中點(diǎn),而四邊形ABC。,

ABE尸都是平行四邊形.

―?—?―?—?1—?—?1—?

Z.MN=MA+AF+FN=^CA+AF+^FB,

-?—?―?―?—?1―?―?―?1—?

叉MN=MC+CE+EB+BN=-^CA+CE~AF~^FB,

1—?—?1—?1—?—?—?1—?

：.^CA+AF+^FB=~2CA+CE-AF-^FB,

：.CE=&+2AF+FB=2(MA+AF+FN)=2MN,

：.CE//MN,即走與加共線.

類型二共面定理及應(yīng)用

一1一1

【例2】已知A,B,C三點(diǎn)不共線，平面A3C外的一點(diǎn)M滿足。

OB+^OC.

⑴判斷總，MB,祓?三個(gè)向量是否共面;

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

［解］⑴易知而1+方b+0b=3而，

：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC),

：.MA=BM+CM=-MB-MC,

，向量就1,MB,蔽7共面.

(2)由⑴知向量而，MB,俄共面，三個(gè)向量的基線又有公共點(diǎn)M,A,B,

C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).

「........規(guī)律＜方法..............................

判斷三個(gè)(或三個(gè)以上)向量共面的方法

(1)應(yīng)用空間向量共面定理，即其中一個(gè)向量能用另兩個(gè)向量線性表示，通常應(yīng)

結(jié)合圖形，選擇其中某兩個(gè)向量作為基向量，其他向量都用這兩個(gè)基向量線性表示.

(2)選擇目標(biāo)向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個(gè)向量的一個(gè)線

性關(guān)系式.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.如圖所示，P是平行四邊形A8CO所在平面外一點(diǎn)，連接孫，PB,PC,PD,

點(diǎn)、E,F,G,H分別是△弘B,△PBC,APCD,△PD4的重心，分別延長(zhǎng)PE,PF,

PG,PH,交對(duì)邊于M,N,Q,R,并順次連接MMNQ,QR,RM.應(yīng)用向量共面

定理證明：E,F,G,"四點(diǎn)共面.

［證明］VE,F,G,〃分別是所在三角形的重心，

：.M,N,Q,/?為所在邊的中點(diǎn)，

順次連接M,N,Q,R,所得四邊形為平行四邊形，且有港=|麗，浮=|麗,

PG=^PQ,PH=IPR.

?.?四邊形MNQR為平行四邊形,

2f—

=q(MN+MR)

=^PN-PM)+^PR-PM)

=1儂》l兩+翡麗-弼

=EF+EH,

.?.由共面向量定理得前，

EF,初共面，

所以E,F,G,"四點(diǎn)共面.

類型三基底的判斷及應(yīng)用

甘杲究問題］

1.構(gòu)成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？

f提示］不唯一，不共面.

2.空間向量的基底選定后，空間任一向量怎樣用基底表示？

［提示］基底選定后，可以結(jié)合圖形，利用三角形法則和平行四邊形法則，尋求

向量和基向量的關(guān)系，利用向量的線性運(yùn)算將向量用基底表示出來.

3.用基底表示向量應(yīng)注意哪些問題？

［提示］（1）明確目標(biāo)，向量表示過程中可能出現(xiàn)新的向量，要逐步拆分，都用基

向量表示；（2）結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，利用向量的線性運(yùn)算；（3）只要基底選定，空間

任一向量用基底表達(dá)的形式是唯一的.

【例3】（1）若｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，試判斷｛a+b,b+c,c+a｝能否

作為該空間的一個(gè)基底.

（2）如圖，在三棱柱A8C-AEC中，已知AB=b,Z2=c,點(diǎn)M,N分別

是8C,EC的中點(diǎn)，試用基底｛a,b,c｝表示向量病，AN.

Af

A

c

［思路探究］(1)判斷。+6力+c,c+a是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基

底，否則，不能作為一個(gè)基底.

(2)借助圖形尋找待求向量與a,4c的關(guān)系，利用向量運(yùn)算進(jìn)行分析，直至向量

用a,方，c表示出來.

［解］(1)假設(shè)a+〃，b+c,c+a共面.

則存在實(shí)數(shù)2、〃使得a+A=%S+c)+〃(c+a),

「?。+力=2b+〃。+(2+4)。.

?*{a,b,c}為基底，/.a,b,c不共面.

，，1=九此方程組無解，.?.a+A,8+c,c+a不共面.

［0=2+〃.

/.{a+b,b+c,c+a}可以作為空間的一個(gè)基底.

(2)AM=AB+BM=AB+^SC'

―?I—?―?—?I—?1―?—?

=AB+^BB,+BC)=AB+^BB,+^AC-AB)

=b+；a+；(c—5)

俞=啟+癡+赤

——?—?1—?

=AA'+A'B'+^B'C

=a+8+；(正一旅)

=a+b+；(c—b)

=a+*+；c.

［母題探究］

1.(變條件)若把本例3(2)中的屹，=”改為啟，=跖其他條件不變，則結(jié)果又是

什么？

［解］AM=AB+BM

——?1—?

=AB+^BC

-A1-?-?

=AB+^(AC-AB)

=b+^(a—b)

1,1,

=呼+聲

AN=AC'+CN

=AC'+^CB'

=AC,-1B7C,

=/一/由一萬k)

=a—^c—b)

=a+g〃—gc.

2.(變換條件、改變問法)如圖所示，本例3(2)中增加條件“P在線段AV上，且

A尸二2%'"，試用基底｛a,b,c｝表示向量MP.

C

［解］MP=MC,+CA,+ArP

1—?—?1—?

=^BC,-A,C~^AA,

1—?—?—?1—?

=2（BB,+BC）-AC-^AA,

廠......規(guī)律＜方法.............................

用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平

行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示

要徹底，結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

提醒：基底中不能有零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量都為共線向量.

課堂總結(jié)

1.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；基底選定后,

任一向量可由基底唯一表示，空間中的基底是不唯一的.

2.在用基底表示向量時(shí)，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算,

逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示.

T以致用f

1.O,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量晶，0B,又不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,

則()

A.OA,0B,女共線B.0A,為共線

C.0B,女共線D.O,A,B,C四點(diǎn)共面

D［由方OB,女不能構(gòu)成基底知晶，0B,女三向量共面，所以O(shè),A,B,

。四點(diǎn)共面.]

2.給出下列命題：

①若｛a,b,c｝可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，dWO,則｛a,b,d｝也可

作為空間的基底；②已知向量。加，則a，）與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底;

③A,B,M,N是空間四點(diǎn)，若函，BM,前不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A,B,

M,N共面；④已知向量組｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，若機(jī)=a+c,則｛a,b,m]

也是空間的一個(gè)基底.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

D[根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基

底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，顯然②正確.③中由函、BM.麗共面且過相

同點(diǎn)8,故A,B,M,N共面.

下面證明①④正確.

①假設(shè)d與％方共面，則存在實(shí)數(shù)2,〃，使d=2a+〃乩

與c共線，cWO,

.?.存在實(shí)數(shù)%,使"=品，

?.'dWO,...ZWO,從而c=3+,,

.：c與a,）共面與條件矛盾.

.*rf與a,b不共面.

同理可證④也是正確的.]

3.從空間一點(diǎn)P引出三條射線出，PB,PC,在以，PB,PC上分別取的=a,

PR=b,西=。，點(diǎn)G在PQ上，且PG=2GQ,H為RS的中點(diǎn)，則麗=.（用

a,b,c表示）

4.設(shè)OABC是四面體，Gi是△ABC的重心，G是OGi上的一點(diǎn)，且OG=3GGi,

^OG=xOA+yOB+zOC,貝°2x+4y+2z=.

-*,3~?3~~?

2[如圖，由已知OG=]OGi=w（OA+AG）

0

B

=^OA+^AB+A^)

[(OB-OA)+(OC-OA)]=^OA+^OB+^OC,

/?x=y=z=4，—?2x+4y+2z=2?]

5.如圖所示，已知平行六面體ABCD-A出IGOI,設(shè)贏=a,AD=b,AAi=c,P

是CAi的中點(diǎn)，M是O的中點(diǎn).用基底｛a,b,c｝表示以下向量：(1)麗；(2)AM.

［解］在平行六面體

ABCD-A\B\C\D\中,

連接AC,AD\.

-A1―?-?

(1)AP=2(AC+A4I)

=^(AB+AD+AAI)

=g(a+b+c).

——?1——?—?

(2)AM=](AC+AOi)

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中

寫出向量的坐標(biāo).（重點(diǎn)）1.通過空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.（重點(diǎn)）的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理

3.掌握空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直的素養(yǎng).

關(guān)系.（重點(diǎn)'難點(diǎn)）2.通過對(duì)空間直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，

4.理解空間直角坐標(biāo)系的定義、建系方法，以及空提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

間的點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法并能簡(jiǎn)單運(yùn)用.

畬情境引入?助學(xué)助教

一塊巨石從山頂墜落，擋住了前面的路，搶修隊(duì)員緊急趕到，從三個(gè)方向拉巨石，

這三個(gè)力分別為Q,F2,它們兩兩垂直，且尸11=3000N,|F2|=2000N,|F3|

=2000小N,若以后，F(xiàn)2,用的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角

坐標(biāo)系，巨石受合力的坐標(biāo)是什么？怎樣求巨石受到的合力的大??？這就需要用到空

間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

1.空間中向量的坐標(biāo)

一般地，如果空間向量的基底｛ei,€2,03｝中，e\,e2,e3都是單位向量，而且這

三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?就稱這組基底為單位正交基底,在單位正交基底下向量的分解稱

為向量的單位正交分解，而且，如果p=xei+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）為

向量p的坐標(biāo)，記作o=（x,y,z）.其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量.

思考1：若。=xei+ye2+ze3,則a的坐標(biāo)一定是(x,y,z)嗎？

「提示］不一定，當(dāng)C1,改,的是單位正交基底時(shí)，坐標(biāo)是a,y,Z),否則不是.

2.空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系

假設(shè)空間中兩個(gè)向量?滿足Q=(XI,yi,zi),b=(x2,>2,Z2),則有以下結(jié)論:

⑴a+6=(%i+12，yi+y2，zi+22)；

(2)若〃，o是兩個(gè)實(shí)數(shù)，〃a+m=(〃xi+〃2,〃yi+oy2,pzi+g)；

(3)a*b=1112+丫1券+2122；

(4)\a\=\［a^a=\j^++z?；

一廠,/、a-bX1X2+V1V2+Z1Z2

(5)當(dāng)。W°且時(shí)'cos〈a,b)=麗=?^+，+曲十義+旗

思考2：若向量霜=(x,y,z),則點(diǎn)8的坐標(biāo)一定是(x,y,z)嗎？

［提示］不一定，A點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)是，不重合時(shí)不是.

3.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直

X2=/U1

y2=A"i，當(dāng)a的

{Z2

每一個(gè)坐標(biāo)分量都不為零時(shí)，有a〃小號(hào)=￥=￥.

XI~XI_21

(2)“_1_60。?〃=0臺(tái)xix2+yiy2+ziz2=0.

4.空間直角坐標(biāo)系

(1)在空間中任意選定一點(diǎn)。作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇合適的平面先建立平面直角坐

標(biāo)系X。)，，然后過0作一條與xOv平面垂直的數(shù)軸Z軸.這樣建立的空間直角坐標(biāo)系

記作Oxyz.

(2)在空間直角坐標(biāo)系。町z中，x軸、y軸、z軸是兩兩垂直的,它們都稱為坐標(biāo)

軸，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面.

(3)z軸正方向的確定：在z軸的正半軸看xQy平面，x軸的正半軸繞。點(diǎn)沿逆時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)90